Munka és energia.

Az előadások a következő témára: "Munka és energia."— Előadás másolata:

1 Munka és energia

2 Munka Fizikai értelemben munkavégzésről akkor beszélünk, ha egy test erő hatására elmozdul. Ha állandó F erő hatására az erő irányában s úton elmozdul a test, akkor az erő munkája: W = F·s [Nm = J] Ha állandó F erő hatására az elmozdulás a szöget zár be erő irányával, akkor s úton az erő munkája: W = F·s·cosa

3 Munka Általános definíció: W = F·Dr·cosa = F·Dr

4 Emelési munka Függőlegesen mozgatunk egy testet.
A nehézségi erő ellenében végez az F erő munkát. A mozgás egyenletes, az F erő nagysága ugyanakkora, mint a nehézségi erő: F = m·g We= m·g·h

5 We= m·a·s = m·a·½at2= ½ m·a2·t2= ½ m·v2
Gyorsítási munka Ha egy kezdetben nyugvó testre állandó erő hat, a test egyenes vonalú egyenletesen változó mozgást végez. A test a mozgás során az erő irányába mozdul el, így munkavégzés történik. F= m·a We= m·a·s = m·a·½at2= ½ m·a2·t2= ½ m·v2

6 Lineáris erő ellenében végzett munka
Lineáris erő: F ~ x Rúgó erő ellenében végzett munka: F =D x

7 Energia Energia  Munkavégző képesség
Egy meghatározott A állapotban levő test energiával rendelkezik, ha megfelelő körülmények között munkavégzésre képes. Energiáját azzal a munkával mérjük, amelyet a test végez, míg egy A állapotból a megállapodás szerint választott A0 állapotba jut, vagy azzal a munkával, amelyet a testre ható erők ellenében végeznünk kell, míg A0 -ból A-ba juttatjuk. Az energia mértékegysége megegyezik a munkáéval. [J]

8 Helyzeti (potenciális) energia
Bármely magasságba felemelt testeknek van energiája. A gravitációs erő képes a felemelt testet mozgásba hozni. A helyzeti energia szempontjából alapállapotnak tetszőleges magasságot tekinthetünk. E = mgh

9 Mozgási (kinetikus) energia
Ha bármely test valamilyen v sebességgel mozog, annak energiája van. Alapállapotnak ebben az esetben a nyugalmi állapotot tekintjük. Ekin= ½ m·v2

10 Rugalmas energia A kihúzott rugónak energiája van. Alapállapotnak ebben az esetben a test feszítés előtti állapotát tekintjük.

11 Munkatétel Egy tömegpont kinetikus energiájának megváltozása megegyezik a ráható erők eredője által végzett munkával:

12 Konzervatív erőtér A térnek azt a tartományát, amelyben az odahelyezett testekre erő hat, erőtérnek vagy mezőnek nevezzük. Az erőterek minden pontjához rendelhetünk egy fizikai mennyiséget, azt a munkát, amelyet az erőtér végez, miközben a test az adott pontból egy vonatkoztatási pontba jut. Ez a munka konzervatív erőterek esetén csak az erőtértől és a két pont megválasztásától függ. A vonatkoztatási pontot rögzítve már csak az erőtérnek és a vizsgált pontnak a függvénye.

13 Konzervatív erőtér Konzervatív erőtérnek nevezzük azt az időben állandó erőteret, amelyben tetszőleges zárt görbe mentén a végzett munka zérus

14 Konzervatív erőtér Konzervatív erők: Nem konzervatív erők:
nehézségi erő gravitációs erő (elektromos erő) Nem konzervatív erők: súrlódási erő közegellenállási erő

15 A mechanikai energia megmaradásának tétele
A mozgási, a helyzeti és a rugalmas energiát közös néven mechanikai energiának nevezzük. Egy konzervatív erőtérben mozgó tömegpont kinetikus és potenciális energiájának összege (összes mechanikai energiája) a mozgás folyamán állandó.

