Dualitás.

Az előadások a következő témára: "Dualitás."— Előadás másolata:

1 Dualitás

2 Térkép színezése: szomszédos országok különböző színüek.
Minimum hány szín kell? Tapasztalat: 4. Szomszédos országok: van közös határszkasz. Ez egy olyan térkép, amihez négy szín kell. Sokáig sejtés volt, csak 1977-ben sikerült (számítógépes segítséggel) bizonyítania Appel és Haken-nek  Gráf G* csúcsai: országok (tartományok), két csúcs között él, ha az országok szomszédosak Azaz, minden ország "fővárosát" vasútvonalakkal kötjük össze a szomszédos országok fővárosaival, mely vasutak csak a két adott ország területén haladnak.

3 G* csúcsait kell színezni úgy, hogy szomszédos csúcsok különböző színűek legyenek. (2. félévben belátjuk majd, hogy ehhez 5 szín elegendő.) A térkép is egy gráf: csúcsai azok a határpontok ahol több határszakasz találkozik, élei a határszakaszok, tartományai az országok. G síkbarajzolható gráf egy síkbarajzolása esetén G* a G duálisa, ha G* pontjai a G tartományai, két pont (a két tartományon belül haladó) éllel össze van kötve, ha a megfelelő tartományoknak van közös határ élük (minden közös határélhez egy-egy él G*-ban). A G gráf pedig pont a G* duálisa lesz. Másik motiváció az elektromosságtani dualitás feszültségek és áramok között.

4 G és G* élei kölcsönösen egyértelműen megfelelnek egymásnak.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e Kör  vágás : {7,8,9,c,d} Vágás  kör: {5,6,e} Vágás: olyan élhalmaz, melynek elhagyásával az összefüggő komponensek száma nő, de semelyik részhalmazára ez nem igaz.

5 Tétel Legyen C és Q a G síkbarajzolható gráf egy körének, illetve vágásának élhalmaza. Akkor a G* gráfban C egy vágás, Q egy kör élhalmaza lesz. Bizonyítás A C kör élei a síkot két részre bontják, egy belső és egy külső részre. belső külső e A belső részben levő tartományoknak megfelelő G*-beli pontokból a külső részben levőkig csak a C éleinek megfelelő éleken át lehet eljutni. Mivel a körből akármelyik élet elhagyva nem vágja szét a síkot, a duálisban az élek minimális elvágó élhalmazt alkotnak.

6 Ha Q egy vágás, feltehetjük, hogy G összefüggő (különben tekintsük egy komponensét). Ekkor egy tartomány határán vagy 2, vagy 0 él van Q-ból. Ha több lenne, akkor valamelyiknek a két végpontja ugyanabba a komponensbe esne, azaz az élhalmaz nem lenne minimális elvágó. Ha egy él lenne, annak két végpontja nincs elvágva. Ekor a duálisban a Q -nak megfelelő élek olyan részgráfot alkotnak, aminek minden pontja 2 fokú, azaz körök uniója. Viszont több kör nem lehet, mert akkor Q nem lett volna minimális elvágó.

7 Állítás Ha G összefüggő síkbarajzolható gráf, F egy feszítőfája, akkor az F-nek megfelelő élek G* egy feszítőfájának a komplementerét adják. Bizonyítás F feszítőfa  maximális körmentes részgráf  G*-ban maximális vágás mentes részgráf  G*-ból az F-nek megfelelő éleket elhagyva összefüggő részgráfot kapunk, ami minimális ilyen, azaz feszítőfa.

8 G G*

9 Euler formula újra G éleinek száma = G* éleinek száma = e
G pontjainak száma = n G* pontjainak száma = t (= tartományok G-ben) G feszítőfa éleinek száma n-1 = e - (t-1)

10 Izomorfak 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Élek közt körtartó leképezés 4 fokú csúcs Nincs 4 fokú csúcs 1 2 3 4 6 5 1 2 3 4 5 6 Nem izomorfak!

