A geometriai transzformációk

Az előadások a következő témára: "A geometriai transzformációk"— Előadás másolata:

1 A geometriai transzformációk
9.évfolyam

2 Történeti előzmények A geometria a matematika térbeli törvényszerűségek, összefüggések leírásából kialakult ága; maga a geometria szó görögül eredetileg földmérést jelentett. Az elemi geometriában az egybevágóság, hasonlóság és általában a transzformáció fogalmai alapvetőek.

3 Geometria tanítása a középkori Franciaországban
(1300-as évek eleje)

4 A geometriai transzformáció fogalma
A geometriai transzformációk olyan speciális függvények, amelyeknek értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz.

5 Milyen tulajdonságokat vizsgálunk?
1. Kölcsönösen is egyértelmű-e a hozzárendelés? A geometriai transzformáció kölcsönösen egyértelmű, ha egy pontnak egy képpont felel meg, és minden képpontnak egy őse van. Például ilyen a tengelyes tükrözés.

6 Ilyen például a középpontos tükrözés:
2. Szimmetrikus e a hozzárendelés? A geometriai transzformáció akkor szimmetrikus, ha P képe P* esetén, P* képe P. Ilyen például a középpontos tükrözés:

7 4. Vannak e invariáns alakzatok?
3. Vannak e fixpontok? Egy geometriai transzformációnál fixpont az a pont, amelynek képe önmaga. Például a középpontos tükrözésnél a tükrözés középpontja. 4. Vannak e invariáns alakzatok? Ha az alakzat képe önmaga, akkor invariáns alakzatnak nevezzük. (A pontjai nem kell, hogy fixpontok legyenek!) Például: e=e' t

8 5. Egyenestartó e? Egyenestartónak nevezzük a geometriai transzformációt, ha egyenes képe is egyenes. 6. Távolságtartó e? A geometriai transzformációk közül a távolság- tartó leképezések azok, amelyeknél: ha a P és Q pont képe P' és Q', akkor P és Q távolsága megegyezik a P' és Q' távolságával. 7. Szögtartó e? A geometriai transzformáció szögtartó, ha szög és képe egyenlő nagyságú.

9 8. A körüljárás irányát megváltoztatja e?
B t B' A A' C' C

10 Tengelyes tükrözés Tengelyes tükrözés

11 Definíció Adott a sík egy t egyenese. Ez a tengelyes tükrözés tengelye. A t tengelyre vonatkozó tengelyes tükrözés a sík tetszőleges, t-re nem illeszkedő A pontjához azt a A' pontot rendeli, amelyre fennáll, hogy  a AA' szakasz felezőmerőlegese a t tengely. A t egyenesre illeszkedő pont képe önmaga. A t A'

12 A tengelyes tükrözés tulajdonságai:
kölcsönösen egyértelmű, szimmetrikus, a t egyenes minden pontja fixpont, invariáns alakzatok például a t egyenesre merőleges egyenesek,

13 ha e merőleges a t tengelyre,
5. Egyenestartó és, ha e merőleges a t tengelyre, akkor e = e', e = e' t

14 5. Egyenestartó és, ha e metszi a tengelyt, akkor képe olyan egyenes, amely ugyanabban a pontban metszi a tengelyt, és ugyanakkora szöget zár be a tengellyel, mint az eredeti egyenes. t e e'

15 5. Egyenestartó és, ha e║t, akkor az e║e' és t az e és e' középpárhuzamosa,

16 A tengelyes tükrözés további tulajdonságai:
6. távolságtartó, 7. szögtartó, 8. a körüljárás irányát megváltoztatja.

17 A tengelyes szimmetria
Definíció: egy síkbeli alakzat tengelyesen szimmetrikus, ha az alakzat síkjában létezik olyan t egyenes, amelyre vonatkozó tükrözésnél az alakzat képe önmaga. A t egyenes az alakzat tükörtengelye, vagy szimmetriatengelye.

18 Tengelyesen szimmetrikus alakzatok
Egyenlőszárú háromszögek A=A' B=C' C=B'

19 Tengelyesen szimmetrikus alakzatok
2. Deltoidok

20 Tengelyesen szimmetrikus alakzatok
3. Húrtrapézok

21 Tengelyesen szimmetrikus alakzatok
4. Szabályos sokszögek

22 Tengelyesen szimmetrikus alakzatok
5. A körök

23 Példák a tengelyes szimmetriára a mindennapi életben

24 Példák a tengelyes szimmetriára a mindennapi életben

25 Példák a tengelyes szimmetriára a mindennapi életben

26 Példák a tengelyes szimmetriára: Victor Vasarely képei

27 Középpontos tükrözés

28 A középpontos tükrözés definíciója
Adott a sík egy O pontja, a középpontos tükrözés középpontja. Az O pontra vonatkozó középpontos tükrözés a sík tetszőleges O-tól különböző A pontjához azt az A' pontot rendeli, amelyre az O pont a AA' szakasz felezőpontja. Az O pont képe önmaga. A' O A

29 A középpontos tükrözés tulajdonságai:
1. kölcsönösen egyértelmű, 2. szimmetrikus, 3. fixpont a tükrözés középpontja, 4. invariáns alakzat például minden, a tükrözés középpontján áthaladó egyenes, és a tükrözés középpontjával azonos középpontú kör

