Gazdaságmatematika 4. szeminárium.

Gazdaságmatematika 4. szeminárium

Szállítási feladatok

Feladat – Winston 6.1 A Powercónak három elektromos erőműtelepe van, ezek négy város szükségletét látják el. Az egyes erőművek kapacitása, és az egyes városok csúcsfogyasztási igénye a táblázatban szerepel. Fogalmazzunk meg egy LP-t, amely minimalizálja annak a költségét, hogy mindegyik város csúcsfogyasztási igénye ki legyen elégítve!

Feladat – Winston 6.1 Honnan Hová Szolgáltatás 1. város 2. város
(millió kWh) 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Igény (millió kWh) 45 20 30

A szállítási feladat adatai
Az m kínálati pontból álló halmaz, mely pontokból a szállítás történik. Az i-edik kínálati hely legfeljebb si egységet képes szállítani. Az n keresleti (felvevő) pontból álló halmaz, mely pontokba a szállítás történik. A j-edik felvevőhelynek legalább dj egységnyire van szüksége a szállított áruból.

Minden olyan egység, amelyet az i-edik kínálati helyen állítanak elő és a j-edik felvevőhelyre szállítanak, cij változó költséggel jár. xij az i-edik kínálati helyről a j-edik felvevőhelyre szállított egységek száma

Feladat – Winston 6.1 s1= 35 s2= 50 m=3 s3= 40 Honnan Hová
Szolgáltatás 1. város 2. város 3. város 4. város (millió kWh) 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Igény (millió kWh) 45 20 30 s1= 35 s2= 50 s3= 40 m=3

Feladat – Winston 6.1 n=4 d1= 45 d2= 20 d3= 30 d4= 30 Honnan Hová
Szolgáltatás 1. város 2. város 3. város 4. város (millió kWh) 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Igény (millió kWh) 45 20 30 d1= 45 d2= 20 d3= 30 d4= 30

Minden olyan egység, amelyet az i-edik kínálati helyen állítanak elő és a j-edik felvevőhelyre szállítanak, cij változó költségel jár. xij az i-edik kínálati helyről a j-edik felvevőhelyre szállított egységek száma

Feladat – Winston 6.1 c11= 8 c23= 13 c31= 14 stb. Honnan Hová
Szolgáltatás 1. város 2. város 3. város 4. város (millió kWh) 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Igény (millió kWh) 45 20 30

Minden olyan egység, amelyet az i-edik kínálati helyen állítanak elő és a j-edik felvevőhelyre szállítanak, cij változó költségel jár. xij az i-edik kínálati helyről a j-edik felvevőhelyre szállított egységek száma Feladat: ennek meghatározása!

Kiegyensúlyozott és kiegyensúlyozatlan szállítási feladat
Kiegyensúlyozott szállítási feladat: ∑si = ∑dj (Vagyis az összkínálat egyenlő az összkereslettel.) Kiegyensúlyozatlan szállítási feladat: ∑si > ∑dj vagy ∑si < ∑dj

Kiegyensúlyozott feladat
Feladat – Winston 6.1 Honnan Hová Szolgáltatás 1. város 2. város 3. város 4. város (millió kWh) 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Igény (millió kWh) 45 20 30 125 Kiegyensúlyozott feladat

A szállítási feladat kiegyensúlyozása
A kiegyensúlyozatlan szállítási feladat: ∑si > ∑dj (Vagyis az összkínálat nagyobb az összkeresletnél.) A szállítási feladatot úgy tudjuk kiegyensúlyozni, hogy egy olyan fiktív keresleti pontot konstruálunk, amelynek az igénye éppen a felesleges kínálati mennyiséggel egyenlő, a szállítási költségek pedig mindenütt 0-k.

Feladat – Winston 6.1 módosítva
Honnan Hová Szolgáltatás 1. város 2. város 3. város 4. város (millió kWh) 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Igény (millió kWh) 20 30 ∑si > ∑dj (125 > 120)

Honnan Hová Szolgál-tatás 1. város 2. város 3. város 4. város Fiktív keresleti pont (millió kWh) 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Igény (millió kWh) 20 30

Honnan Hová Szolgál-tatás 1. város 2. város 3. város 4. város Fiktív keresleti pont (millió kWh) 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Igény (millió kWh) 20 30 125 Kiegyensúlyozott feladat

A szállítási feladat kiegyensúlyozása
A kiegyensúlyozatlan szállítási feladat: ∑si < ∑dj (Vagyis az összkínálat kisebb az összkeresletnél.) Ebben az esetben a feladatnak nincsen lehetséges megoldása. Megoldás lehet: fiktív kínálati pont felvétele, kielégítetlen keresletre büntetőköltség bevezetése.

