Anyagmodellek II.

Az előadások a következő témára: "Anyagmodellek II."— Előadás másolata:

1 Anyagmodellek II

2 Anyagok Mesterséges anyagok: Természetes anyagok Fémek Kerámiák
Műanyagok (polimerek) Szálerősítésű anyagok (kompozitok) Természetes anyagok Közetek Növényi anyagok Állati és humán anyagok

3 Biológiai anyagok (Állati és humán)
Csontgerendák Izom

4 Modellek Anyagi Gondolati Geometria tervezés Geometriai Kísérleti
természetes mesterséges matematikai fizikai oktatási kutatási folytonos diszktét Csizmadia B nyomán

5 Térfogati, felületi, koncentrált erők (f, Fi)
Anyagmodell Anyagmodell: általános kifejezésként választ jelent, az anyag válaszát az őt ért külső hatásokra Mechanikai anyagmodell: anyagnak a külső hatásokra (erők, hőmérséklet- változások, idő) adott mechanikai válasza Térfogati, felületi, koncentrált erők (f, Fi) Elmozdulások (ui) Kompatibilitási (geometriai egyenletek Egyensúlyi egyenletek Feszültségek (sij) Alakváltozások (eij) Anyagtörvények (anyagegyenletek)

6 Ortotrop anyagok (fa, kompozit, szalag?, izom?)
𝜎 𝑥 𝜎 𝑦 𝜎 𝑧 𝜏 𝑦𝑧 𝜏 𝑧𝑥 𝜏 𝑥𝑦 = 1− 𝜈 𝑦𝑧 𝜈 𝑧𝑦 𝐸 𝑦 𝐸 𝑧 𝐶 𝜈 𝑦𝑧 − 𝜈 𝑧𝑥 𝜈 𝑦𝑧 𝐸 𝑦 𝐸 𝑧 𝐶 𝜈 𝑧𝑥 − 𝜈 𝑦𝑥 𝜈 𝑧𝑦 𝐸 𝑦 𝐸 𝑧 𝐶 𝜈 𝑥𝑦 − 𝜈 𝑥𝑧 𝜈 𝑧𝑦 𝐸 𝑧 𝐸 𝑥 𝐶 1− 𝜈 𝑧𝑥 𝜈 𝑥𝑧 𝐸 𝑧 𝐸 𝑥 𝐶 𝜈 𝑧𝑦 − 𝜈 𝑧𝑥 𝜈 𝑥𝑦 𝐸 𝑧 𝐸 𝑥 𝐶 𝜈 𝑥𝑧 − 𝜈 𝑥𝑦 𝜈 𝑦𝑧 𝐸 𝑥 𝐸 𝑦 𝐶 𝜈 𝑦𝑧 − 𝜈 𝑥𝑧 𝜈 𝑦𝑥 𝐸 𝑥 𝐸 𝑦 𝐶 1− 𝜈 𝑥𝑦 𝜈 𝑦𝑧 𝐸 𝑥 𝐸 𝑦 𝐶 𝐺 𝑦𝑧 𝐺 𝑧𝑥 𝐺 𝑥𝑦 𝜀 𝑥 𝜀 𝑦 𝜀 𝑧 𝛾 𝑦𝑧 𝛾 𝑧𝑥 𝛾 𝑥𝑦 𝐶= 1− 𝜈 𝑥𝑦 𝜈 𝑦𝑥 − 𝜈 𝑦𝑧 𝜈 𝑧𝑦 − 𝜈 𝑧𝑥 𝜈 𝑥𝑧 −2 𝜈 𝑥𝑦 𝜈 𝑦𝑥 𝜈 𝑧𝑥 𝐸 𝑥 𝐸 𝑦 𝐸 𝑧

7 Nemlineáris rugalmas anyagok modellje
Feltételezések: A rugalmas állandókat a feszültség/alakváltozási tenzor főértékeinek vagy invariánsainak skalár függvényeként adjuk meg. I1: teljes feszültségtenzor invariánsa, J2, J3: deviátoros rész invaránsa Poisson-tényező (n) konstans 𝜀 𝑖𝑗 = 1+𝜈 𝐸 𝜎 𝑖𝑗 − 𝜈 𝐸 𝜎 𝑘𝑘 𝛿 𝑖𝑗 helyett 𝜀 𝑖𝑗 = 1+𝜈 𝐹 𝐼 1 , 𝐽 2 , 𝐽 3 𝜎 𝑖𝑗 − 𝜈𝐹 𝐼 1 , 𝐽 2 , 𝐽 3 𝜎 𝑘𝑘 𝛿 𝑖𝑗 Deviátoros rész 𝐽= 𝐹 , 𝐹 𝑑𝑒𝑣𝑖á𝑡𝑜𝑟𝑜𝑠 = 𝐽 −1/3 𝐹 Invariáns 𝐽 2 = 1 2 𝑒 𝑖𝑗 𝑒 𝑖𝑗

