Oszthatósággal kapcsolatos feladatok pszeudokódban.

Az előadások a következő témára: "Oszthatósággal kapcsolatos feladatok pszeudokódban."— Előadás másolata:

1 Oszthatósággal kapcsolatos feladatok pszeudokódban.
Prímszámok nélkül van élet?

2 Prímszámok alkalmazási területe
Rendkívül nagy prímszámokat (amelyek nagyobbak, mint 10100) használnak számos nyílt kulcsú titkosítás algoritmusában. A prímeket használják még hasítótáblákhoz (hash tables) és álvéletlenszám- generátorokhoz. Kriptográfiai alkalmazásokban (például az RSA nyilvános kulcsú rejtjelezőnél) gyakran van szükség nagy (többszáz jegyű) prímszámok keresésére. Ezt legtöbbször véletlen számok generálásával és prímtesztelésével végzik.

3 Hány prímszám van? Tágabb értelemben, ha az egész számok gyűrűjében vizsgálódunk, prímszámnak azokat a számokat nevezzük, melyeknek csak pontosan két pozitív osztójuk van. Minden, a természetes számok körében prímnek számító szám az egész számok körében is prím, és ezek ellentettjei is (és ez az összes tágabb értelemben vett prímszám). Pl. 2 és -2, 3 és -3 prímek, és ha z prím, akkor (és csak akkor) -z is az (az algebrai számelmélet nyelvén, a prímek egymáshoz asszociált párokat alkotnak, melyeknek ha rendre csak ha a pozitív tagjait tekintjük, akkor pontosan a természetes számok körében prímnek számító számokat kapjuk). Egy még újabb megfogalmazásban, tágabb értelemben prím egy egész szám akkor, ha abszolút értéke (szűkebb értelemben) prím. Adott x Végtelen sok prímszám van. Ennek az állításnak a legrégibb bizonyítását Euklidész adta meg Elemek című munkájában. Euklidész állítása a következő: „a prímszámok darabszáma nagyobb bármely adott (véges) számnál” Adott x A 0 nem prímszám (hiszen végtelen sok osztója van, minden n természetes szám osztja 0=0*n miatt) és - emiatt - nem is felbonthatatlan. Az 1-et, bár „felbonthatatlannak” lenne tekinthető ama tág értelemben, miszerint nincs nem-triviális osztója, mégsem tekintjük prímszámnak (ennek valószínű okát ld. lentebb), és a prímszámoknak mind a matematikai hagyományra épülő, mind az algebrai számelméletben szokásos definíciója (ld. irreducibilis elem). A legelső (legkisebb) pozitív prímszámok a következők: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, … Találj példákat a primek használatára? Szám prímtényezős felbontása. Definiáld a primszámot!

4 Eratoszthenész szitája
Hol alkalmazod ezt a keresési, kiválogatást végző módszert? Döntsd el egy számról, hogy prím! Naiv módszer A legegyszerűbb módszer a következő: az adott egész számot sorra elosztjuk a nála határozottan kisebb pozitív egész számokkal. Ha van ezek között olyan, 1-től különböző szám, ami az adott egész számnak osztója, akkor a szám nem prím; ellenben viszont, ha nincs, akkor ez a szám egy prímszám. Egy nagyon primitív pszeudokód formájában a következőképp „algoritmizálhatjuk” ezt: 1). legyen s=2; és olvassuk be a tesztelendő n egész számot, 2). ha n=0 vagy n=1, akkor sem nem prím, sem nem összetett; STOP; ha n>2, menjünk 3).-ra 3). Képezzük az m=<n mod s> maradékot; ha ez 0 és m<n, akkor n nem prím, STOP; ha m=n, akkor n prím, STOP; ha pedig az előző esetek egyike sem teljesül, ekkor tehát m<n és m nem nulla, legyen s=s+1, és menjünk 3).-ra.

5 Szekvenciális keresés
Keresd ki 1-től n-ig, ahol n egy természetes szám a prímeket! Hogyan jársz el. Írd le a lépéseket.

6 Szekvenciális keresés
Keresd meg anélkül a prímeket 1-től n-ig, hogy minden közbeeső számról eldöntöd, hogy prim-e vagy sem! Adj ötletet!

7 Eratoszthenész szitája
Hol alkalmazod ezt a keresési, kiválogatást végző módszert? Animáció Eratoszthenész szitája a neves ókori görög matematikus, Eratoszthenész módszere, melynek segítségével egyszerű kizárásos algoritmussal megállapíthatjuk, hogy melyek a prímszámok – papíron például a legkönnyebben 1 és 100 között. Az algoritmus 1. Írjuk fel a számokat egymás alá 2-től ameddig a prímtesztet elvégezni kívánjuk. Ez lesz az A lista. (Az animáció bal oldalán.) 2. Kezdjünk egy B listát 2-vel, az első prím számmal. (Az animáció jobb oldalán.) 3. Húzzuk le 2-t és az összes többszörösét az A listáról. 4. Az első át nem húzott szám az A listán a következő prím. Írjuk fel a B listára. 5. Húzzuk át az így megtalált következő prímet és az összes többszörösét. 6. Ismételjük a 3–5. lépéseket, amíg az A listán nincs minden szám áthúzva. animáció bal oldala animáció jobb oldala 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

8 Eratoszthenész szitája
20 18 A csapatok végezzék el az A3-as lapon a szűrést négy különböző intervallumra. Minden csapattag egy bizonyos intervallumon dolgozzon. 16 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12 18 10 15 25 8 12 20 6 9 15 4 6 10 2 3 5

9 Eratoszthenész szitája
Szabályok lekövetkeztetése a következő kérdések figyelembevételével: Miért nem lett kihúzva a prím, vegyél egy konkrét prímszámot a szitából. Írd le azokat a szabályokat, amiért ő nem lett kihúzva. Milyen távolságra vanna a prímek egymástól? Mit jelent az, hogy a szorzás kommutatív, ebben a feladatban? Tehát hányadik többszörösét vesszük legelsőként az aktuális rákövetkező számnak. És ez a rákövetkező szám a 2-es után a hányas szám? Milyen tulajdonsággal bír?