ELEMI GEOMETRIAI ISMERETEK

Az előadások a következő témára: "ELEMI GEOMETRIAI ISMERETEK"— Előadás másolata:

1 ELEMI GEOMETRIAI ISMERETEK

2 Tartalomjegyzék Geometriai transzformációk - Egybevágósági transzformációk - Hasonlósági transzformáció Síkidomok - háromszögek - négyszögek Térgeometria Mészáros Andrea

3 A geometriai transzformációkról általában
Azokat a függvényeket, amelyeknek értelmezési tartománya is, értékkészlete is ponthalmaz, geometriai transzformációknak nevezzük Az f geometriai transzformáció fixpontjának nevezzük az olyan pontot, amely önmagának a képe. Több transzformáció egymás utáni alkalmazásaként nyert transzformációt a transzformációk szorzatának nevezzük. Az olyan transzformációt, amely minden pontot helyben hagy, identikus leképezésnek nevezzük. Mészáros Andrea

4 Egybevágósági transzformációk
A transzformáció neve Fix pontja(i) Helyettesíthető egyenesre (tengelyre) vonatkozó tükrözás a tengely minden pontja a tengely körüli 180-os (térbeli) elforgatás pontra vonatkozó tükrözés a tükrözés középpontja a tükrözés középpontján áthaladó és egymásra merőleges két egyenesre történő egymás utáni tükrözéssel pont körüli  nagyságú adott irányú elforgatás az elforgatás középpontja,  esetén miden pont az elforgatás középpontján áthaladó t1és t2 egyenesekre történő egymás utáni tükrözéssel. A t1 egyenes  forgásszöggel vihető át a t2 egyenesbe d nagyságú, adott irányú eltolás d esetén nincs, d esetén minden pont az eltolás irányára merőleges és egymástól d/2 távolságban lévő párhuzamos egyenesekre történő egymás utáni tükrözéssel (a tükrözések sorrendje lényeges!) Mészáros Andrea

5 Síkidomok egybevágósága
Az egybevágóság fogalma: Két alakzat egybevágó, ha létezik olyan egybevágósági transzformáció, ill. transzformációk sorozata, amely az egyik alakzatot a másikba viszi át. Háromszögek egybevágósága: - oldalaik páronként megegyeznek - két oldaluk és az általuk bezárt szög páronként megegyezik - két oldaluk és a nagyobbik oldallal szemben fekvő szögük páronként egyenlő - egy oldaluk és a rajta fekvő szögek páronként egyenlők Mészáros Andrea

6 két négyzet egybevágó, ha egy megfelelő adatuk megegyezik
Négyszögek egybevágósága: Két négyszög egybevágó, ha megfelelő oldalaik és szögeik páronként megegyeznek két négyzet egybevágó, ha egy megfelelő adatuk megegyezik két téglalap egybevágó, ha két megfelelő adatuk megegyezik két rombusz egybevágó, ha két megfelelő adatuk megegyezik két paralelogramma egybevágó, ha három megfelelő adatuk megegyezik két trapéz egybevágó, ha négy megfelelő adatuk megegyezik Mészáros Andrea

7 Hasonlósági transzformációk
A hasonlóság olyan transzformáció, ahol bármely két képpont távolságát osztva a tárgypontok távolságával, ugyanazt a pozitív valós számot kapjuk. Tehát, ha a transzformáció A-hoz A’-t, B-hez B’-t rendeli, akkor dA’B’/dAB=l minden A, B pont esetén. A középpontos hasonlóság szintén rendelkezik a definícióban előírt tulajdonsággal, tehát hasonlósági transzformáció Minden hasonlóság megkapható mint egy egybevágóság és egy középpontos hasonlóság szorzata. Mészáros Andrea

8 Középpontos hasonlóság
Jelöljünk ki egy O pontot, és adjunk meg egy l>0 valós számot. Az O ponthoz rendeljük hozzá önmagát. Egy tetszőleges, de O-tól különböző P ponthoz rendeljük hozzá azt az OP félegyenesre eső P’ pontot, amelyre dOP’=ldOP. Az így definiált ponttranszformációt középpontos hasonlóságnak nevezzük. Az O pont a hasonlóság középpontja, a l>0 valós számot a hasonlóság arányának nevezzük. Ha l>1, akkor az O centrumból való nagyításról, ha 0<l<1 kicsinyítésről beszélünk. Mészáros Andrea

9 Síkidomok hasonlósága
háromszögek hasonlósága a megfelelő oldalak aránya egyenlő két-két megfelelő oldal aránya és az általuk közbezárt szög egyenlő két-két megfelelő oldal aránya és a nagyobbik oldalakkal szemközti szögük egyenlő két-két szögük páronként egyenlő négyszögek hasonlósága: két négyzet mindig hasonló egymáshoz két téglalap hasonló, ha oldalaik aránya megegyezik két rombusz hasonló, ha egy-egy szögük egyenlő körök hasonlósága: bármely két kör hasonló egymáshoz Mészáros Andrea