8 Hiperelasztikus (Green-féle) modellek
Levezetés kulcs a virtuális munkaegyenlet 𝜎 𝑖𝑗 = 𝛿 𝜋 𝑏 𝜕 𝜀 𝑖𝑗 𝜀 𝑖𝑗 = 𝛿 𝜋 𝑏 𝜕 𝜀 𝑖𝑗 Nemlineáris rugalmas hiperelasztikus modellek Π 𝑏 = Π 𝑏 ( 𝐼 1 ′ , 𝐼 2 ′ , 𝐼 3 ′ ), ahol 𝐼 1 ′ = 𝜀 𝑘𝑘 , 𝐼 2 ′ = 1 2 𝜀 𝑘𝑚 𝜀 𝑘𝑚 , 𝐼 3 ′ = 1 3 𝜀 𝑘𝑚 𝜀 𝑘𝑛 𝜀 𝑚𝑛 𝜎 𝑖𝑗 = 𝛼 1 𝛿 𝑖𝑗 + 𝛼 2 𝜀 𝑖𝑗 + 𝛼 3 𝜀 𝑖𝑘 𝜀 𝑘𝑗 , ahol 𝛼 𝑖 = 𝜕 Π 𝑏 𝜕 𝐼 𝑖 ′

9 Hiperelasztikus modell nagy alakváltozásra
Alapegyenlet Green-Lagrange-féle alakváltozási tenzorral: 𝑆= 𝜕 Π 𝑏 (𝑬) 𝜕𝑬 Jobb Cauchy-Green deformációs tenzorral: 𝑆=2 𝜕 Π 𝑏 (𝑪) 𝜕𝑪 Fizikai Cauchy –féle feszültségtenzor: 𝜎= 𝐽 −1 𝑭𝑺 𝑭 𝑻 , ahol 𝐽=𝑑𝑒𝑡𝑭, 𝑭= 𝑥 𝑦 𝑧 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 , összevontan 𝜎= 2 𝐽 −1 𝑭 𝜕 Π 𝑏 (𝑪) 𝜕𝑪 𝑭 𝑻

10 Hogyan állítsuk elő a 𝜕 Π 𝑏 (𝑬) tagot?
Mooney-Rivlin-modell ötparaméteres: Π 𝑏 = 𝑐 1 𝐼 1 −3 + 𝑐 2 𝐼 2 −3 + 𝑐 𝐼 1 − 𝑐 4 𝐼 1 −3 𝐼 2 −3 + 𝑐 𝐼 1 − 𝑑 (𝐽−1) 2 háromparaméteres: Π 𝑏 = 𝑐 1 𝐼 1 −3 + 𝑐 2 𝐼 2 −3 + 𝑐 3 𝐼 1 −3 𝐼 2 −3 + 1 𝑑 (𝐽−1) 2 kétparaméteres: Π 𝑏 = 𝑐 1 𝐼 1 −3 + 𝑐 2 𝐼 2 −3 + 1 𝑑 (𝐽−1) 2 , ahol 𝑑= 2 𝐾 , 𝐾=𝜆+ 2 3 𝜇 (d: összenyomhatatlansági változó, K térfogatváltozási modulus) Neo-Hook anyagmodell Π 𝑏 𝑪 = 1 2 𝜆 (ln𝐽) 2 −𝜇ln𝐽+ 1 2 𝜇(tr𝐶−3), ahol tr𝐶=𝑰:𝑪= 𝐼 𝑖𝑗 ∗ 𝐶 𝑖𝑗 , 𝐼=𝐹 𝐶 −1 𝐹 𝑇 l Lamé állandó (nyúlás), m Lamé állandó (nyírás)

11 Modellek Anyagi Gondolati Geometria tervezés Geometriai Kísérleti
természetes mesterséges matematikai fizikai oktatási kutatási folytonos diszktét Csizmadia B nyomán

12 Verifikálás Szakály F

13 Görbék Szakály F

14 Artériák modellezése Tóth Brigitta Többrétegű, rétegenként kettős, spirális szálerősítéssel Kétrétegű, rétegenként kettős, spirális szálerősítéssel

