A matematikai logika alapfogalmai

Az előadások a következő témára: "A matematikai logika alapfogalmai"— Előadás másolata:

1 A matematikai logika alapfogalmai

2 A: A 2 prím szám. B: Ma kedd van. C: Itt most esik az eső. D: Marinak szép a ruhája. E: Hány óra van? M: Nyisd ki az ajtót! G:Van pénzem mozijegyre. F: Moziba megyek. H: A 4 prím szám.

3 Kijelentés Definíció: Logikai értelemben kijelentésnek nevezzük azt a kijelentő mondatot, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis. Az igaz és a hamis a kijelentés logikai értéke. Jelölés:

4 Műveletek-Negáció H: A 4 prím szám. (h) J: A 4 nem prím szám.( i)
A H kijelentés tagadása a J. Jelölés: Logikai értéktábla: p ┐p i h

5 Konjunkció (összekötés, együttállás)
A: Itt most esik az eső. B: Itt most fúj a szél. A és B: Itt most esik az eső és fúj a szél. Jelölés: Logikai értéktábla: p q pq i h

6 Diszjunkció(elválasztás, szembeállítás)
P:Ma moziba megyek. Q: Ma biciklizni fogok. P vagy Q: Ma moziba megyek vagy biciklizni fogok. Jelölés:pq Értéktáblázat: p q pq i h

7 Implikáció p:Itt most esik az eső. q. Esernyőt viszek magammal.
Ha p akkor q: Ha itt most esik az eső, akkor esernyőt viszek magammal. Jelölés: pq p-elegendő feltétele q-nak. p-nek szükséges feltétele q. p-előtag vagy premissza q- utótag vagy konklúzió p q pq i h

8 Példa 1. Igaz-e a következő implikáció:
Ha a Hold sajtból van, akkor ez matematika könyv. 2. Írjuk fel a logikai műveletekkel a következő kijelentéseket,ha p: A bajnokságot a Falábúak nyerik q: Megeszem a kalapom. Ha a bajnokságot a Falábúak nyerik, akkor megeszem a kalapom. Nem nyernek a Falábúak, vagy megeszem a kalapom. Ha nem esszem meg a kalapom, akkor nem nyernek a Falábúak. Nem igaz, hogy nyernek a Falábúak és nem eszem meg a kalapom. Megoldás.2. a. pq, b. ┐pq, c.┐q ┐p d. ┐(p┐q)

9 Ekvivalencia p q pq i h p: Moziba megyek. q: Van pénzem mozijegyre.
p akkor és csak akkor, ha q: Moziba megyek akkor és csak akkor, ha van pénzem mozijegyre. pq p q pq i h

10 Példa 1.Akövetkező állítást bontsuk fel egyszerű kijelentésekre, és azokból logikai műveletek segítségével írjuk fel az összetett kijelentést! a. Ha délután tanulok és nem megyek moziba, akkor holnapra felkészülök, és Pistával teniszezek vagy sakkozom. b. Ha megoldom a matek- házi feladatot, akkor megnézem a televízió esti műsorában a híradót és a filmet.

11 Megoldás a: A: Délután tanulok. B.: Délután moziba megyek.
C: Holnapra felkészülök. D: Pistával teniszezem. E: Pistával sakkozom. (A(┐B))(C(DE)) b. A: Megoldom a matek-házit. B: Megnézem a televízió esti műsorában a híradót. C: Megnézem a televízió esti műsorában a filmet. A┐(BC)

12 Példa Ha egy természetes szám nullára végződik, akkor osztható 5-el.
Fogalmazza meg a fenti állítás megfordítását. A megfordítás igaz vagy hamis?

13 Példa Mi a tagadása a következő kijelentésnek?
„Minden páros szám nullára végződik” Van olyan páros szám amelyik nem nullára végződik.

14 Példa Mi az alábbi állítások tagadása?
a. Ma este moziba megyek vagy olvasok. b. Minden magyar egyetemistának van nyelvvizsgája vagy autója. c. Hull a hó, és Micimackó fázik. d. Van olyan autó, amelyiknek lejárt a zöldkártyája és nincs biztosítása. Megoldás: a. Ma este nem megyek moziba és nem olvasok. b. Van olyan magyar egyetemista akinek nincs nyelvvizsgája és nincs autója. c. Nem hull a hó vagy Micimackó nem fázik. d. Minden autónak nem járt le a zöldkártyája vagy van biztosítása.