11 Ha G és H izomorf síkbarajzolható gráfok, akkor a duálisuk nem feltétlenül izomorf.
A duális függ a gráf síkbarajzolásától, azaz G* nem G-hez tartozik, hanem G adott síkbarajzolásához. Így (G*)* sem feltétlenül izomorf G-vel, (amit elvárnánk egy "duális" fogalomtól). Megoldás: gyenge izomorfia. Definíció G és H gráfok gyengén izomorfak (2-izomorfak), ha létezik f : E(G)  E(H) bijekció, amely kört körbe visz.

12 Whitney tételei Tétel Legyen G síkbarajzolható gráf és legyen H vele gyengén izomorf. Ekkor H is síkbarajzolható, G*és H* gyengén izomorfak, valamint (G*)* és (H*)* gyengén izomorfak G-vell, illetve H-val. Az, hogy (G*)* és (H*)* gyengén izomorfak következik a dualitás kör  vágás tulajdonságából. Lehet-e más gráfosztályban is definiálni ezt a dualitást? Síkbarajzolható gráfoknál élek felelnek meg egymásnak, körök vágásoknak, és viszont.

13 Definíció G és G* gráfok egymás absztrakt duálisai, ha létezik az éleik között egy olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés, ami kört vágásba, vágást körbe visz. Például, ha G síkbarajzolható, akkor a síkbarajzolásához tartozó duálisa az absztrakt duálisa is lesz. Tétel(Whitney, 1936) Egy gráfnak akkor és csak akkor létezik absztrakt duálisa, ha síkbarajzolható.

14 Tétel Egy H gráf akkor és csak akkor gyengén izomorf G-vel, ha az (i)-(iii) típusú lépések egy véges sorozatával H-ból G-vel izomorf gráfot kapunk. Ha x elvágó pontja H-nak (azaz H – {x} két komponensre esik szét), akkor „húzzuk szét” H-t két komponensre. (i) fordítottja: ha H két komponensből áll, akkor válasszunk mindkét komponensben egy-egy pontot és „ragasszuk össze” ezeknél a pontoknál. Ha x és y olyan pontjai H-nak, hogy H – {x} és H – {y} is összefügő, de H – {x,y}már nem, akkor „ húzzuk szét” a két részt, majd ragasszuk össze fordítva (azaz x-hez y’-t , y-hoz x’-t ragasszuk)

15 x H1 H2 x’ x = x’ H2 H1 (i) (ii) H1 H2 x = x’ y = y’ H1 H2 x = y’ y = x’ (iii)

16 (i) típusnál, ha néhány él kört alkot, akkor teljesen az egyik részben vannak, azaz széthúzás után is kör lesz. Ha viszont nem alkotnak kört, a széthúzás után sem fognak. (ii) típus hasonló. (iii) típusnál, ha néhány él kört alkot, akkor vagy teljesen egyik részben vannak, vagy a kör tartalmazza x-t és y-t. Első eset ugyanaz, mint (i) és (ii). A második esetben a kör x-t és y közti íve megfordul, de kör marad. H1 H2 x = x’ y = y’ H1 H2 x = y’ y = x’ (iii)

17 Gráfok és mátrixok

18 Szomszédsági mátrix n pontú G gráf esetén n x n-es A(G)=(aij) mátrix.
Az A(G) mátrix a G gráf szomszédsági mátrixa. Ha G irányítatlan gráf, akkor A(G) szimmetrikus mátrix. Ha G irányított gráf, akkor aij az i kezdőpontú j végpontú élek száma. Ekkor A(G) nem feltétlenül szimmetrikus mátrix.

19 Legyen A=A(G). Ekkor A2=(cij) esetén
ennyi él megy i-ből k-ba ennyi él megy k-ból j-be Tehát aik·akj az i -ből j-be a k-n átmenő 2 hosszú séták száma. Azaz. cij az i -ből j-be menő összes 2 hosszú séták száma. Állítás Legyen A=A(G). Ekkor At=(mij) esetén mij az i-ből j-be menő t élű séták száma. Bizonyítás teljes indukcióval.