A szállítási feladat felírása
Célfüggvény: min ∑∑ cijxij Korlátozó feltételek: ∑xij ≤ si (kínálati feltételek) ∑xij ≥ dj (keresleti feltételek) xij ≥ 0

Célfüggvény: min 8x11 + 6x x13 + 9x14 + 9x x x23 + 7x x31 + 9x x33 + 5x34 +

Kínálati feltételek: x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 35 x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 50 x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 40

Keresleti feltételek: x11 + x21 + x31 ≥ 45 x12 + x22 + x32 ≥ 20 x13 + x23 + x33 ≥ 30 x14 + x24 + x34 ≥ 30

min 8x11 + 6x x13 + 9x14 + 9x x x23 + 7x x31 + 9x x33 + 5x34 + x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 35 x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 50 x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 40 x11 + x21 + x31 ≥ 45 x12 + x22 + x32 ≥ 20 x13 + x23 + x33 ≥ 30 x14 + x24 + x34 ≥ 30 xij ≥ 0 Kínálati feltételek Keresleti feltételek Lehetséges bázismegoldás???

A szállítási táblázat 1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat
1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Kereslet 45 20 30

A szállítási táblázat Költségek 1. város 2. város 3. város 4. város
Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Kereslet 45 20 30

Szállított mennyiségek
A szállítási táblázat Szállított mennyiségek 1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Kereslet 45 20 30

Lehetséges bázismegoldás előállítása: módszerek
Északnyugati sarokmódszer Minimális költség módszere Vogel módszere

Lehetséges bázismegoldás előállítása: Az Északnyugati sarok módszer
Kiválasztjuk a „legészaknyugatibb” cellát, és beírjuk a maximálisan szállítható mennyiséget: min {si;dj} Módosítjuk a kínálati oszlopot és a keresleti sort. (Csökkentjük mindkettőt min {si;dj}-vel) Azt az sort/oszlopot, ahol 0 marad töröljük. (Ha mindkettő 0, akkor választunk.)

1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Kereslet 45 20 30

1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Kereslet 20 30

1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 40 3. erőmű 14 16 5 Kereslet 20 30

1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 20 3. erőmű 14 16 5 40 Kereslet 30

1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 20 3. erőmű 14 16 5 30 Kereslet

Lehetséges bázismegoldás előállítása: Minimális költség módszere
Kiválasztjuk a legkisebb költségű cellát, és beírjuk a maximálisan szállítható mennyiséget: min {si;dj} Módosítjuk a kínálati oszlopot és a keresleti sort. (Csökkentjük mindkettőt min {si;dj}-vel) Azt az sort/oszlopot, ahol 0 marad töröljük. (Ha mindkettő 0, akkor választunk.)

1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Kereslet 45 20 30

1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 30 Kereslet 45 20

1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 15 20 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 30 Kereslet 45

1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 15 20 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 30 Kereslet

1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 15 20 2. erőmű 12 13 7 30 3. erőmű 14 16 5 Kereslet

Lehetséges bázismegoldás előállítása: Vogel módszere
Minden sorban és oszlopban kiszámítunk „büntetéseket”: a két legkisebb költség különbségét. A legnagyobb büntetés sorához/oszlopához tartozó legkisebb szállítási költséggel rendelkező cellát választjuk, és beírjuk a maximálisan szállítható mennyiséget: min {si;dj}

Módosítjuk a kínálati oszlopot és a keresleti sort. (Csökkentjük mindkettőt min {si;dj}-vel) Azt az sort/oszlopot, ahol 0 marad töröljük. (Ha mindkettő 0, akkor választunk.)

Minden sorban és oszlopban kiszámítunk „büntetéseket”: a két legkisebb költség különbségét. A legnagyobb büntetés sorához/oszlopához tartozó legkisebb szállítási költséggel rendelkező cellát választjuk, és beírjuk a maximálisan szállítható mennyiséget: min {si;dj}

1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat Büntetés 1. erőmű 8 6 10 9 35 8-6=2 2. erőmű 12 13 7 50 9-7=2 3. erőmű 14 16 5 40 9-5=4 Kereslet 45 20 30 9-8=1 9-6=3 13-10=3 7-5=2

1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat Büntetés 1. erőmű 8 6 10 9 35 8-6=2 2. erőmű 12 13 7 50 9-7=2 3. erőmű 14 16 5 40 9-5=4 30 Kereslet 45 20 9-8=1 9-6=3 13-10=3 7-5=2

1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat Büntetés 1. erőmű 8 6 10 9 35 8-6=2 2. erőmű 12 13 7 50 12-9=3 3. erőmű 14 16 5 14-9=5 30 Kereslet 45 20 9-8=1 9-6=3 13-10=3

