A korlátozott síkbeli háromtestprobléma

Az előadások a következő témára: "A korlátozott síkbeli háromtestprobléma"— Előadás másolata:

1 A korlátozott síkbeli háromtestprobléma

2 Newton II. axiómája A test mozgásmennyiségének megváltozása arányos a rá ható erővel, és annak az egyenes vonalnak az irányában megy végbe, amelyben az erő hat. Ha a tömeg állandó az egyenlet F = ma –ra egyszerűsödik.

3 A mozgásegyenlet megoldása
Néhány egyszerű erőtörvény esetében a mozgásegyenlet analitikusan is megoldható Általában csak numerikusan Ha ismerjük az erőtörvényt, egy adott helyen és pillanatban kiszámítható a gyorsulás Ha a testnek gyorsulása van, akkor egy kis idő múlva megváltozik a sebessége Ha test mozog, egy kis idő múlva máshol lesz. Az új helyet és időpontot visszaírva az erőtörvénybe a mozgás nyomon követhető Numerikus módszerek pl.: Euler, leapfrogging (Feynman), Runge-Kutta

4 Newton általános tömegvonzási törvénye
Nem lineáris

5 A kéttest probléma Határozzuk meg két, tömegpontnak tekinthető test mozgását, ha rájuk csak a Newton-féle kölcsönös gravitációs vonzóerő hat! A feladat megoldható (centrális erőtér => síkmozgás, megmaradó mennyiségek: energia és impulzusnyomaték)

6 A háromtest probléma Határozzuk meg három, tömegpontnak tekinthető test mozgását, ha rájuk csak a Newton-féle kölcsönös gravitációs vonzóerő hat! (A több mint két évszázados kutató munka ellenére a lehetséges megoldások összességét ma sem ismerjük.)

7 A korlátozott síkbeli háromtest probléma
Határozzuk meg három, tömegpontnak tekinthető test mozgását, ha rájuk csak a Newton-féle kölcsönös gravitációs vonzóerő hat, az alábbi korlátozó feltételek mellett: Két test körpályán kering a közös tömegközéppont körül. A harmadik test az előző kettő keringési síkjában mozog tömege olyan kicsi, hogy az semmilyen hatást nem fejt ki a másik két testre

8 Elrendezés és jelölések
Együtt forgó vonatkoztatási rendszer

9 Dimenziótlanítás* után
Marad egy paraméter: * ld. pl. Tél Tamás - Guiz Márton: Kaotikus dinamika, Nemzeti Tankönyvkiadó Rt., Budapest, 2002., o.

10 A forgó rendszer potenciáltere
= 0,2

11 Lagrange-pontok L1, L2 és L3 instabil (nyeregpontok), L4 és L5 stabil (egyenlő szárú háromszögek csúcspontjai)

12

13

14 A potenciálteret kirajzoló Matlab kód
% % Két, egymás körül körpályán mozgó tömeg közös potenciálja együtt forgó vonatkoztatási rendszerben [x,y]=meshgrid(-2:0.01:2); mu2 = 0.2; % a kisebbik tömeg mu1 = 1 - mu2; s1 = sqrt((x + mu2).*(x + mu2) + y.*y); % a vonzócentrumoktól s2 = sqrt((x - mu1).*(x - mu1) + y.*y); % való távolságok for i=1:401 % a zéróval való osztás elkerülése for j=1:401 if s1(i,j)<0.01 s1(i,j)=0.01; end; if s2(i,j)<0.01 s2(i,j)=0.01; end z=-mu1./s1-mu2./s2-(x.*x+y.*y)/2-mu1.*mu2/2; % a potenciál értéke for i=1:401 % a szintvonalak sûrûségének beállítása if z(i,j) < -3 z(i,j) = -3; surfc(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z'); shading flat

15 Futtatási eredmények Rendszer: Nap – Jupiter ( = 0,001)
Az L1 pont energiája E1 = -1,5198 Kaotikus tartományok jelennek meg, ha < E < E1, ahol E a próbatest összenergiája A következő futtatási eredmények az E = -1,525 értékre vonatkoznak

16 #1: (x;y)=(0.2;0), (vx;vy) = (0;2.633211)
A kiszámított pontok száma: 2000x100 Összenergia a számolás végén: -1,52422

17 #2: (x;y)=(0.3;0), (vx;vy) = (0;1. 918786075)
A kiszámított pontok száma: 2000x100 Összenergia a számolás végén: -1,52486

18 #3: (x;y)=(0.4;0), (vx;vy) = (0;1. 44806)
A kiszámított pontok száma: 2000x100 Összenergia a számolás végén: -1,52499

19 #4: (x;y)=(0.5;0), (vx;vy) = (0;1. 092264)
A kiszámított pontok száma: 2000x50 Összenergia a számolás végén: -1,52499

20 #5: (x;y)=(0.6;0), (vx;vy) = (0;0. 800299944)
A kiszámított pontok száma: 2000x200 Összenergia a számolás végén: -1, 52471

21 #6: (x;y)=(0.7;0), (vx;vy) = (0;0. 545802162)
A kiszámított pontok száma: 2000x100 Összenergia a számolás végén: -1,52500

22 #7: (x;y)=(0.8;0), (vx;vy) = (0;0.30893365)
A kiszámított pontok száma: 2000x100 Összenergia a számolás végén: - 1,52500

23 #8: (x;y)=(0.85;0), (vx;vy) = (0;0. 186386695)
A kiszámított pontok száma: 2000x100 Összenergia a számolás végén: - 1,52500

24 A futtatások összesítése

25 Néhány érdekes pályagörbe - 1
(x;y)=(0.499;0), (vx;vy) = (0;1.3) Összenergia= -1,28000

26 Néhány érdekes pályagörbe - 2
(x;y)=(0.499;0), (vx;vy) = (1.4; 0.7) Összenergia=

27 Néhány érdekes pályagörbe - 3
(x;y)=(0.499;0), (vx;vy) = (0.2; 0.96) Összenergia=

28 Néhány érdekes pályagörbe - 4
(x;y)=(0.499;0), (vx;vy) = (0;1.16) Összenergia=

29 Néhány érdekes pályagörbe - 5
(x;y)=(0.499;0.8), (vx;vy) = (0; ) Összenergia=