16 Teljesítmény Teljesítmény  az időegység alatt végzett munka

17 Harmonikus rezgőmozgás dinamikája
Lineáris erőtörvény, rugalmas erő: F=-Dx D a direkciós állandó F = ma -Dx = ma

18 Harmonikus rezgőmozgás dinamikája
bevezetve:

19 Harmonikus rezgőmozgás dinamikája
Keressük az egyenlet megoldását! és az általános megoldás két független megoldás lineáris kombinációjaként állítható elő: ahol B és C tetszőleges állandók, amelyeket a kezdeti feltételekből határozhatunk meg.

20 Harmonikus rezgőmozgás dinamikája
A kezdeti feltételekből: ha t = 0 esetén a kezdeti kitérés és sebesség értéke x0 és v0, akkor: x(t=0) = x0 = C A sebességfüggvényt a kitérés idő szerinti differenciálásával kaphatjuk:

21 Harmonikus rezgőmozgás dinamikája
t = 0 esetén: C-t és B-t behelyettesítve:

22 Harmonikus rezgőmozgás dinamikája
Bevezetve a és jelöléseket: felhasználva: kapjuk:

23 Harmonikus rezgőmozgás dinamikája
A amplitúdó és a a fázisszög (kezdőfázis) A és a a kezdeti feltételek (x0, v0) által meghatározottak:

24 Pontrendszerek mechanikája
Pontrendszer a kettő, vagy ennél több tömegpont együttese n a pontrendszerhez tartozó tömegpontok száma m1, m2, … mn az egyes tömegpontok tömege. ri az mi tömegpont helyvektora

25 Pontrendszerek mechanikája
Fi az i-dik tömegpontra ható eredő, függ a többi tömegpont helyétől, sebességétől: n db differenciál vektoregyenlet, megoldása nehéz

26 Pontrendszerek mechanikája
Az i-dik tömegpontra ható erőket a rendszer szempontjából külső és belső erőkre oszthatjuk fel Fij az i-dik tömegpontra a j-dik által kifejtett ún. belső erő, míg a pontrendszeren kívüli objektumok által mi-re kifejtett külső erőhatások eredőjét Fi jelöli. Nyilvánvalóan Fii = 0.

27 Pontrendszerek mechanikája
az i-edik tömegpont mozgásegyenlete így: a pontrendszer mozgását leíró egyenleteket összeadva kapjuk:

28 Tömegközéppont Newton III. tv.-e értelmében: Fij=-Fji ezért :
A jobb oldalt átalakítva: Tömegközéppont helyvektora

29 Tömegközéppont tétel Egy pontrendszer tömegközéppontja úgy mozog, mintha a rendszer teljes tömege ebben a pontban lenne egyesítve, és rá hatna a külső erők eredője. Ez a tömegközéppont tétele.

30 Impulzustétel A jobb oldalt másként átalakítva:
A pontrendszer teljes impulzusa: Impulzustétel: egy pontrendszer teljes impul-zusának idő szerinti differenciálhányadosa megegyezik a rendszerre ható külső erők eredőjével:

31 Impulzusmegmaradás törvénye
A pontrendszer belső erői tehát nem változtatják meg a rendszer teljes impulzusát. Az impulzustétel speciális esete az impulzusmegmaradás törvénye, amely kimondja, hogy egy zárt rendszer esetén, vagy ha a külső erők eredője 0 a rendszer teljes impulzusa időben állandó. I = const.

32 Ütközések Az ütközések során általában két (v. több) objektum kerül nagyon rövid ideig tartó intenzív kontaktusba. Az ütköző testeket egyetlen pontrendszernek tekintve elmondhatjuk, hogy az ütközés során a belső erők játszanak meghatározó szerepet, ezek azonban nem változtatják meg a rendszer teljes impulzusát.