1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat Büntetés 1. erőmű 8 6 10 9 35 8-6=2 2. erőmű 12 13 7 50 12-9=3 3. erőmű 14 16 5 14-9=5 30 Kereslet 45 9-8=1 9-6=3 13-10=3

1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat Büntetés 1. erőmű 8 6 10 9 25 8-6=2 2. erőmű 12 13 7 50 12-9=3 3. erőmű 14 16 5 30 Kereslet 45 9-8=1 12-6=6 13-10=3

1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat Büntetés 1. erőmű 8 6 10 9 25 10-8=2 2. erőmű 12 13 7 5 13-9=4 45 3. erőmű 14 16 30 Kereslet 9-8=1 13-10=3

1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 45 5 3. erőmű 14 16 30 Kereslet

1. város 2. város 3. város 4. Város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 45 5 3. erőmű 14 16 30 Kereslet

Fontos észrevételek Ha az xij értékek halmaza egy kivételével kielégíti a kiegyensúlyozott szállítási feladat feltételeit (m+n-1 db ilyen van), akkor az xij értékek automatikusan kiegyenlítik azt az egy feltételt is. Következmény: egy feltétel figyelmen kívül hagyható a megoldás során. De nem minden m+n-1 változóból álló halmaz bázismegoldása a szállítási feladatnak! (Feltétel: nincs benne hurok.)

Hurok definíciója Huroknak nevezünk egy legalább négy különböző cellából álló rendezett sorozatot, ha Bármely két egymásután következő cella vagy ugyanabban a sorban, vagy ugyanabban az oszlopban fekszik. Három egymásután következő cella nem fekszik ugyanabban a sorban vagy oszlopban. A sorozat utolsó cellája a sorozat első cellájával vagy közös sorban, vagy közös oszlopban fekszik.

Példák hurokra

Példák hurokra Nincs benne hurok ↔ Bázismegoldást ad

A szállítási szimplex módszer
Ha a feladat kiegyensúlyozatlan, akkor egyensúlyozzuk ki. Keressünk egy lehetséges megoldást a korábbi módszerek segítségével. Alkalmazzuk a következőt: u1=0 és ui+vj=cij minden bázisváltozóra.

Ha minden nembázis változóra ui+vj-cij ≤ 0 (maximum feladat esetén ui+vj-cij ≥ 0), akkor az aktuális LBM optimális. Ha nem teljesül, akkor a legnagyobb ui+vj-cij értékkel rendelkező NBV-t léptetjük be a bázisba.

Keressük meg azt a hurkot, amelyik tartalmazza a bázisba belépő változót, és a többi bázisváltozók közül néhányat. Csak a hurokban lévő cellákat számolva jelöljük meg páros (páratlan) cellaként az előző lépésben kapott olyan cellákat, amelyek a beléptetendő változótól páros (páratlan) számú cellányira vannak.

Keressük meg azt a páratlan cellát, amelyikhez tartozó változó a legkisebb értéket képviseli. Ezt az értéket Θ-nak nevezzük. Az a változó fog kilépni a bázisból, amelyik ehhez a legkisebb értékű páratlan cellához tartozik. A bázisváltozók cseréjét úgy hajtjuk végre, hogy minden páratlan cella értékét csökkentjük Θ-val, és minden páros cella értékét növeljük Θ- val. (A hurokban nem szereplő változók értékei változatlanok maradnak.)

A szimplex szállítási módszer (LBM: Északnyugati sarokmódszer)
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 20 3. erőmű 14 16 5 30 Kereslet

A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 20 3. erőmű 14 16 5 30 vj

1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 1 20 3. erőmű 14 16 5 30 vj

1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 1 20 3. erőmű 14 16 5 30 vj 11

1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 1 20 3. erőmű 14 16 5 4 30 vj 11

Ha minden nembázis változóra ui+vj-cij ≤ 0 (maximum feladat esetén ui+vj-cij ≥ 0), akkor az aktuális LBM optimális. Ha nem teljesül, akkor a legnagyobb ui+vj-cij értékkel rendelkező NBV-t léptetjük be a bázisba.

1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 1 20 3. erőmű 14 16 5 4 30 vj 11 5 5 2 5 -8 -5 -2 6

1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 20 3. erőmű 14 16 5 30

1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 20 3. erőmű 14 16 5 30 ps ptl ps ptl

1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 30 3. erőmű 14 16 5 ps ptl ps ptl

1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 30 3. erőmű 14 16 5

1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 30 3. erőmű 14 16 5 vj

1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 1 30 3. erőmű 14 16 5 vj

1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 1 30 3. erőmű 14 16 5 vj 11

1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 1 30 3. erőmű 14 16 5 -2 vj 11

1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 1 30 3. erőmű 14 16 5 -2 vj 11 5 2 -2 1 -8 -6

