TÖBBCÉLÚ LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ÉS CÉLPROGRAMOZÁS

Az előadások a következő témára: "TÖBBCÉLÚ LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ÉS CÉLPROGRAMOZÁS"— Előadás másolata:

1 TÖBBCÉLÚ LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ÉS CÉLPROGRAMOZÁS
Zoltán Varró

2 Többcélú LP max z1 = c1x max zk = ckx Ax ≤ b x ≥ o A lehetséges megoldások halmaza: L = x  Ax ≤ b , x ≥ o A célvektorok halmaza: LC = z  z = Cx , x  L Zoltán Varró

3 Többcélú LP Neve: TLP vagy vektormaximumfeladat
Ha x minden célfüggvénynek optimum-helye, akkor x abszolút maximumhely. Mi a megoldás, ha a célfüggvények optimumhelyei különbözők? Zoltán Varró

4 Efficiens megoldások Az x1 lehetséges megoldás dominálja az x2 lehetséges megoldást, ha x1 minden célfüggvény esetében legalább olyan jó értéket ad mint x2, és legalább egy célfüggvény esetében jobbat.  x2 figyelmen kívül hagyható Zoltán Varró

5 Efficiens megoldások x efficiens pont, ha az L halmazban nincs egy olyan másik x pont, amely minden célfüggvény szerint legalább olyan jó, mint x, és legalább egy célfüggvény szerint határozottan jobb. A TLP feladat megoldása az efficiens pontok megkereséséből áll. Zoltán Varró

6 Efficiens megoldások x  L efficiens pont, ha nincs olyan x  L pont, amelyre Cx ≤ Cx teljesül úgy, hogy legalább egy komponensnél a szigorú egyenlőtlenség áll fenn. Zoltán Varró

7 Efficiens megoldások Példa: max z1 = 5x1 – 2x2 max z2 = – x1 + 4x2 – x1 + x2 ≤ 3 x1 + x2 ≤ 8 x1 ≤ 6 x2 ≤ 4 x1, x2 ≥ 0 Zoltán Varró

8 Efficiens megoldások x2 ≤ 4 − x1 + x2 ≤ 3 x1 + x2 ≤ 8 x1 ≤ 6
Zoltán Varró

9 Efficiens megoldások z1 = 5x1 − 2x2 = 0 z2 = − x1 + 4x2 = 0
Zoltán Varró

10 Efficiens megoldások z2 optimumhelye z1 optimumhelye 2017.04.04.
Zoltán Varró

11 minden pont dominálja x-et. Belső pont nem lehet efficiens.
Efficiens megoldások Dominancia halmaz: minden pont dominálja x-et. x Belső pont nem lehet efficiens. Zoltán Varró

12 Lehetséges megoldások dominálják a szakasz pontjait.
Efficiens megoldások Lehetséges megoldások dominálják a szakasz pontjait. Zoltán Varró

13 Lehetséges megoldások nem dominálják a szakasz pontjait.
Efficiens megoldások Lehetséges megoldások nem dominálják a szakasz pontjait. Zoltán Varró

14 Lehetséges megoldások nem dominálják a szakasz pontjait.
Efficiens megoldások Lehetséges megoldások nem dominálják a szakasz pontjait. Zoltán Varró

15 Lehetséges megoldások nem dominálják a szakasz pontjait.
Efficiens megoldások Lehetséges megoldások nem dominálják a szakasz pontjait. Zoltán Varró

16 Az efficiens (Pareto optimális) pontok halmaza.
Efficiens megoldások Az efficiens (Pareto optimális) pontok halmaza. Zoltán Varró

17 Efficiens megoldások Az optimális megoldás elmozdul.
Ha növeljük z1-et, akkor z2 csökken. z2 A lehetséges megoldások halmaza, ha z1 = konstans. Zoltán Varró

18 Efficiens megoldások z1 = – 3 z1 = 12 z2 = 15 z2 = 12 z1 = 26 z2 = 2
1, 4 4, 4 6, 4 z1 = 30 z2 = – 6 6, 0 Zoltán Varró

19 Az efficiens pontok célfüggvényértékei
Átváltási görbe − 3, 15 z2 12, 12 Az efficiens pontok célfüggvényértékei 26, 2 z1 Zoltán Varró

