2008. Bertha Mária A CAD-CAM modellezés alapjai. 2008. Bertha Mária I.1. A számítógépi modell fogalma. A modellek alkalmazásának előnyei és szükségessége.

Az előadások a következő témára: "2008. Bertha Mária A CAD-CAM modellezés alapjai. 2008. Bertha Mária I.1. A számítógépi modell fogalma. A modellek alkalmazásának előnyei és szükségessége."— Előadás másolata:

1 2008. Bertha Mária A CAD-CAM modellezés alapjai

2 2008. Bertha Mária I.1. A számítógépi modell fogalma. A modellek alkalmazásának előnyei és szükségessége a fejlett tervezésben: Az alaknak és a tervezés minden más eredményének számítógépi leírását számítógépi modellnek nevezzük. A számítógépi modell a valóság számítógépben tárolt adatok formájában való leírása. A modellek rengeteg információt hordoznak magukban (funkciót, alapanyagot, energiát, környezete valamely hatást, ráható erők, hő és egyéb hatások), speciális igényeket is ki tudnak elégíteni (lényegesen lecsökkentik a kísérleteket, próbagyártást, és a vizsgálatokat, mert ezeket mind le lehet modellezni.). A modellezést és a gyártást akár ketté is lehet választani és akár több kontinensen is. A modell a valóságban nem létezik ezért virtuálisnak, nevezzük. A fejlett modellek a termék értékelésére már legalább ugyanannyi, de inkább több információt képes adni, mint a legyártott prototípus, ezért nevezik a fejlett modelleket virtuális prototípusnak.

3 2008. Bertha Mária I. 2. A topológia és a geometria fogalma, topológiai és geometriai entitások és összefüggéseik. A topológia: a geometriai elemek egymáshoz való kapcsolódását írja le. A modellelépítését (struktúráját). A geometria: az alak matematikai leírása A test nem geometria, hanem topológia, a testnek nincsen alakja, a topológiai entitások nem hordoznak alak információt. A topológiai leírás tartalmazza: 1. a modellezett alakon mely élek mely csúcsokba futnak be, 2. mely élek veszik körül az egyes felületeket és 3. mely élek mellett kapcsolódnak a felületek. Ezért a geometriai modellekben topológiai entitásokat helyeznek el. A modellek tehát topológiai és geometriai entitásokból állnak. Minden geometriai entitásnak kell valamilyen topológiai entitáshoz kapcsolódni, azonban van olyan topológiai entitás, amelyekhez közvetlenül nem kapcsolódnak geometriai entitások. A topológia tehát valójában a geometriai modell entitások egymáshoz való kapcsolódásának a sorrendjét írja le. Egy geometriai entitás mindig meghatározott topológiai entitáshoz kapcsolódik, mégpedig a pont csúcshoz, a vonal élhez, a felület laphoz. Magasabb szintű topológiai entitás a test. Összetett topológiai entitások: héj (burok), testelem, lapcsoport.

4 2008. Bertha Mária Topológiai entitások és kapcsolatuk geometriai entitásokkal V E F V = csúcs (vertex) L = zárt éllánc (loop, ring) E = él (edge), P = pont (point) G12 C = görbe (curve) F = lap (face) S = felület (surface) közös él (coedge)

5 2008. Bertha Mária Magasabb szintű topológiai entitások Héj (Shell)Darab (lump) Csúcsok, élek és lapok konzisztens topológiája + anyag Test

6 2008. Bertha Mária Topológiai szabályok testeknél Euler szabály Leonhard Euler (1707-1783) svájci matematikus. A testet határoló felület Euler jellemzője: V - E + F Az Euler jellemző állandó c=V - E + F = 2. A különálló testeket és áttöréseket nem tartalmazó alakok esetében az Euler jellemző értéke c=V - E + F = 2 Topológiai konzisztencia A topológia teljes. A konzisztencia ellenőrzése: topológiai szabályokkal. Csúcsba befutó élek száma három, vagy annál több. Lapot élek zárt lánca vesz körül. Egy él két laphoz tartozik.