1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 30 3. erőmű 14 16 5

1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 30 3. erőmű 14 16 5 ps ptl ptl ps

1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 20 30 3. erőmű 14 16 5 ps ptl ptl ps

1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 20 30 3. erőmű 14 16 5

1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 1 20 30 3. erőmű 14 16 5 vj

1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 1 20 30 3. erőmű 14 16 5 3 vj

1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 1 20 30 3. erőmű 14 16 5 3 vj 2 2 -7 -5 -4 -3 -1

1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 20 30 3. erőmű 14 16 5

1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 20 30 3. erőmű 14 16 5 ptl ps ps ptl

1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 45 5 3. erőmű 14 16 30 ptl ps ps ptl

1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 3 45 5 3. erőmű 14 16 30 vj

1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 3 45 5 3. erőmű 14 16 30 vj 2 -2 -7 -3 -2 -5 -3 Nincsen pozitív elem: a tábla optimális

Megoldás x11 = 0 x12 = 10 x21 = 45 x22 = 0 x31 = 0 x32 = 10 x13 = 25

Összetett szállítási feladatok

Az összetett szállítási feladat adatai
Kínálati pont: olyan pont, amely egy másik pontra termékeket küldhet, de nem fogadhat Keresleti pont: olyan pont, amely egy másik pontból termékeket fogadhat, de nem küldhet Átszállítási pont: olyan pont, amely egy másik pontra termékeket küldhet és egy másik pontból termékeket fogadhat

Feladat – Winston 6.6 A Widgetco herkentyűket készít két gyárban, az egyik Denverben van, a másik Memphisben. A memphisi gyár naponta legfeljebb 150 herkentyűt tud készíteni, a denveri gyár pedig naponta legfeljebb 200 herkentyűt tud előállítani. A herkentyűket Los Angelesbe és Bostonba szállítják a vevőkhöz, légi úton. A vevők igénye mindkét városban naponta 130 herkentyű.

Feladat – Winston 6.6 A légi szállítási díjak szabályozatlan-sága miatt a Widgetco úgy gondolja, hogy esetleg olcsóbb lehet néhány herkentyűt először New Yorkba vagy Chicagóba repültetni, és onnan a rendeltetési helyeikre. Egy herkentyű szállítási költségei a következő táblá-zatban láthatók. A Widgetco minimali-zálni szeretné a kívánt mennyiségű herkentyűknek a fogyasztókhoz történő szállítási összköltségét.

Feladat – Winston 6.6 Honnan Hová M D NY C LA B Memphis - 8 13 25 28
- 8 13 25 28 Denver 15 12 26 New York 6 16 17 Chicago 14 Los Angeles Boston

Feladat – Winston 6.6 Memphis New York Los Angeles Denver Chicago
Boston

Feladat – Winston 6.6 Kínálati pontok: Memphis Denver Keresleti pontok: Los Angeles Boston Átszállítási pontok: New York Chicago Feladat: átfogalmazni klasszikus szállítási feladattá!

Feladat – Winston 6.6 Kínálati pontok: Keresleti pontok: Memphis
Denver New York Chicago Keresleti pontok: Los Angeles Boston

Feladat – Winston 6.6 Honnan Hová M D NY C LA B Memphis - 8 13 25 28
- 8 13 25 28 Denver 15 12 26 New York 6 16 17 Chicago 14 Los Angeles Boston

Feladat – Winston 6.6 NY C LA B M 8 13 25 28 D 15 12 26 6 16 17 14

Feladat – Winston 6.6 NY C LA B Kínálat M 8 13 25 28 150 D 15 12 26
200 6 16 17 14

200 6 16 17 350 14

200 6 16 17 350 14 Kereslet 130

∑si > ∑dj (1050 > 960) Feladat – Winston 6.6 NY C LA B Kínálat M
8 13 25 28 150 D 15 12 26 200 6 16 17 350 14 Kereslet 130 ∑si > ∑dj (1050 > 960)

Kiegyensúlyozott, klasszikus feladat
Feladat – Winston 6.6 NY C LA B Kínálat M 8 13 25 28 150 D 15 12 26 200 6 16 17 350 14 Kereslet 130 90 Kiegyensúlyozott, klasszikus feladat

Gazdaságmatematika 4. szeminárium.

Hasonló előadás

Az előadások a következő témára: "Gazdaságmatematika 4. szeminárium."— Előadás másolata:

Hasonló előadás

Projectumról

Visszajelzés

Bejelentkezés

A társadalmi hálózaton keresztül belépni:

Gazdaságmatematika 4. szeminárium.

Hasonló előadás

Az előadások a következő témára: "Gazdaságmatematika 4. szeminárium."— Előadás másolata:

Hasonló előadás

Projectumról

Visszajelzés