20 Efficiencia teszt Ha léteznek olyan pi ≥ 0 és  pi = 1 súlyok, hogy x optimális megoldása a max z = (pC)x Ax ≤ b x ≥ o feladatnak és vagy pi > 0 minden i-re, vagy x az egyetlen megoldás, akkor x efficiens pont. Zoltán Varró

21 Súlyozásos módszer Akkor alkalmazható, ha meg tudunk adni olyan p1, , pk > 0,  pi = 1 súlyokat, amelyek kifejezik a célok relatív fontosságát. A célfüggvényeket a súlyokkal szorozva, majd összeadva egy célfüggvényes LP feladathoz jutunk. Ha L korlátos, akkor az optimális megoldás efficiens pont. Zoltán Varró

22 Súlyozásos módszer Ki kell küszöbölni a célfüggvények dimenziójának különbözőségéből eredő torzító hatást. cix helyett a cix – mi Mi – mi célfüggvényt súlyozzuk, ahol mi = min cix és Mi = max cix az L-en. Zoltán Varró

23 Lexikografikus módszer
Az y vektor lexikografikusan nagyobb az x-nél, ha xi = yi (1, 2, , r – 1< n) és xr < yr . Az y vektor lexikografikusan nagyobb x-nél, ha a megfelelő komponensek közül először y vektoré a nagyobb. Egy x vektor lexikografikusan pozitív, ha első nullától különböző komponense pozitív. Zoltán Varró

24 Lexikografikus módszer
A lex max z = Cx, Ax ≤ b, x ≥ o feladat x optimális megoldása az L halmaz efficiens pontja. Ha x nem lenne efficiens akkor Cx ≥ Cx (x  L) valamely komponensnél először „>” alakban teljesülne, ami lehetetlen, mert Cx lexikografikusan nagyobb Cx-nél. Zoltán Varró

25 Lexikografikus módszer
Akkor alkalmazzuk, ha a magasabb prioritású cél egy egysége értékesebb a következő cél bármennyi egységénél. Mindegyik célfüggvény optimumhelyét a fontossági sorrendben őt megelőző célfüggvény optimális megoldásainak halmazán keressük. Zoltán Varró

26 Lexikografikus módszer
1. Állítsunk elő egy lehetséges bázis-megoldást. 2. Térjünk át új bázisra mindaddig, amíg a) a célmátrix oszlopvektorai között már nem található lexikografikusan negatív, vagy b) van olyan lexikografikusan pozitív vektor, amely alatt nincs pozitív szám. Zoltán Varró

27 Lexikografikus módszer
Ha egy célfüggvénynek egyetlen optimumhelye van, akkor a nála kevésbé fontos célfüggvények nem jutnak szóhoz. Csak olyan oszlopban választhatunk pivot elemet, amelyben a fontosabb célfüggvények sorában nulla áll. Zoltán Varró

28 Lexikografikus módszer
min z1 = 80x1 + 48x2 + 60x3 min z2 = 3x1 + 7x2 + 11x3 10x1 + 20x2 + 25x3 ≥ 200 x1 + x2 + 2x3 ≤ 20 0,5x1 + x2 + x3 ≤ 25 x1, x2, x3 ≥ 0 Zoltán Varró

29 Lexikografikus módszer
v1 z1 − 80 − 48 − 60 z2 − 3 − 7 − 11 u1 10 20 25 −1 200 u2 1 2 u3 0,5 z Zoltán Varró

30 Lexikografikus módszer
v1 z1 − 56 − 2,4 480 z2 1,4 1,8 − 0,44 88 x3 0,4 0,8 −0,04 8 u2 0,2 − 0,6 0,08 4 u3 0,1 0,40 17 z1 optimális megoldásainak halmazán keressük z2 minimumhelyét. Zoltán Varró

31 Lexikografikus módszer
v1 z1 − 56 − 2,4 480 z2 0,54 − 2,25 − 0,35 70 x2 10 u2 u3 15 Nem abszolút minimumhely, mert 0,54 > 0. Zoltán Varró

