Dinamikus hálómodellek

Az előadások a következő témára: "Dinamikus hálómodellek"— Előadás másolata:

1 Dinamikus hálómodellek
Gulyás László ELTE TTK Tudománytörténet és Tudományfilozófia Tanszék

2 Napirend Ismétlés Dinamikus hálók és modelljeik Centralitás-fogalmak
Robusztus hálók generálása Dinamikus hálók és modelljeik Statikus modellek Folyamatok és algoritmusok Növekvés és endogén dinamika Jin-Girvan-Newman modellje(i) Egy véletlen bolyongáson alapuló modell

3 Ismétlés

4 Fok-centralitás (degree ~, Freeman,`79)
Kapcsolatok száma: di Normalizálva: di/(N-1) „Népszerűség”, „társaságkedvelés”. Indikátora lehet a hálózatban terjedő információ / betegség megszerzési valószínűségének.

5 Közelség-centralitás (closeness ~, Freeman, `79)
A többi csúcshoz vezető min. utak összege: A centralitás inverz mértéke: ~„távolság”. Normalizálva: 0 és 1 közötti érték + „invertálva” Az információ megszerzésének / a betegség elkapásának „gyorsasága”.

6 Köztesség-centralitás (betweenness ~, `79)
Az áthaladó utak száma: Normalizálva (max-szal osztva): Információ kontrollálásának képessége / „brókerség”, távoli régiók összekötése / az összefüggőség fenntartásának képessége.

7 Sajátérték-centralitás (eigenvector ~, Bonacich `72)
A(z esetleg súlyozott) szomszédsági mátrix fő sajátvektora. Rekurzívan: Minden csúcshoz 1 centralitást rendelünk. A centralitásokat újraszámoljuk a szomszédok centralitásának súlyozott összegeként: Normalizálunk (végigosztunk max(ci)-vel). Addig ismételjük, amíg változás van. A „centrális csúcsokhoz való kapcsoltság mértéke”. Járvány esetén növeli a fertőzés valószínűségét.

8 Az AJB-eredmények egy másfajta formalizálása
Várható köztesség-centralitás: Várhatóan hány utat vág ketté egy hibázó csúcs. ER – Erdős-Rényi SF – Scale-Free (Albert-Barabási) (10 minta átlaga, SF-hez relatívan.)

9 Generáljunk robusztus hálókat! (Egy lokális megközelítés)
A BA-féle (robusztus) háló-generálási modell globális információkat feltételez: Minden újonnan érkező csúcsnak teljes és tökéletes információval kell rendelkeznie az addig létező háló fokszám-eloszlásáról. Ez nem mindig reális feltételezés.

10 (10 minta átlaga, SF-hez relatívan.)
Eredmények 2/3 (10 minta átlaga, SF-hez relatívan.)

11 Dinamikus hálók

12 Statikus kontra Dinamikus
Az eddigi tárgyalt hálómodellek jobbára statikusak voltak. Csúcsok száma fix. Növekvő hálózatok. Folyamatok kontra Algoritmusok A növekvő modelljeink is csak algoritmust adtak a megfelelő hálózat generálására. A valóságban azonban valamely folyamat melléktermékeként jönnek létre ezek a hálók. A megfigyelt / vizsgált háló ennek a folyamatnak a pillanatnyi (egyensúlyi?) állapota.

13 Jin, Girvan és Newman modellje(i)

14 Emlékeztető Három alapvető hálótulajdonság és –modell:
Kisvilág (uniform)  Erdős-Rényi Klaszterezettség (uniform)  Watts-Strogatz Skálamentesség (????)  Barabási-Albert

15 Mikor és miért nem skálamentesek a hálózatok?
Nem minden háló skálamentes. Jin-Gir-New amellett érvel, hogy ez sokszor természetellenes is lenne. Javasolnak egy modellt, amivel vizsgálható A hálókat létrehozó folyamat, Illetve a felvetéseiknek megfelelő hálók.

16 Ki győzi? A jelenlegi magyarázat szerint (BA) a skálamentesség mögött
Folyamatos növekedés és Preferenciális kapcsolódás áll. DE! A fák nem nőnek az égig. Mindenki ideje/energiája korlátos.