20 Ha G egyszerű irányítatlan gráf, akkor A(G)2 diagonális elemei pont az egyes pontok fokszámai.
Ha G nem tartalmaz hurokéleket, akkor A(G)3 diagonális elemeinek összege a G-ben található 3 hosszú körök hatszorosa. i j1 j2 j3 js i j k aii

21 Gráfok és sajátértékek
A(G) sajátétékeiből sok, a G gráfra vonatkozó információ olvasható ki. Állítás Legyen az A(G) legnagyobb sajátértéke , a maximális fok G-ben . Ekkor  , és reguláris gráfra egyenlőség áll. Megjegyzés G irányítatlan gráfra A(G) szimmetrikus mátrix, belátható, hogy Rn-nek van A(G) sajátvektoraiból álló bázisa és minden sajátértéke valós.

22 Bizonyítás Legyen A(G) legnagyobb sajátértéke , egy hozzátartozó sajátvektor v=(v1,v2,…,vn)T (az Rn szokásos koordinátarendszerében). Feltehető, hogy max|vi|=vk=1. Ekkor A(G)·v=v melynek k-ik kordinátája =ak1v1+ak2v2+…+aknvn ak1+ak2+…+akn=k-ik pont foka  . Ha most G r-reguláris, akkor A(G) minden sorában az elemek összege r. Ez azt jelenti, hogy A(G)·(1,1,…,1)T=(r,r,…,r), azaz r egy sajátérték.

23 Illeszkedési mátrix Villamosságtani szempontból legfontosabb mátrixreprezentáció. Legyen G egy irányított gráf, n ponton e éllel. Az n x e –es B(G) mátrixot a G gráf illeszkedési mátrixának nevezzük, ha bij=1, ha a j-ik él az i-ik ponthoz illeszkedő hurokél. Irányítatlan esetben az él kezdő és végpontjánál is 1 a mátrix elem.

24 Példa e1 e2 e e6 e4 e5 e7 e8 v1 v2 v3 v4 v5 v1 v2 v3 v4 v5 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8

25 Tétel Az n pontú c összefüggő komponensből álló, hurokélmentes irányított gráf illeszkedési mátrixának rangja n-c. Összefüggőség irányított gráfban: az éleket irányítás nélkül tekintjük, és akkor ugyanaz, mint irányítatlan esetben. Bizonyítás Ha c > 1, akkor komponensenként sorolva fel a pontokat és éleket, B(G) blokkdiagonális szerkezetű lesz. C1 C2 Cc Elég tehát egy p pontú összefüggő komponensre belátni, hogy a neki megfelelő blokk rangja p-1.

26 Egy ilyen blokk sorainak száma p, és a sorok összege (0,0,…,0), mert minden oszlopban pont egy +1 és egy -1 áll. (nincs hurokél, minden élnek pontosan egy kezdő és egy végpontja van, és ezek különbözőek): a rang tehát legfeljebb p-1 Legyen F egy feszítőfa ebben a komponensben: p-1 élű. Legyen v1 az F egy elsőfokú pontja, e1 a hozzá illeszkedő él. Ekkor (F - {v1}) is egy fa, legyen v2 egy elsőfokú pontja és e2 a hozzá illeszkedő él. Általában, vi+1 legyen az (F - {v1,v2,…,vi}) fa egy elsőfokú pontja, ei+1 a hozzá illeszkedő él. Ha a blokk sorait v1,v2,…,vp sorrendben soroljuk fel, az oszlopait pedig az e1,e2,…,ep-1 felsorolással kezdjük, akkor a mátrix megfelelő p x p-1-es része a következő alakú: Azaz p-1 lineárisan független oszlopot tláltunk.

27 Tétel Vegyünk a p pontú összefüggő hurokél mentes irányított G gráf illeszkedési mátrixában p-1 oszlopot. Ezek pontosan akkor lineárisn függetlenek, ha a megfelelő p-1 él G egy feszítőfáját alkotja. Bizonyítás Az előző tétel szerint, ha fa, akkor lineárisan független. Tegyük fel, hogy van egy kör, azaz az e1,e2,…,er élek kört alkotnak ebben a sorrendben. a,b,c,d,e{-1,1} e1 e2 e3 e4 e5 v1 v2 v3 v4 v5 Az e1,e2,…,er éleknek megfelelő oszlopokban a többi elem 0.

