1. Bevezetés a waveletekhez (folytatás)

Az előadások a következő témára: "1. Bevezetés a waveletekhez (folytatás)"— Előadás másolata:

1 1. Bevezetés a waveletekhez (folytatás)
Speciálkurzus 2009 tavasz

2 Matematikai alapok (folytatás)
Lineáris algebra, lineáris tér Függvényterek, ortogonalitás Fourier transzformáció, DFT, FFT Lineáris rendszerek, konvolúció Sztochasztikus jelek spektrálanalízise, PSD

3 Fourier transzformáció
A folytonos Fourier transzformáció (CFT) ω a körfrekvencia, t az idő, az integrálás az f(t) jel ill. F(ω) transzformált teljes értelmezési tartományára vonatkozik

4 CFT, frekvencia változó
Az ω helyett a ν frekvencia változóval szimmetrikus egyenleteket kapunk: ω = 2πν

5 Ablakfüggvény, CFT A Π(t) ablakfüggvény CFT-je a sinc(f) függvény (most f a frekvencia): ω = 2πf

6 CFT, tulajdonságok linearitás: eltolás (fázis változás):

7 Fourier transzformált nagysága és fázisa
nagyság és fázis: F(ω) = nagyság{F(ω)} e-i fázis{F(ω)} I(ω) = nagyság{F(ω)2} Φ(ω) = fázis{F(ω)} Φ(ω) Re Im F(ω) √I(ω)

8 Konvolúció tétel a konvolúció CFT-je a tényező függvények CFT-inek szorzata

9 Lineáris időinvariáns rendszerek
a rendszert jellemzi a g(t) impulzusválasz vagy a G(ω) frekvencia átviteli függvény.

10 Diszkrét Fourier transzformáció, DFT
Mintavételezés hatása a spektrumban (‘aliasing’, átlapolódás)

11 DFT, mintavételezési tétel
A mintavételezési frekvencia legalább kétszerese legyen a jelben előforduló legnagyobb frekvenciának (Nyquist frekvencia). Ekkor nincs átlapolódás:

12 Mintavételezett ablak, Dirichlet kernel
A Π(t) ablakfüggvényt mintavételezzük – a transzformáltja a sinc(f) függvény analógiája – a Dirichlet kernel (magfüggvény). A frekvencia folyamatos (0, 0.5) között

13 DFT, véges jelsorozat A mintavételezett jelsorozat térben korlátozott kiterjedésű – ez egy levágó ablak alkalmazásának felel meg. Eredmény: spektrális ‘szivárgás’, a spektrum elkenődése

14 DFT transzformált pár N db. mintát veszünk a jelből mind az idő- mind a frekvencia tartományban. Ez a diszkrét Fourier transzformáció: Műveletigény: N2 db. komplex szorzás, N(N – 1) db. komplex összeadás

15 FFT, 2D DFT Műveletigény: A diszkrét transzformáció műveletigénye csökkenthető ~N2 -ről, N log2N –re: ez a gyors Fourier transzformáció (FFT) Két dimenzió esetén először az adattömb sorait, majd az eredmény oszlopait transzformáljuk: 2D FFT

16 Sztochasztikus folyamatok, idősorok, stacionaritás
Sztochasztikus folyamat – realizációk E{xn} : realizációkra vett átlag

17 Stacionárius folyamatok, ergodicitás
Stacionárius folyamat: statisztikai jellemzők t-től nem függnek pl. az átlag: Tágabb értelemben stacionárius folyamat (WSS): statisztikai jellemzők csak az idő eltolástól (t – τ ) függnek Ergodikus folyamat: a realizációkra vett átlagot helyettesíthetjük az idő szerinti átlagokkal

18 Fehérzaj (WN) A fehérzaj kifejezés nem ír le egyértelműen egy sztochasztikus folyamatot!

19 Sztochasztikus folyamatok spektrálanalízise
Penc, KGO permanens GPS állomás magassági koordináta adatsora (cm)

20 Fourier transzformált nem létezik
Diszkrét idősor spektruma (–½, ½) intervallumra: –½ ≤ f ≤ ½ az alábbi módon állíthatjuk vissza: xn most sztochasztikus folyamat – a FT nem létezik!

21 ... helyette van a PSD (teljesítmény spektrum)
egy keskenysávú sáváteresztő szűrő Sx(f) a jel PSD (teljesítmény sűrűség) spektruma

22 PSD másik definíciója Sx(f ) az Rx(t) autokorreláció Fourier transzformáltja: inverz transzformáltját véve:

23 Fehérzaj PSD a fehérzaj autokovariancia függvénye a Dirac-féle delta függvény (disztribúció) számszorosa, s2(t) a PSD: a folytonos fehérzaj fizikai értelemben fikció – nincs végtelen energiájú sztochasztikus folyamat!

24 Szűrt folyamat PSD-je a konvolúciós szűrés egyenlete szerint a szűrt y(t) jel: ahol g(t) a szűrő impulzus átviteli függvénye (magfüggvénye) Ha ismerjük Sx(f )-et, akkor számíthatjuk Sy(f )-t

25 Idősor PSD-je diszkrét Fourier transzformációk határértéke
Alternatív definíció az autokovariancia függvény segítségével: –½ ≤ f ≤ ½

26 Spektrum (PSD) becslése adatok alapján
a sztochasztikus folyamatból nem végtelen, hanem csak N db. mintával rendelkezünk a valódi spektrum helyett egy olyan spektrumot kapunk, amely a valódi spektrum és a Dirichlet-féle magfüggvény konvolúciója – az egzakt dekonvolúció (kijavítás) lehetetlen végső soron egy olyan függvényt akarunk meghatározni, amely több ismeretlentől függ mint ahány mérésünk van ez inverz feladat, rosszul kondicionált! A megfelelő közelítést adó eljárás megtalálása jó hozzáértést és tapasztalatot kíván

27 Spektrum (PSD) periodogram becslése
torzítatlan, de inkonzisztens becslés a becslés szórása Sx(f )2, azaz megegyezik magával a becsléssel!

28 Spektrum (PSD) periodogram becslése

29 Spektrum becslésének paraméteres és nemparaméteres módszerei
Yule-Walker egyenletek Maximum Entropy Spectral Estimation (MESE) Welch módszer (szekció átlagolás) Multitaper módszer

30 Spektrum becslésének paraméteres és nemparaméteres módszerei
62 Hz-es szinuszhullám, amelynek amplitúdója –75 dB.

31 Spektrum becslésének paraméteres és nemparaméteres módszerei
Átlagolás nélküli és Welch-féle szekció átlagolással meghatározott spektrumok

32 Spektrum becslésének paraméteres és nemparaméteres módszerei
Welch-féle ablakfüggvénnyel meghatározott spektrum és adaptív DPSS multitaper spektrum