15 Holzapfel (2000) modellje Π 𝑏 𝑪 , 𝑨 𝟏 , 𝑨 𝟐 = Π 𝑏 𝑖𝑠𝑜 𝐼 1 , 𝐼 2 + Π 𝑏 𝑎𝑛𝑖𝑠𝑜 𝐼 1 , 𝐼 2, …. 𝐼 9 C: jobb Cauchy tenzor, A1, A2: szálak irányultságát leíró tenzor 𝐼 1 𝑪 =𝑡𝑟𝑪 𝐼 2 𝑪 = 1 2 𝑡𝑟 𝑪 2 −𝑡𝑟 𝑪 2 𝐼 31 𝑪 =1 𝐼 4 = 𝑪 : 𝑨 𝟏 𝐼 5 = 𝑪 2 : 𝑨 𝟏 𝐼 8 = 𝒂 𝟎𝟏 ⋅ 𝒂 𝟎𝟐 𝒂 𝟎𝟏 𝑪 𝒂 𝟎𝟐 𝐼 9 = 𝒂 𝟎𝟏 ⋅ 𝒂 𝟎𝟐 2

16 Holzapfel modellje artériákra
Π 𝑏 𝑪 , 𝑨 𝟏 , 𝑨 𝟐 = Π 𝑏 𝑖𝑠𝑜 𝐼 1 + Π 𝑏 𝑎𝑛𝑖𝑠𝑜 𝐼 4 , 𝐼 6 Π 𝑏 𝑖𝑠𝑜 𝐼 1 = 𝑐 2 𝐼 1 −3 Π 𝑏 𝑎𝑛𝑖𝑠𝑜 𝐼 4 , 𝐼 6 = 𝑘 1 2 𝑘 2 𝑘=4,6 𝑒𝑥𝑝 𝑘 2 ( 𝐼 𝑖 −1) 2 −1 c: feszültségjellegű anyagi paraméter, k1: feszültségjellegű anyagi paraméter, k2: dimenzió nélküli paraméter alacsony nyomás esetén a kollagén rostok nem befolyásolják a mechanikai választ.

17 Képlékenyedés Nem rugalmas, nem visszafordítható (irreverzibilis) alakváltozások Ideálisan képlékeny: alakváltozást egy meghatározott nagyságú feszültség idézi elő és a feszültség megszűnésekor is az alakváltozás nagysága változatlan Modellek: deformáció: teljes alakváltozás-feszültség tenzor között van kapcsolat (integrálható) növekmény: csak a növekmények között vankapcsolat (nem-integrálható) s e

18 Folyási feltétel (Huber-Mises-Hencky-modell)
Izotróp anyag 𝜎 𝜎 𝜎 1 𝜎 2 ≤ 𝜎 ℎ Ortotróp anyag 𝑎 1 𝜎 11 − 𝜎 𝑎 2 𝜎 11 − 𝜎 𝑎 3 𝜎 22 − 𝜎 𝑏 1 𝜎 𝑏 2 𝜎 𝑏 3 𝜎 23 2 −2 𝜎 ℎ 2 =0 𝑎 1 ⋯ 𝑏 3 anyagállandó Bojtár I

19 Keményedés a már képlékeny állapotba került, de további feszültségek felvételére képes, vagyis határteherbírását még el nem vesztett anyag izotróp kinematikus vegyes 𝐹 𝐼 1 , 𝐼 2 , 𝐼 3 − 𝐻 𝐾 𝐼 1 , 𝐼 2 , 𝐼 3 =0 Bojtár I

20 Ideálisan viszkózus anyagmodell
A feszültség és az alakváltozás közötti kapcsolat az időnek is a függvénye, amiatt a feszültség és az alakváltozás-sebessége között keresünk összefüggést. Lineáris (Newton test): 𝜎=𝜂 𝜀 , ahol 𝜂 viszkozitási tényező Nemlineáris Csizmadia

21 Összetett anyagmodellek
Általános modell: elasztoviszkoplasztikus modellek (reológiai modellek)

22 Előélet Szerkezeti anyagok: Követhető előélet:
Tökéletesen rugalmas (terhelés megszűnése után visszanyeri eredeti alakját) terhelés története közömbös Maradó feszültségek korlátozott alakváltozás miatt Anyagszerkezeti viselkedés Technológiai folyamat következménye Követhető előélet: Maradó alakváltozás, mely szuperponálható (linárisan rugalmas-tökéletesen képlékeny anyagok s e