33 Ütközések Az impulzusmegmaradás törvénye még külső erők jelenlétében is jó közelítéssel teljesül, ha közvetlenül az ütközés előtti és utáni időpillanatokat hasonlítjuk össze. ha Dt=0, akkor DI is elhanyagolható Az ütközések tárgyalása során tehát általában érvényesnek tételezzük fel az impulzusmegmaradás törvényét.

34 Ütközések Centrális ütközés: a két érintkező felületnek az ütközési ponthoz tartozó normálisa, az ütközési normális egybeesik a két pont tömegközéppontját összekötő egyenessel Egyenes vagy ferde ütközésről beszélünk aszerint, hogy közvetlenül az ütközés előtt a két golyó sebességvektora egy egyenesbe esik vagy nem.

35 Ütközések Az ütközés során a találkozó testek deformálódnak, majd az ütközés után vagy visszanyerik eredeti formájukat (rugalmas ütközés), vagy a deformáció tartós marad (rugalmatlan ütközés). Ütközések általában bonyolult jelenségek!!! Mi csak a transzlációs mozgást végző homogén golyók ütközésével foglalkozunk.

36 Tökéletesen rugalmas ütközés
m1v1+m2v2 = m1u1+m2u2 m1 és m2 tömegű testek sebessége ütközés előtt: v1, v2 ütközés után: u1 , u2

37 Egydimenziós rugalmas ütközés
A másodikat osztva az elsővel:

38 Egydimenziós rugalmas ütközés
Speciális esetek: m1 = m2 akkor u1= v2 és u2= v1

39 Egydimenziós rugalmas ütközés
Speciális esetek: m1 = m2 akkor u1= v2 és u2= v1

40 m2 >> m1 és v2 =0, akkor u2= 0, u1≈ -v1
Ha az egyik test tömege jóval nagyobb mint a másik, akkor az gyakorlatilag mozdulatlan marad az ütközés során, míg a másik ugyanakkora sebességgel pattan vissza.

41 Tökéletesen rugalmatlan ütközés
Ebben az esetben a deformáció az ütközés után tartósan megmarad, a testek összetapadva egy közös sebességgel együtt mennek tovább, u1 = u2 = u m1v1+m2v2 = (m1+m2)u

42 Ütközés A valóságos ütközések a rugalmas és rugalmatlan határeset közötti átmenetként értelmezhetők. A testek ugyan visszapattannak, de a deformáció egy része megmarad. Hogy a valós ütközés milyen mértékben közelíti a tökéletesen rugalmas ütközést, azt egydimenziós esetben az ún. ütközési együttható fejezi ki:

43 Ütközés tökéletesen rugalmas ütközésnél 1, tökéletesen rugalmatlannál 0, egyéb esetben 1 >  > 0. Abban a speciális esetben, ha m2 >> m1 (pl. fal), akkor , amelynek megnyilvánulásaként pl. egy pattogó labda egyre kisebb magasságra pattan fel, amíg végül megáll.

44 Az impulzusmomentum tétele
Az i-dik tömegpontra vonatkozó mozgásegyenlet mindkét oldalát az ri helyvektorral balról vektoriálisan megszorozva: Forgatónyomaték:

45 Az impulzusmomentum tétele
A jobboldalt átalakítva: Impulzusmomentum:

46 Az impulzusmomentum tétele
Az összes i-re összegezve: ahol N jelöli a pontrendszer teljes impulzusmomentumát.

47 Az impulzusmomentum tétele
Ha a belső erők centrálisak, azaz a belső erők a tömegpontokat összekötő egyenesek irányába mutatnak, akkor a belső erők forgatónyomatékainak összege zérus. Tekintsük két tömegpont egymásra kifejtett forgatónyomatékainak az összegét. A hatás-ellenhatás törvénye alapján Fij = -Fji,

48 Az impulzusmomentum tétele
Az impulzusmomentum tétele szerint ha a belső erők centrálisak, akkor egy pontrendszer teljes impulzusmomentumának idő szerinti differenciálhányadosa megegyezik a külső erők forgatónyomatékainak összegével.

