Lineáris egyenletrendszerek

Az előadások a következő témára: "Lineáris egyenletrendszerek"— Előadás másolata:

1 Lineáris egyenletrendszerek
Lineáris algebra Lineáris egyenletrendszerek

2 Lineáris egyenletrendszerek általános alakja

3 Lineáris egyenletrendszerek típusai

4 Lineáris egyenletrendszerek típusai
Ha a jobb oldalon lévő b1, b2, ……..bm számok mindegyike zérus, akkor homogén lineáris egyenletrendszerről beszélünk. Nyilván egy ilyen egyenletrendszernek mindig van triviális megoldása, ami azt jelenti, hogy x1= x2= ……..=xn =0 Az ilyen egyenletrendszerek megoldásának lényege a triviálistól különböző megoldások megkeresése.

5 Lineáris egyenletrendszerek típusai
Ha a jobb oldalon lévő b1, b2, ……..bm számok nem mindegyike zérus, akkor inhomogén lineáris egyenletrendszerről beszélünk. Lehetséges esetek: Nincs megoldás Pontosan egy megoldás van Végtelen sok megoldás van

6 Lineáris egyenletrendszerek típusai II.

7 Lineáris egyenletrendszerek megoldása
A lineáris egyenletrendszer megoldása az olyan x1, x2, ……xn , számok meghatározását jelentik, amelyek az összes egyenletet kielégítik. A lineáris egyenletrendszereket ekvivalensnek nevezzük, ha pontosan ugyanazok az egyenletrendszerek megoldásai.

8 Ekvivalens átalakítások:
Az egyenletrendszer megoldáshalmaza nem változik, ha az alábbi átalakításokat hajtjuk végre: Két egyenlet felcserélése Az egyik egyenletnek zérustól különböző valós számmal való szorzása Az egyik egyenletnek, vagy valós számmal való szorzatának hozzáadása a másik egyenlethez

9 Lineáris egyenletrendszer kibővített mátrixa

10 Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss eliminációval
A megoldás az ismeretlenek szukcesszív kiküszöbölésével történik.

11 Mátrixalgebra Az mxn db aij elemből álló téglalap alakban elrendezett számtáblázatot (mxn) típusú mátrixnak nevezzük. aij szimbólum a mátrix i-edik sorának a j-edik elemét jelöli.

12 Mátrixok Az elem első indexe mindig a sorindex
Az elem második indexe mindig az oszlopindex Jelölése: A mátrixokat általában vastagított nagybetűkkel jelöljük, illetve szögletes zárójelbe tesszük. Két mátrixot azonos típusúnak nevezzük, ha soraik és oszlopaik száma megegyezik

13 Mátrixok Két mátrix akkor és csak akkor egyenlő, ha azonos típusúak és a megfelelő helyen álló elemeik rendre egyenlők egymással.

14 Speciális mátrixok Négyzetes vagy kvadratikus mátrix
Olyan mátrix, ahol m=n azaz a sorok száma megegyezik az oszlopok számával. Mátrix rendje: A négyzetes mátrix sorainak vagy oszlopainak a száma

15 Speciális mátrixok Oszlopmátrix vagy oszlopvektor: csupán egy oszlopból áll Sormátrix vagy sorvektor: Olyan mátrix, amelynek egyetlen sora van Nullmátrix: Olyan mátrix, amelynek minden eleme nulla. Jelölése : 0

16 Speciális mátrixok Diagonalmátrix: Olyan négyzetes mátrix, amelynek csak a főátlójában vannak elemei. Főálló alatt értjük a bal felső sarokból a jobb alsó sarokba húzott átlót.

17 Speciális mátrixok Egységmátrix: olyan diagonális mátrix, amelynek minden főátlóbeli eleme 1. Jele : E Speciálisan: En ahol n jelöli a mátrix rendszámát. Minden egységmátrix n olyan sorra vagy oszlopra bontható particionálható, amelynek mindegyike egységvektor.

18 Mátrixok típusai Az egységvektor indexe azt mutatja meg, hogy az egységvektor hányadik eleme 1. Összegzővektor: az az oszlop vagy sorvektor, amelynek minden eleme 1. Jele:1 Felső háromszögmátrix Alsó háromszögmátrix

19 Mátrixok típusai Szimmetrikus mátrix: olyan négyzetes mátrix, ahol aik=aki Ferdén szimmetrikus mátrix: olyan négyzetes mátrix, ahol aik=-aki Permutáló mátrix: Olyan négyzetes mátrix, amely a sorainak illetve az oszlopainak az átrendezésével egységmátrixszá alakítható.

20 Mátrix transzponáltja
Mátrix transzponáltján azt az AT jelölt mátrixot értjük, amelyet az A mátrixból úgy kapunk, hogy sorait rendre felcseréljük az oszlopaival.

21 Minormátrix Ha az A mátrixból tetszés szerinti sort, vagy oszlopot elhagyunk, akkor az eredeti mátrix minormátrixát kapjuk.