23 Előélet Nehezen leírható előélet
Visszaterhelés nem tökéletesen rugalmas (hiszterézis-csillapítás) Felterhelés azonos, felterhelés meredeksége eltérő Technológiai maradó feszültségek (görgőzés, felületi ridegalakítás) Melegítés és visszahűlés eltérő sebessége (Hegesztés) s e s e s e

24 Szimuláció Modellezett kontrollváltozók (f) Feltételezett
anyagtulajdonságok (k) Állapotváltozók a modellből 𝑢 ≈𝑢 Kontroll változók: mechanikai terhek hőterhek Állapotváltozók: elmozdulás hőmérsékletváltozás repedésnövekedés

25 Anyagmodell előállítása
Bojtár szerint Modellkoncepció meghatározása előzetes mechanikai elemzéssel Laboratóriumi mérések Anyagmodell matematikai egyenleteinek felépítése Anyagi paraméterek azonosítása (identifikálás) A modell verifikálása laboratóriumi mérésekkel meghatározott értékekkel Modell minőségének ellenőrzése az azonosításban be nem vont feladatokon (validálás) Szimbólum rendszer F kontrollváltozók U állapotváltozók D kísérleti adatok K anyagállandók

26 Modellkoncepció Alkalmazási terület meghatározása (rugalmas-nem rugalmas; ideálisan képlékeny-felkeményedően képlékeny) Terhelési szintek és módok (statikus, dinamikus) meghatározása Anyagi viselkedés megközelítési szintje (mezo, mikro, makroszint) Termodinamikai alapkövetelmények kielégítésének feltétele (Cauchy- hiperelsztikus) Gazdaságossági kérdések (futás idő)

27 Laboratóriumi mérések
Kontroll változók ( 𝑓 ) és a fizikailag mérhető állapotváltozók ( 𝑢 ) közötti kapcsolat tanulmányozása előre rögzített módon Bizonytalanságok mérési hibák 𝑒=𝑀 𝑢 − 𝑑 ∈𝐷 (megfigyelési operátor: állapotváltozók illesztése a kísérleti adatokhoz) adatok szórása (megismételhetetlen jelleg) adatbázis hiányossága (megközelíti, de nem fedi le a teljes valós körülményt)

28 Modell matematikai egyenleteinek a felállítása, identifikálás, verifikálás, validálás
Kapcsolati egyenletek összeállítása Keressük az állapotváltozók azon halmazát 𝑢 𝜅,𝑓 ∈𝑈, amelynél adott 𝑓 ∈𝐹 és 𝜅∈𝐾 esetén létezik egy 𝑔 ( 𝜅 , 𝑢 , 𝑓 )=0 egyensúly i egyenlet Hiba 𝑒 𝑚ó𝑑 = 𝑢 𝜅 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 − 𝑢 ∈𝑈 Identifikálás Kísérleti adatok alapján a 𝜅 anyagi paraméterhalmaz meghatározása Verifikálás Kísérleti és modellezett állapotjellemzők összevetése Validálás Extrapolálás, olyan szerkezetek vizsgálata, amelyet eddig nem vontunk be a vizsgálatba

29 Identifikálás gyakorlati módszerei
Kézi számítás: anyagi paraméterek meghatározása a kísérleti görbéből közvetlenül Próbák és hibák módszere f kontroll változók felvétel, kezdeti becslés felvétele a anyagi paraméterre (k) eredeti feladat megoldás 𝑑 ( 𝜅) meghatározása összehasonlítás a mért értékkel elfogadás vagy újabb iteráció Neurális hálózatok Legkisebb négyzetek módszere 𝑓 𝜅 = 𝑑 𝜅 − 𝑑 2 → min 𝜅𝜖𝐾

30 Jövő kutatások Mikroszerkezeti vizsgálatok Számítógépes anyagtudomány
Számítógépes anyagtervezés

31 Irodalom Bojtár Imre: Mechanikai anyagmodellek BME Építőmérnöki Kar Tartószerkezetek Mechanikája Szakály Ferenc: Emberi inak, ínszalagok numerikus modellezése TDK dolgozat BME Építőmérnöki Kar, Tartószerkezetek Mechanikája Tóth Brigitta: A vérben áramló vörösvértestek és az érfal mechanikai kölcsönhatása. PhD dolgozat BME Építőmérnöki Kar ertekezes.pdf Holzapfel GA: Nonlinear Solid Mechanics, Wiley 2000 M. Csizmadia Béla, Nándori Ernő (szerk): Mechanika mérnököknek IV. Modellalkotás. Nemzeti Tankönyvkiadó, Bojtár Imre: Mechanikai anyagmodellek. Műegyetemi Kiadó, 2005.