7 2008. Bertha Mária 1.3. Testmodellek topológiája, alapvető topológiai szabályok Testmodellek topológiája: Az alapvető topológiai entitásokból további összetett topológiai entitások képezhetők. Összetelt topológiai entitások: héj (burok), testelem, lapcsoport. Az alapvető topológiai entitásokat ezekkel kiegészítve a gépészeti gyakorlatban felmerülő alakmodellezési igények kielégíthetők. Alapvető topológiai szabályok: - topológiai konzisztencia: a topológia teljes, hiánytalan, - A konzisztencia ellenőrzése topológiai szabályokkal, - A topológia a geometria változásával módosulhat, - A csúcsba futó élek száma kettő vagy annál több, - Egy él két laphoz tartozik, - A lapot élek zárt lánca veszi körül. Nem minden topológiai struktúrának kell ezeknek a szabályoknak megfelelni, azonban az ilyen modellek nem testet írnak le.

8 2008. Bertha Mária Lokális Euler operátorok: A topológiai struktúrák Euler operátorokkal (az operátorok ebben az értelmezésben egy számítógépes eljárás, amely a topológiai struktúrán meghatározott műveletkombinációt végez.) módosíthatók. Az Euler operátorok csúcs, él, lap, test, áttörés és gyűrű topológiai elemeket hoznak létre, törölnek, vágnak szét és kapcsolnak össze. Az operátorok a topológiai műveletek olyan kombinációjához lettek kialakítva, amelyek feltétlenül konzisztens topológiai struktúrát hoznak létre. MEV operátor: (make edge and vertei = hozz létre élet és csúcsot). Az él létrehozása azért párosul csúcs létrehozásával, mert az élnek mindenképpen csúcsban kell végződnie. MEF operátor: (make edge and face = hozz létre élet és lapot) akkor alkalmazható, ha a topológiai struktúra bővítése egyetlen éllel elegendő egy lap definiálásához. KEMR operátor: (kill edge and make face = törölj élet és hozz létre lapot] egy hurok két hurokká való bontását eredményezi azáltal, hogy egy élet eltávolít. Lokális Euler operátorok

9 2008. Bertha Mária Példák az Euler szabályra V-E+F=8-12+6=2V-E+F=10-15+7=2V-E+F=2-3+3=2

10 2008. Bertha Mária I. 4. Szomszédsági összefüggések, közös él problematikája. Szomszédsági összefüggések: A topológiai elemek kapcsolatrendszerének leírásában alapot a szomszédossági kapcsolatok adják. A csúcsokhoz, élekhez és lapokhoz hozzárendelhetők azok a csúcsok, élek és lapok, amelyekkel szomszédosak. A modellekben ezeket az információkat táblázat vagy gráf formájában építik be. A csúcs szomszédságának a befutó élek, azok másik végén lévő csúcsok és az élekkel kapcsolatban lévő lapok számítanak. Közös él problematikája: Ahol két lap kapcsolódik egymáshoz, ugyanazon él két él hurokhoz is tartozik. A kettősséget a közös él topológiai entitás bevezetésével kezelik. Az él tehát két él hurokban is szerepel. Csakhogy a két él hurok irányítottsága ellentétes. Az élnek ezt a kétértelműségét a hasított él kettős szerepének definiálásával szüntetik meg, ahol az él egy-­ egy fele egy-egy laphoz tartozik. A hasított él végpontjából az egyik lap felől megelőző, a másik lap felől következő él tartozik. Ezt a megoldást szárnyas él megoldásnak nevezik. Manifold topológia: 1 él - 2 lap. Nem Manifold topológiás l é1 - 4 lap

11 2008. Bertha Mária Szomszédság V 2 V 3 V 4 E 1 E 2 E 3 F 1 F 2 F 3 V 1 szomszédsága V 1 V 1 V 2 V 3 V 4 E 1 E 2 E 3 F 1 F 2 F 3

12 2008. Bertha Mária F 1 Közös él: szárnyas élstruktúra A határfelület ábrázolásának problematikájának megoldása EF 1 F 2 megelőző él követő élmegelőző él követő él V 1 V 2 1 F 2 E 1 V 1 V 2

13 2008. Bertha Mária Topológia építésének kiinduló állapota Él-eltávolítási és csúcs-egyesítési műveletek során egyetlen csúcsot és egyetlen poligont tartalmazó modellt kapunk

14 2008. Bertha Mária Topológia építés lokális Euler operátorokkal MEV – készíts élet és csúcsot! KEMR MEF– készíts élet és lapot!KEMR – távolíts el élet és hozz létre gyűrűt (zárt élláncot)!