49 Impulzusmomentum megmaradás tétele
Speciális eset: Egy zárt rendszer esetén, vagy ha a külső erők forgatónyomatéka zérus, akkor a pontrendszer teljes impulzusmomentuma időben állandó.

50 Merev testek mechanikája
Az olyan pontrendszereket, ahol a tömegpontok közti távolságok a mozgás folyamán nem változnak, merev testeknek nevezzük. Egy merev test helyzetét 6 független adat határozza meg, azaz egy merev test szabadsági fokainak száma 3n helyett csupán s = 6. (n a tömegpontok száma.)

51 Merev testek mechanikája
A merev test alapvető mozgásai: transzláció: a test minden pontja egyidejűleg egymással párhuzamos, egyenes vonalú pályán mozog. rotácó: egy meghatározott egyenes, a forgástengely pontjai helyzetüket változatlanul megtartják, a test többi pontjának pályái pedig a forgástengelyre merőleges síkban fekvő körívek.

52 Merev testek mozgása A merev testek mozgására érvényesek mindazok az általános tételek, amelyeket a pontrendszerek esetében levezettünk. A tömegközéppont tétele és az impulzusmomentum tétele:

53 Merev test forgása rögzített tengely körül
Legyen z a forgástengely mi körmozgást végez ri merőleges vi-re

54 Merev test forgása rögzített tengely körül

55 Merev test forgása rögzített tengely körül
Q az adott forgástengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték

56 Merev test forgása rögzített tengely körül

57 Mechanikai hullámok Mechanikai hullámról beszélünk akkor, ha egy rugalmas közeg egyensúlyi állapotát valamiképpen megbolygatva az előidézett zavar tovaterjed a közegben. A hullámok terjedése során a közegrészecskék egyensúlyi helyzetük körül rezegnek, azaz átlagos elmozdulásuk zérus.

58 Mechanikai hullámok Ha a közeg részecskéi a terjedési irányra merőleges mozogást végeznek, akkor transzverzális hullámról van szó.

59 Mechanikai hullámok Ha a közeg részecskéi a terjedés irányában rezegnek, akkor longitudinális hullámról beszélünk, A longitudinális hullámoknál sűrűsödések és ritkulások terjednek tova.

60 Harmonikus hullámok matematikai leírása
Egy harmonikus rezgést végző hullámforrás szinuszos (harmonikus) hullámok megjelenéséhez vezet, amelyeket amplitúdójuk, hullámhosszuk, frekvenciájuk ill. sebességük jellemez. A hullám amplitúdóját a közegrészecskék maximális kitérése adja meg, míg hullámhossznak (l) a hullám azonos fázisban rezgő szomszédos pontjainak távolságát nevezzük. Ha a részecskék rezgésideje T, akkor nyilvánvalóan a hullám T idő alatt l távolságot tesz meg.

61 Harmonikus hullámok matematikai leírása

62 Harmonikus hullámok matematikai leírása
ahol a hullámszám, pedig a rezgő részecskék körfrekvenciáját jelöli.

63 Hullámok találkozása, interferencia
Általában interferenciáról beszélünk akkor, ha két vagy több hullám egy adott térrészben találkozik. Az eredő hullám a szuperpozíció elve alapján szerkeszthető meg, azaz a tér egyes pontjaiban a jelenlevő rezgések összeadódnak.

64 Hullámok találkozása, interferencia
Szűkebb értelemben akkor beszélünk interferenciáról, ha a két hullám összegződése időben állandó hullámképet (intenzitáseloszlást) hoz létre. Ilyet csak azonos frekvenciájú és állandó fáziskülönbséggel találkozó hullámok adhatnak, ezeket nevezzük koherens hullámoknak.

65 Interferencia Ha a találkozó hullámok fáziskülönbsége 0, 2, 4, …stb. akkor maximális erősítés, ha , 3, … stb. esetén maximális gyengítés, egyenlő amplitúdóknál pedig kioltás jön létre.