28 a2 -e2 = -a2+b2=…= d2+e2=0 Legyenek az oszlopok u1,u2,…,ur, a diagonálisban álló elemek a1,a2,…,ar. Ekkor a1u1+…+arur=0. A feszítőfához tartozó p x p-1-es részmátrix bármely sorát elhagyva a maradék determinánsa 1, ugyanis minden esetben pontosan egy nemnulla kifejtési tag van.

29 Tétel Hagyjunk el a G összefüggő p pontú gráf illeszkedési mátrixából egy tetszőleges sort. A keletkező B0 mátrixból képzett B0·B0T mátrix determinánsa éppen a G feszítőfáinak száma. elhagyott sor A bizonyításhoz használjuk: Tétel(Binet, Cauchy) Ha M egy p x r-es, N egy r x p-es mátrix (ahol pr), akkor az M·N mátrix determinánsa ahol Mi az M valamely p oszlopából, Ni pedig N ugyanazon sorszámú soraiból áll, és a szummázás az összes lehetséges p elemű oszlophalmazra történik.

30 Példa B0-ból p-1 oszlopot kivéve, ponosan a feszítőfának megfelelők determinánsa lesz nem nulla, mégpedig ±1. B0T megfelelő soraiból álló részmátrix pont ennek transzponáltja, azaz a determinánsa ugyanaz, azaz a kettő szorzata +1. Pontosan annyi +1-et adunk össze, ahány különböző feszítőfa van.

31 Ha B0·B0T =(dij), akkor dij meghatározható
Ugyanis B0 i-ik sorát szorozzuk a j-ik sorával, hogy dij-t kapjuk. Ezt felhasználjuk Cayley tételének újabb bizonyításához.

32 Az n pontú teljes gráfra

33 Körmátrix Ha a G irányított gráf egy 2 pólusú alkatrészekből álló hálózat kapcsolási gráfja (irányítás: mérőirányok), akkor Kirchoff csomóponti törvényei (áram egyenletek) a B(G)·i=0 alakban irhatók, ahol az i vektor elemei az egyes alkatrészek áramai. Kirchoff feszültség egyenleteit a körmátrix segítségével lehet leírni: C·u=0 Írjuk elő minden egyes kör "körüljárási irányát" (tetszőlegesen, majd rögzítsük.) Ha G-nek k darab köre van, akkor C(G)=(cij) egy k x i-es mátrix, melyre cij=0, ha a j-ik él nem része az i-ik körnek, cij=1, ha j-ik él benne van az i-ik körben és annak körüljárási irányába mutat, cij=-1, ha j-ik él benne van az i-ik körben és annak körüljárási irányával ellenkező irányba mutat .

34 Megjegyzés A szomszédsági és az illeszkedési mátrixok izomorfia erejéig meghatározzák a gráfot. A körmátrix nem, például egy síkbarajzolható gráf két különböző (nem izomorf módon) lerajzolt duálisának ugyanaz a körmátrixa. Általában két gyengén izomorf gráfnak ugyanaz a körmátrixa, ha a körüljárási irányokat megfelelően jelöljük ki. Tétel Az n pontú, e élű, c komponensű irányított gráf körmátrixának rangja e - n + c.

35 Tétel Tekintsünk a p pontú, e élű összefüggő irányított gráf körmátrixában e - p + 1 oszlopot. Ezek pontosan akkor lineárisan függetlenek, ha a megfelelő e - p + 1 él a G egy feszítőfájának komplementere.

36 Vágásmátrix A körmátrixhoz hasonlóan definiálható: Minden vágás egy komponenst vág szét X1 , X2 részhalmazokra. Egy (u,v) él irányítása megegyezik a vágással, ha u X1 és v X2, ellentétes vele, ha u X2 és v X1. Tétel Legyen B, C és Q rendre egy hurokélmentes irányított gráf illeszkedési, kör-, illetve vágásmátrixa. Tegyük fel, hogy oszlopaik ugyanabban a sorrendben felelnek meg G éleinek. Ekkor B·CT=0 és Q·CT=0.