15 2008. Bertha Mária I. 5. Az egységes és a több-ábrázolású modellezés fogalma, alapvető alakmodell­ábrázolási módok összehasonlító áttekintése. Az egységes modellezés: amely egységes geometriai leírás mellett egységes topológiai leírást is találunk. A több-ábrázolású modellezés: multireprezentációs modellezés, amely a drótváz, a felület és testmodellekhez jellemzően még azonos CAD/CAM rendszeren belül is eltérő geometriai leírást alkalmaznak. Alapvető alakmodell- ábrázolási módok összehasonlító áttekintése: 1. analitikus módszer, 2. interpolációs módszerrel 3. közelítő módszerrel

16 2008. Bertha Mária I. 6. A görbék paraméteres ábrázolása: a paraméterek fogalma, a paraméter és a modelltérbeli koordináták összefüggése, a görbe lokális tulajdonságai. A paraméterek fogalma: a görbe pontjait azonosítani tudjuk attól függetlenül, hogy az éppen hol helyezkedik el a modelltérben. A görbék egyenletét felírhatjuk explicit alakban: y =F (x). A görbék explicit alakját pedig paraméteres formában: x =x (u), y =y (u), z =z (u). Ezek a paraméteres egyenletek pedig lehetővé teszik, hogy a görbe adott a paraméterű pontjához kiszámítsuk az x, y, és z modelltérbeli koordinátákat. A modelltérbeli pont P helyzetvektora: P (u)=[x (u) y (u) z (u)] Umin < a <Umax A görbe lokális tulajdonságai: 1. Érintő (t), 2. Normális (n), 3. A görbület (r) az egyenestől való eltérést mértékét adja meg. A lokális tulajdonságok a görbe mentén pontról pontra változnak.

17 2008. Bertha Mária I.7. Az interpoláció fogalma. A folytonosság alapesetei. Interpoláció: kísérleti úton vagy számítással előállított pontokon átmenő görbe. Lineáris interpoláció: két - két pontot egyenes szakasszal kötnek össze. -3ponton körív vezethető út. -4 ponton átvezetve harmadfokú görbét kapunk. -pontokra illeszkedés: Lagrange interpoláció. -Hermite interpoláció: görbe fektetését jelenti két pont közé, a két pont és a két pontnál megvalósítandó érintő alapján. Folytonosság alapesetei: - ha a két görbének nincs közös pontja, nem beszélünk folytonosságról, - nullarendű a folytonosság, ha a két görbe határpontja közös, azonban az ezen a ponton az érintők nem közösek, ezért a görbék határán töréspont tapasztalható, - elsőrendű folytonosság: ha a két görbe érintője (t) az illeszkedési ponton közös, - másodrendű folytonosság, amikor a két görbe görbülete (r) az illeszkedési ponton azonos, - Ha a fenti folytonossági követelmények a paraméteres leírású görbékre vonatkoznak, akkor paraméteres folytonosságnak nevezzük, - Létezik még geometriai folytonosság is.

18 2008. Bertha Mária A de Casteljau algoritmus. A görbék tervezésénél alkalmazott geometriai összefüggésekkel kapcsolatban talán a legfontosabb a de Casteljau algoritmus. Ez tetszőleges fokszámú térbeli görbe szerkesztéséhez alkalmas formában adja meg a parabola ismert szerkesztésének általánosítását. A de Casteljau algoritmusnál lineáris interpolációt alkalmazunk. A de Casteljau algoritmus többszörös lineáris interpolációval határozza meg a görbe pontját. Harmadfokú görbe esetén az interpolációk száma 3.

19 2008. Bertha Mária I. 8. A közelítés fogalma. A Bezier görbék tulajdonságai. A konvex burok. A Bernstein függvények hatása a görbe tulajdonságaira. Bezier görbe: A görbék pontokból és érintővektorokból kiinduló meghatározása a gyakorlati alkalmazása nehézkes. Az n- ed fokú, n+1-ed rendű, n+1 vezérlőponttal irányított. Bezier görbék tulajdonságai: - globális vezérlés, - nemszegmentált, - approximális (közelítő), - a görbének a vezérlőpontok számával összefüggő a fokszáma, - a görbének az első és az utolsó ponton át kell haladnia, - a vezérlősokszög által lefedett ún. konvex burok. A globális vezérlés: egy pont változtatásával változik az egész görbe. Konvex burok: A Bezier görbe fontos tulajdonsága, hogy a vezérlősokszög által lefedett úgynevezett konvex burkon belül helyezkedik el. A Bernstein függvények hatása a görbe tulajdonságaira: Paul Bezier a görbék leírásánál a Bernstein polinomokat alkalmazta. A görbének az első és az utolsó vezérlőponton át kell haladnia, ezt a tulajdonságát a görbe a Bernstein polinomtól kapta.