32 Lexikografikus módszer
A célmátrixban nincs lexikografikusan pozitív oszlopvektor. Az x* = [0, 10, 0] megoldáshoz tartozik a lexikografikusan legkisebb célvektor. Az x* = [0, 10, 0] megoldás efficiens (Pareto optimális) pont. Zoltán Varró

33 Célprogramozási modellek
Abszolút prioritási modell: ha a célok között határozott fontossági sorrendet tudunk megállapítani. (Lexikografikus módszer.) Súlyozott eltéréses modell: ha tudjuk, hogy a célok nem teljesítése mekkora költséget jelent. (Súlyozásos módszer.) Zoltán Varró

34 Abszolút prioritási modell
A Velo kft. városi és túrakerékpárokat szerel össze. A szerelési idő 2 és 3 óra. Felhasználható munkaidő 300 óra. Kerék készlet 300 darab. Eladási ár 40 és 65 ezer forint. Zoltán Varró

35 Abszolút prioritási modell
A kft céljai fontossági sorrendben: 7 millió forintos árbevétel elérése. A városi kerékpárból 130 db összeszerelése. A 300 óra munkaidő felhasználása. Állásidő és túlóra is lehetséges, de kerülendő. Zoltán Varró

36 Abszolút prioritási modell
x1 = városi kerékpárok száma, x2 = túrakerékpárok száma, d1¯ = elmaradás a tervezett bevételtől, d1+ = a tervezett bevétel túllépése, d2¯ = elmaradás a városi kerékpárok tervezett számától, d3¯ = állásidő, d3+ = túlóra. Zoltán Varró

37 Abszolút prioritási modell
min z1 = d1¯ min z2 = d2¯ min z3 = d3¯ + d3+ 2x1 + 2x ≤ 300 40x1 + 65x2 + d1¯ – d1+ = 7000 x d2¯ = 130 2x x d3¯ – d3+ = 300 x1, x2, d1¯,d1+, d2¯, d3¯, d3+ ≥ 0 Zoltán Varró

38 Abszolút prioritási modell
Az első cél elérhető. Adjuk a modellhez a d1m = 0 feltételt. Kíséreljük meg elérni a 2. célt. Zoltán Varró

39 Abszolút prioritási modell
A 2. cél nem érhető el. Adjuk a modellhez a d2m = 20 feltételt. Kíséreljük meg elérni a 3. célt. Zoltán Varró

40 Abszolút prioritási modell
A 3. cél nem érhető el. 40 órányi túlóra szükséges. Zoltán Varró

41 Súlyozott eltéréses modell
Költségek (büntetések): Elmaradás a bevételtől: 1 Ft = 1 Ft. Elmaradás a városi kerékpárok termelési tervétől: Ft/kerékpár, Állásidő és túlóra 1500 Ft/óra. Zoltán Varró

42 Súlyozott eltéréses modell
Zoltán Varró

43 Súlyozott eltéréses modell
Stabil a megoldás. Zoltán Varró

44 Modellezés eltérésváltozókkal
di– = az i-edik cél alulteljesítésének mértéke, di+ = az i-edik cél túlteljesítésének mértéke. Feltételezzük, hogy az i-edik cél a k-adik a célok fontossági sorrendjében. 1. A célnak sem alul- sem túlteljesítése nem kívánatos: Célfüggvény: min zk = di– + di+ Célfeltétel:  aijxj + di– – di+ = bi Zoltán Varró

45 Modellezés eltérésváltozókkal
2.a. A cél túlteljesítése nem kívánatos, de alulteljesíthető. Célfüggvény: min zk = di+ Célfeltétel:  aijxj + di– – di+ = bi 2.b. A cél alulteljesítése nem kívánatos, de túlteljesíthető: Célfüggvény: min zk = di– Zoltán Varró

46 Modellezés eltérésváltozókkal
3.a. A cél túlteljesítése nem kívánatos, alulteljesítése nem megengedett. Célfüggvény: min zk = di+ Célfeltétel:  aijxj – di+ = bi 3.b. A cél alulteljesítése nem kívánatos, túlteljesítése nem megengedett, . Célfüggvény: min zk = di– Célfeltétel:  aijxj + di– = bi Zoltán Varró