2012. November 21. Szemidefinit programozás és extremális gráfelmélet Lovász László Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest 1.

Az előadások a következő témára: "2012. November 21. Szemidefinit programozás és extremális gráfelmélet Lovász László Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest 1."— Előadás másolata:

1 2012. November 21. Szemidefinit programozás és extremális gráfelmélet Lovász László Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest lovasz@cs.elte.hu 1

2 2012. November 21. Annak a valószínűsége, hogy egy véletlen V(F)  V(G) homomorfizmus 2 Homomorfizmus függvények Homomorfizmus: éleket megőrző leképezés gráfok között hom(F,G): F  G homomorfizmusok száma homomorfizmus-sűrűség:

3 2012. November 21.3 Részben címkézett gráfok k-címkézett gráf: k csúcsa 1,...,k címkékkel akárhány címkézetlen csúcs 1 2

4 2012. November 21. k=2:... t(, G) M(G, k) 4 Csatolási mátrixok elemi csatolási mátrix-sorozat

5 2012. November 21.5 Csatolási mátrixok Az elemi csatolási mátrixok pozitív szemidefinitek.

6 2012. November 21. k=2: 6 Csatolási mátrixok t(,G)  t(,G) 2  t(,G) 4

7 2012. November 21.7 Csatolási mátrixok Az elemi csatolási mátrixok - pozitív szemidefinitek; - ha két pozícióban izolált pontoktól eltekintve izomorf gráfok állnak, akkor az érték azonos. - üres gráfhoz tartozó érték 1. Megfordítás? Majdnem...

8 2012. November 21. k=2:... x( ) M(X, k) 8 Csatolási mátrix-sorozat Csak a gráf izomorfia-típusától függ, és az izolált pontoktól sem.

9 2012. November 21.9 Csatolási mátrixok Ha M(X,k) csatolási mátrix-sorozat pozitív szemidefinit, akkor elemi csatolás-mátrixok konvex kombinációinak limesze. L-Szegedy

10 A következő szemidefinit program optimuma 1/2: max x(K 2 ) feltéve M(X,k) pozitív szemidefinit csatolási mátrix x(K 3 )=0 2012. November 21. Extremális gráfelmélet, mint szemidefinit programozás 10 Mantel-Turán Tétel: t(K 3,G)=0  t(K 2,G)≤1/2. Végtelen sok végtelen mátrix...

11 2012. November 21.11 Lineáris egyenlőtlenségek sűrűségek között Eldönthetetlen… Hatami-Norine …de eldönthető tetszőlegesen kis hibával. L-Szegedy

12 2012. November 21. Számolgatás gráfokkal 12 k-címkéjű kvantum gráf: k-címkéjű gráfok véges formális lin. kombinációja 1 2 Freedman-L-Schrijver; Razborov

13 2012. November 21.13 Számolgatás gráfokkal F 1,F 2 : k-címkéjű gráfok F 1 F 2 = F 1  F 2, címkézett csúcsok azonosítva

14 2012. November 21. -+- 2 =-+- - + - 2 +2 2 - =- + - -4 +2 Goodman  Mantel-Turán Számolgatás gráfokkal 14 + - 2  2 - = + t(,G) – 2t(,G) + t(,G) ≥ 0 t(,G)  2t(,G) 2 - t(,G)

15 2012. November 21. Ha x ≥ 0, akkor Négyzetösszeg-előállítás 15 Ha gráfok egy x lineáris kombinaciója négyzetösszeg (címkék és izolált csúcsok nem számítanak), akkor x ≥ 0.

16 2012. November 21. Analógia: polinomok 16 Artin Tétele (Hilbert 17): Ha p(x 1,…,x n )  0 minden x 1,…,x n valós helyettesítésre, akkor racionális törtfüggvények négyzetösszege. De nem polinomok négyzetösszege! Matijaszevics Tétele (Hilbert 10): ?p(x 1,…,x n )  0 minden x 1,…,x n egész helyettesítésre? eldönthetetlen.

17 2012. November 21. Ha x ≥ 0, akkor 17 Nem! Hatami-Norine Négyzetösszeg-előállítás

18 2012. November 21. x  0  Egy gyenge Artin-tétel gráfokra 18 L-Szegedy

19 2012. November 21. Szemidefinit megfogalmazás 19 x =  a F F  0  a következő szemidefinit program optimuma 0: min  a F x(F) feltéve M(X,k) pozitív szemidefinit csatolási mátrix-sorozat Végtelen sok végtelen mátrix... Szemidefinit programozás dualitástétele...

20 2012. November 21. Konkrét alkalmazások? 20  Jellemezzük a (t(K 2,W), t(K r,W)) párokat Razborov r=3 Nikiforov r=4 Reiher r>4  Ötszög-sűrűség háromszögmentes gráfban Hatami-Hladky-Král -Norine-Razborov

21 2012. November 21. Semidefiniteness and extremal graph theoryTricky examples 1 10 Kruskal-Katona Bollobás 1/22/33/4 Razborov 2006 Mantel-Turán Goodman Fisher Lovász-Simonovits Él-háromszög sűrűségek 21

22 2012. November 21.22 Ötszög-sűrűség háromszögmentes gráfban

23 2012. November 21.23 Ötszög-sűrűség háromszögmentes gráfban Sejtés: Erdős 1984 Biz: Hatami-Hladky-Král-Norine-Razborov 2011

24 2012. November 21.24 Ötszög-sűrűség háromszögmentes gráfban 3-címkéjű kvantum gráfok pozitív szemidefinit