10 Egy háromszög a legnagyobb szöge szerint
Síkidomok háromszögek Egy háromszög a legnagyobb szöge szerint hegyesszögű, ha minden szöge hegyesszög derékszögű, ha egyik szöge derékszög tompaszögű, ha egyik szöge tompaszög Az oldalak alapján egyenlő oldalú, ha mindhárom oldala egyenlő egyenlő szárú, ha van két egyenlő oldala általános, ha nem egyenlő szárú Mészáros Andrea

11 Összefüggések a háromszög adatai között:
C g a c a b A B b Összefüggések a háromszög adatai között: a háromszög belső szögeinek össze 180° bármelyik külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő két belső szög összegével két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál ugyanabban a háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak Mészáros Andrea

12 C A1 B1 O B A C1 A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja. Az a, b, c oldalú, T területű háromszög köré írt kör R sugara: R= abc/4T Mészáros Andrea

13 A T területű és a+b+c=2s kerületű háromszögbe írt kör r sugara: r=T/s
A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszögbe írható kör középpontja. A T területű és a+b+c=2s kerületű háromszögbe írt kör r sugara: r=T/s Mészáros Andrea

14 (Vetületi tétel): c=bcosa+acosb (2.ábra)
D a/2 a/2 C a/2 a b mc a/2 x y A a c1 c2 b B E c 1.ábra 2.ábra A háromszög bármely szögfelezője a szemközti oldalt a közrefogó oldalak arányában felezi. (1.ábra) (Vetületi tétel): c=bcosa+acosb (2.ábra) Mészáros Andrea

15 Háromszögek nevezetes vonalai
Magasságtétel: a derékszögű háromszög a átfogójához tartozó magasság a befogók átfogóra eső merőleges vetületeinek mértani közepe. b a b a m p q a b c Befogótétel: A derékszögű háromszög befogója az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepe. Mészáros Andrea

16 minden konvex négyszög belső szögeinek összege 360°
négyszögek minden konvex négyszög belső szögeinek összege 360° Azt a négyszöget, melynek két-két szemközti oldala párhuzamos paralelogrammának nevezzük. O a b a Egy négyszög akkor és csak akkor paralelogramma, ha két-két szemben fekvő oldala párhuzamos két-két szemben fekvő oldala egyenlő két szemben fekvő oldala párhuzamos és egyenlő Mészáros Andrea

17 Ha a paralelogramma szögei egyenlők, téglalapnak nevezzük.
két-két szemben fekvő szöge egyenlő két átlója felezi egymást középpontosan szimmetrikus Ha a paralelogramma oldalai egyenlők, rombusznak hívjuk egy paralelogramma akkor, és csak akkor rombusz, ha átlói egymásra merőlegesek egy négyszög akkor, és csak akkor rombusz, ha átlói merőlegesen felezik egymást Ha a paralelogramma szögei egyenlők, téglalapnak nevezzük. Mészáros Andrea

18 Ha egy négyszögnek van két párhuzamos oldala, trapéznak hívjuk.
A trapéz bármely szárán nyugvó szögek összege 180° Ha a trapéz egyik alapján fekvő két szög megegyezik, akkor a trapézt, szimmetrikus trapéznak nevezzük. Szimmetrikus trapéz szárai és átlói egyenlők Ha egy négyszög két-két szemközti oldala egyenlő, akkor deltoidnak nevezzük. Mészáros Andrea

19 Azokat a konvex négyszögeket, amelyeknek minden csúcsa ugyanazon a körön van, húrnégyszögnek nevezzük. (1. Ábra) Egy négyszög, akkor és csak akkor húrnégyszög, ha két szemközti szögének összege 180° c a 2b b 2a d b a 2.ábra 1.ábra Érintőnégyszögnek nevezzük azokat a négyszögeket, amelyeknek minden oldala egy adott kört érint. (2.ábra) Egy négyszög akkor, és csak akkor érintőnégyszög, ha két-két szemközti oldalának összege egyenlő Mészáros Andrea

20 Térgeometria Poliéderek
Az olyan térrészt, amelyet véges sok sokszögtartomány határol, s amely teljes egyenest nem tartalmaz, poliédereknek nevezzük. Egy-egy szögtartomány a poliéder egy-egy lapja, a szögtartomány síkja a poliéder lapsíkja, a lapokat határoló szakaszok a poliéder élei, az élek végpontjai a poliéder csúcsai. A csúcsokat összekötő az élektől különböző szakaszok a lapátlók, ha egyetlen lapsíkban vannak; s testátlók, ha egyetlen lapsíkhoz sem tartoznak. Mészáros Andrea

21 C B1 O B Euler tétele: A konvex poliéderben a csúcsok (c), és lapok (l), számának összege kettővel nagyobb az élek (e), számánál c+l=e+2 Az olyan konvex poliédert, amelynek élei, élszögei és lapszögei egyenlők, szabályos testnek nevezzük. A C1 Elnevezés n m c e f Tetraéder 3 4 6 Hexaéder 8 12 Oktaéder Dodekaéder 5 20 30 Ikozaéder Mészáros Andrea

22 Mészáros Andrea

23