30 A középpontos tükrözés további tulajdonságai:
5. Egyenestartó, és a tükrözés középpontján áthaladó egyenesek képe önmaga e = e' O

31 A középpontos tükrözés további tulajdonságai:
5. Egyenestartó, és ha az e egyenes nem halad át a tükrözés középpontján, akkor e║e'. A' B' e' O e B A

32 A középpontos tükrözés további tulajdonságai:
6. távolságtartó, 7. szögtartó, 8. a körüljárás irányát nem változtatja meg

33 A középpontos szimmetria
Definíció: egy alakzat középpontosan szimmetrikus, ha létezik olyan pont, amelyre vonatkozó tükrözésnél az alakzat képe önmaga

34 Középpontosan szimmetrikus alakzatok
1. A paralelogrammák K K K

35 Középpontosan szimmetrikus alakzatok
2. A páros oldalszámú szabályos sokszögek K K

36 Középpontosan szimmetrikus alakzatok
3. A körök K

37 Az eltolás

38 Definíció PP' = v v P' P Adott egy v vektor.
A v vektorral való eltolás a tér tetszőleges P pontjához azt a P' pontot rendeli, amelyre: PP' = v v P' P

39 Az eltolás tulajdonságai:
kölcsönösen egyértelmű, nem szimmetrikus nincs fixpontja, kivéve ha az adott vektor nullvektor, az adott vektorral párhuzamos egyenesek és síkok invariáns alakzatok, távolságtartó, szögtartó, a körüljárás irányát nem változtatja meg

40 8. Egyenestartó és ha az egyenes nem párhuzamos az eltolás vektorával, akkor az egyenes és képe párhuzamos. v B' A' e' e B A

41 8. Egyenestartó és ha az egyenes párhuzamos az eltolás vektorával, akkor az egyenes képe önmaga, v e = e'

42 A pont körüli elforgatás

43 Definíció Adott a sík egy O pontja, az elforgatás középpontja, és nagyságával és irányával egy β szög. Rendeljük az O ponthoz önmagát. A sík minden O pontjától különböző P pontjához rendeljük azt a P' pontot, amely teljesíti a következő feltételeket: POP' = β és OP = OP' P' β O P

44 A pont körüli elforgatás tulajdonságai:
kölcsönösen egyértelmű, 2. általában nem szimmetrikus, 3. egyetlen fix pontja az O pont, ha csak az elforgatás szöge nem 0˚, 4. invariáns alakzat minden olyan kör, amelynek középpontja azonos az elforgatás középpontjával, 5. távolságtartó, 6. szögtartó, 7. a körüljárás irányát nem változtatja meg, 8. ha az elforgatás szöge 0˚, vagy 360˚, akkor az identitást kapjuk, azaz minden pont képe önmaga, 9. ha β = 180° (félfordulat), akkor a transzformáció a középpontos tükrözéssel azonos.

45 10. Egyenestartó, és az O ponton áthaladó egyenes képe is áthalad az O ponton, az egyenes és elforgatott képe lβl szöget zár be egymással, ha lβl ≤ 90°. lβl P P' e β e' O

46 Forgásszimmetria Definíció:
egy alakzat forgásszimmetrikus, ha létezik olyan forgatás, amely az alakzatot önmagába viszi át.

47 Forgásszimmetrikus alakzatok
Négyzet Szabályos háromszög

48 Forgásszimmetrikus alakzatok
Körök:

49 Transzformációk szorzata
Definíció: két (vagy több) geometriai transzformációnak az egymás utáni elvégzését a két (vagy több) transzformáció szorzatának nevezzük. Jelölése: gf (P) Megjegyzés: a sorrendet a jobbról balra történő leolvasás adja meg.

50 Példa a transzformációk szorzására
tk(P) A' C' B O B' B'' C'' A C t A''

51 Példa a transzformációk szorzására

52 Egybevágósági transzformációk
Definíció: a távolságtartó transzformációkat nevezzük egybevágósági transzformációknak.

53 Összegezve:

54 Alakzatok egybevágósága
Definíció: egybevágónak nevezünk két alakzatot, ha van olyan távolságtartó transzformáció, amely az egyik alakzatot a másik alakzatba viszi át. Jele: Két azonos sugarú kör mindig egybevágó.

55 Háromszögek egybevágósága
Két háromszög egybevágó, ha rájuk a következő feltételek egyike teljesül: 1. oldalaik hossza páronként megegyezik; 2. két-két oldal hossza páronként egyenlő, és az ezek által bezárt szögek egyenlők;

56 3. egy-egy oldaluk hossza és a rajtuk fekvő két szögük páronként egyenlő;
4. két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és a két-két oldal közül a hosszabbal szemközti szögek egyenlők.

57 Sokszögek egybevágósága
Két sokszög egybevágó, ha rájuk a következő feltételek egyike teljesül: 1. megfelelő oldalaik hossza és megfelelő átlóik hossza egyenlő; 2. megfelelő oldalaik hossza és megfelelő szögeik páronként egyenlők.

58 Köszönöm a figyelmet