20 2008. Bertha Mária 1. 9. A B-szplájn görbék tulajdonságai, racionális B- szplájn görbék. A B-szplájn görbék tulajdonságai: lokális vezérlés, az alapfüggvény fokszámával összefüggő, a vezérlőpontok számától független fokszámok és szplájn függvények. A B-szplájn függvény nem megy át az első és az utolsó vezérlőponton, azonban megfelelő módosulata átvezethető ezeken a pontokon. A B-szplájn görbe szegmentált. A folytonosság a szegmensek határán az alapfüggvény fokszámától függ. A folytonosság követelménye befolyásolja a fokszám megválasztását. A szegmensek határain a másodrendű folytonosság harmadfokú polinommal biztosítható. A vezérlőpontoktól nem függ a görbe fokszáma. A görbe fokszáma és a vezérlőpontokhoz kapcsolt függvények fogszáma megegyezik. Szegmentáltság: a B-szplájn alapfüggvényt meghatározott paraméterintervallumon belül definiálják. Lokális vezérlés: ha 1 pontot elmozdítunk a görbének csak egy része változik. Racionális B-szplájn görbék: Analitikus görbék leírását teszi lehetővé. Racionális: 2polínom hányadosaként állítható elő. A racionális görbe is lehet egyenközű, nem egyenközű, nem periodikus. A gyakorlatban a nem egyenközű racionális B-szplájn görbék (NURBS) terjedtek el. Négydimenziós tér: P a w-ediken= (wx,wy,wz,w), ahol w>0, W a homogén koordináta, amelyet súlyozásnak nevezünk. A racionális B-szplájn görbéket csomóvektora és súlyvektora jellemzi.

21 2008. Bertha Mária Szegmensek B-szplájn görbén u= u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u 1 u 2 Csomó Szegmens Szegmens paramétertartománya

22 2008. Bertha Mária B-szplájn görbe tulajdonságai Szegmensekből áll Folytonosság a szegmensek határain Lokális vezérlés. Szplájn alapfüggvény A görbe fokszáma megegyezik az alapfüggvény fokszámával. Szegmensenként eltérő fokszám lehet. Az első és utolsó vezérlőponton csak megfelelő paraméterezés esetén halad át. Ekkor egyben érintőleges a vezérlő sokszög első és utolsó szegmensére. Szplájn: rugalmas acélszalag, amely kitűzési pontok közé feszítve harmonikus görbét ad. Ezt a hajóépítésben használt eszközt modellezték.

23 2008. Bertha Mária B-szplájn görbe szegmentált tulajdonsága A B-szpájn alapfüggvényt meghatározott paraméter-intervallumon belül definiálják. Példa: Zárt görbe hat vezérlőponttal irányítva hat szegmensből áll. Az egyes szegmensek a következő szegmenssel két közös vezérlőpont hatása alá tartoznak. Az első szegmenshez a V0-V2, a második szegmenshez a V1-V3 vezérlőpontok tartoznak, és így tovább. V 0 V 1 V 2 V 3 V 4 V 5

24 2008. Bertha Mária I.11: Tabulált felületek, vonalfelületek és forgásfelületek származtatása. Együtt kezelendő görbék felületekhez. Tabulált (extrudált) felületek: egy síkbeli görbe meghatározott egyenes mentén való egyenes vonalú mozgása által bejárt felületként értelmezzük. Vonalfelület: két térbeli görbe azonos paraméterű pontjainak egyenes szakaszokkal való összekapcsolásával jön létre. A görbéket síneknek az egyenes szakaszokat generátoroknak nevezzük. Forgásfelület: egy síkbeli görbe megadott tengely körül meghatározott szögtartományban való megforgatásával keletkezik. A görbe a megadott szög mentén különböző helyzeteket vesz fel, ezek a meridiángörbék. Együtt kezelendő görbék felületekhez: Az együttkezelendő görbék csoportjának egy magasabb szintű szervezete a görbehálózat. A görbehálózat valamely felületkomplexum előállításához szükséges valamennyi görbét magában foglalja. A görbehálózatok mindenütt előnyösen alkalmazhatók, ahol összetett felületet kell létrehozni viszonylag nagy számú görbéből kiindulva. A görbehálózat és a felületek asszociatív kapcsolatban vannak, így a vonalak módosításával a felületek is módosulnak.

25 2008. Bertha Mária Felületek paraméteres ábrázolása

26 2008. Bertha Mária Modelltér és paramétertér