17 Korlátok Számos esetben nem plauzibilis annak feltételezése, hogy a rendszer korlátlanul nőhet. A kapcsolatok ápolására / fenntartására energiát kell fordítani, ami véges. Empirikus vizsgálatok (telefonhálózat): akinek sok kapcsolata van, az egyesével kevés időt fordít rájuk. Egyenként is elég a skálamentesség „tönkretételéhez”.

18 Jin, Girvan és Newman alapfeltevései
A csúcsok száma változatlan A születés és a halálozás ritkább, mint a kapcsolatok keletkezése és felbomlása. Más időskála  elhanyagolható. A fokszám-eloszlásnak van átlaga. Megj.: ahol csak egyszeri költség van, ott reális lehet a skálamentesség. (cf. nemi kapcsolatok). A preferenciális kapcsolódás nem fontos. A klaszterezettség viszont alapvető.

19 Jin, Girvan és Newman alapmodellje
Rögzített számú csúcs: egy rögzített méretű zárt populációt tételezünk föl. Korlátozott fokszám: annak valószínűsége, hogy egy személy új kapcsolatot építsen ki, csökkenjen meredeken miután a jelenlegi barátainak száma elért egy bizonyos szintet. Klasztereződés:a valószínűsége, hogy két egyén megbarátkozik, jelentősen magasabb kell hogy legyen, ha van egy vagy több közös barátjuk. Barátságok elmúlása: Mivel a csúcsok száma rögzített és a fokszám limitált, barátságoknak kell felbomlaniuk és kialakulniuk, ha a hálózat nem stagnál.

20 Jin, Girvan és Newman két modellje
I. modell Általános. Tetszés szerint reprezentáljuk az emberek hajlamait új kapcsolatok kialakítására. Meglehetősen valósághűen reprezentálja a hálózati evolúciót, de nehézkes szimulálni, és analitikusan feldolgozhatatlan. II. modell Az első egyszerűsített változata. Reprodukálja az első jellemző tulajdonságait, noha stilizált formában. Hatékonyabban szimulálható.

21 Jin, Girvan és Newman I. modellje
Kapcsolatok találkozásokkor alakulnak ki. Találkozó főleg olyan párok közt történik, akiknek van közös barátjuk. Egy személy kapcsolatainak a száma korlátozott. A barátság elmúlik, ha a két barát nem találkozik rendszeresen.

22 Jin, Girvan és Newman I. modellje
Két ember, i és j, találkozásának pij valószínűsége egy időegységben, két tényezőn múlik: A két személy már meglevő barátainak zi és zj számán, és a közös barátaik mij számán. Ezeket a tényezőket az f és g függvényekkel reprezentáljuk: pij = f(zi)f(zj)g(mij):

23 Jin, Girvan és Newman f() függvénye
Felesszük, hogy az f(z) függvény értéke magas és megközelítőleg konstans kis z-kre. Azonban z*-nál hirtelen zuhan az értéke. Egy lehetséges függvény a Fermi függvény:

24 Jin, Girvan és Newman f() függvénye

25 Jin, Girvan és Newman g() függvénye
Empirius vizsgálatok alapján az exponenciális forma jól illik rá. g(m) = 1 - (1 – p0)·e-αm ahol p0 annak valószínűsége, hogy két ember találkozik, akiknek nincsen közös barátjuk, És a α paraméter szabályozza a g() növekedésének ütemét.

26 Jin, Girvan és Newman g() függvénye

27 Megjegyzések az f() és g() függvényekről
Valamennyire esetlegesek. Az eredmények azonban kvalitatíve jobbára függetlenek a konkrét függvényformától.

28 Barátságok fenntartása
Minden barátsághoz erősséget rendelünk. Amikor i és j, találkozik, a kapcsolatuk sij erősségét 1-re állítjuk. Ahogy az idő múlik, az erősség exponenciálisan csökken (találkozás nélkül). ahol Δt az utolsó találkozásuk óta eltelt idő és κ paraméter. Azokat a kapcsolatokat tekintjük aktívnak, ahol az erősség egy küszöb (pl. 0.3) feletti.

