Előadást letölteni
Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon
1
Matematika I. BGRMA1GNNC BGRMA1GNNB 8. előadás
2
Egy öt részre történő beosztás és a finomsága.
Beosztás-sorozat
3
Továbbosztás egy új osztóponttal és az új finomság
Beosztás-sorozat
4
Beosztás-sorozat
5
Integrálközelítő összeg
6
Integrálközelítő összeg
7
Alsó- és felső-közelítő összeg
8
Alsó- és felső-közelítő összeg
9
A közelítő összegek tulajdonsága
10
Közelítő összegek változása
11
Darboux-féle integrálok
12
A Riemann-integrál fogalma
13
A Riemann-integrál és a függvény alatti terület
14
A Riemann-integrál és a függvény alatti terület
15
Egy negatív példa…
16
A Riemann-integrál tulajdonságai
17
A Riemann-integrál tulajdonságai
18
A Riemann-integrál tulajdonságai
19
A Riemann-integrál és a határozatlan integrál kapcsolata
20
Példák
21
Példák
22
Példák (folyt…)
23
Alkalmazások: területszámítás
24
Alkalmazások: területszámítás
25
Alkalmazások: területszámítás
26
Alkalmazások: ívhossz-számítás
A görbe ívhosszát ploigonközelítéssel, a húrok hosszainak összegével számítjuk ki:
27
Alkalmazások: ívhossz-számítás
Készítsük el az intervallum egy beosztását, jelöljük ki a görbén az xi osztópontokhoz tartozó Pi pontokat:
28
Alkalmazások: ívhossz-számítás
A szakaszok hosszai rendre: A poligon szakaszainak össz-hossza:
29
Alkalmazások: ívhossz-számítás
A Lagrange középértéktételből következik, hogy minden kis intervallum valamely alkalmas belső pontjával: Azaz, a kis szakaszok hosszai így is írhatók:
30
Alkalmazások: ívhossz-számítás
Vagyis az ívhosszat közelítő poligon-hossz, ha nem csak 8, hanem általánosan n osztópontot alkalmazunk: Ez, amennyiben a beosztás-sorozat normális, egy integrálközelítő összeg, mégpedig az alábbi Riemann-integrálé:
31
Alkalmazások: ívhossz-számítás
Bebizonyítottuk az alábbi tételt:
32
Példa: parabola ívhossza
Számoljuk ki a f(x)=x2 függvény ívhosszát!
33
Példa: parabola ívhossza
34
Alkalmazások: forgástest térfogata
Tekintsünk egy az [a,b] felett értelmezett y=f(x) függvényt! Forgassuk meg a grafikont az x-tengely körül! Számoljuk ki a keletkezett forgástest térfogatát! Meg fogjuk mutatni, hogy a V térfogatot az alábbi képlettel lehet számolni: Osszuk fel az [a,b] intervallumot n kis intervallumra! Minden kis intervallum feletti részt egy henger-koronggal fogunk közelíteni.
35
Alkalmazások: forgástest térfogata
A henger-korong térfogata:
36
Alkalmazások: forgástest térfogata
A forgástest térfogatát a kis henger-korongok térfogat-összegével közelítjük: A kis korongok térfogatainak összege egy integrál-közelítő összeg! Ha minden határon túl finomítjuk a felosztást, egy Riemann-integrált kapunk!
37
Példa: csonkakúp térfogata
38
Alkalmazások: forgástest felszíne
Tekintsünk egy az [a,b] felett értelmezett y=f(x) függvényt! Forgassuk meg a grafikont az x-tengely körül! Számoljuk ki a keletkezett forgástest felszínét! Meg fogjuk mutatni, hogy az F felszínt az alábbi képlettel lehet számolni: Osszuk fel az [a,b] intervallumot n kis intervallumra! Minden kis intervallum feletti részt egy csonka kúp palásttal fogunk közelíteni.
39
Alkalmazások: forgástest felszíne
Egy csonka kúp P palástjának felszínét az alábbi képlettel számoljuk:
40
Alkalmazások: forgástest felszíne
41
Alkalmazások: forgástest felszíne
A kis csonka kúpok palástjainak összege egy integrál-közelítő összeg! Ha minden határon túl finomítjuk a felosztást, egy Riemann-integrált kapunk!
42
Példa: gömb felszíne Ha egy félkört megpörgetünk az x-tengely körül, gömböt kapunk:
43
Példa: gömb felszíne A felszín-képlet visszaadja a jól ismert összefüggést.
Hasonló előadás