29 Szimulációs eredmények
Inicializálás: Véletlen hálózattal Üres hálózat Növesztési fázis (új élek, alacsony κ) Adatgyűjtés (realisztikus κ).

30 Szimulációs eredmények

31 Szimulációs eredmények
A modell reprodukálja a valódi társadalmi kapcsolathálók Erős klasztereződési-együtthatóját. Nem meglepő, hiszen a hálózat evolúciójának klaszterezett. A modell kevésbé triviális eredménye a tisztán definiált közösségek kialakulása. Ahálózaton belül csúcs-csoportosulások vannak, melyeken belül nagyon sűrűk a kapcsolatok, de a csoportosulások közt kevés a kapcsolat. A legtöbb ilyen közösség összekapcsolódik egy nagy összefüggő komponensben, de egy kevés közösségnek nincs kapcsolata a gráf fő komponensével (az ilyen szigetek léte a modell paramétereinek megválasztásán múlik).

32 Tisztán definiált közösségek (dendogram)

33 Jin, Girvan és Newman II. modellje
Az I. modellnek sok paramétere van. Köztük függvények. Az elemzése (és szimulációja) bonyolult. Eredményeinek (kvalitatív) robusztussága azt sugallja, hogy egyszerűbb modell is elegendő lehet.

34 Jin, Girvan és Newman II. modellje
Bináris kapcsolatok (nincs él-erősség). Az élek megszűnését konstans valószínűség szabályozza. t idő múlva a kapcsolatok -ed része marad meg.

35 Jin, Girvan és Newman II. modellje
A „találkozások” gyakorisága Ha nincs még kapcsolat, akkor kialakul, hacsak egyiküknek nincs már z* kapcsolata. Azaz, szigorú felső korlátja van a lehetséges kapcsolatok számának.

36 Szimulációs eredmények

37 Egy véletlen bolyongáson alapuló modell

38 Egy véletlen bolyongáson alapuló modell
Jin, Girvan és Newman motivációi alapján. Térbeli bolyongás (cf. hasonlósági tér). Törekvés az egyszerűsítésre.

39 Egy lokális információ-alapú modell (véletlen bolyongással)
Az ágensek véletlen bolyonganak egy ritkán „lakott” (stilizált, hasonlósági) térben. Kapcsolatba lépnek a közelükben levőkkel. Az ágensek felejtenek, de az ismételt találkozások megerősítik a kapcsolatot. A model of local information. Two-dimensional space. ‘Vicinity’ is defined by the agents’ vision. It is a Moore neighborhood. Reinforcement re-sets the contact to ‘brand new’. All agents have the same vision (s) and memory length (m). Network? The nodes are the agents, the links are their contacts. Notice the ‘community formation’ – just as in Jin et al.

40 Egy lokális információ-alapú modell (véletlen bolyongással)
Látótávolság. Aki benne van, azzal találkozunk. Új link, vagy megerősítés. Memória-erősség X idő után „kiesik” a barát a memóriából. A model of local information. Two-dimensional space. ‘Vicinity’ is defined by the agents’ vision. It is a Moore neighborhood. Reinforcement re-sets the contact to ‘brand new’. All agents have the same vision (s) and memory length (m). Network? The nodes are the agents, the links are their contacts. Notice the ‘community formation’ – just as in Jin et al.

41 Egy lokális információ-alapú modell (véletlen bolyongással)
Dinamikus, folyamat-jellegű modell, amely Produkálja a klaszterezettséget. A kisvilág tulajdonság nincs meg De ld. shortcut-ok Pl. a heterogén látótávolság. A fokszám-eloszlás viszont egyenletes. Azonban talán a „látótávolság” heterogénné tételével ez is megváltoztatható.

42 Összefoglalás Dinamikus hálózatok Jin, Girvan és Newman modelljei
Algoritmus kontra folyamat. Jin, Girvan és Newman modelljei Mi nem skálamentes? Korlátok Két modell Egy egyszerű, térbeli bolyongáson alapuló modell.