Gazdaságinformatikus MSc

Az előadások a következő témára: "Gazdaságinformatikus MSc"— Előadás másolata:

1 Gazdaságinformatikus MSc
Paraméteres próbák Gazdaságinformatikus MSc

2 Dr Ketskeméty László előadása
Statisztikai próbák I. Dr Ketskeméty László előadása

3 Statisztikai próbák II.
Döntési eljárást dolgozunk ki annak eldöntésére, hogy a nullhipotézis igaz-e. Ha úgy kell döntenünk, hogy a nullhipotézis nem igaz, automatikusan az alternatív hipotézist fogjuk elfogadni. A döntésünkhöz szignifikancia szintet fogunk rendelni, amivel jellemezzük, hogy a nullhipotézisünk melletti döntés milyen erős. Dr Ketskeméty László előadása

4 Statisztikai próbák III.
Paraméteres esetben: Dr Ketskeméty László előadása

5 Statisztikai próbák IV.
Dr Ketskeméty László előadása

6 Dr Ketskeméty László előadása
Statisztikai próbák V. Elfogadási tartomány: Kritikus tartomány: Döntés: Dr Ketskeméty László előadása

7 Statisztikai próbák VI.
Elsőfajú hibavalószínűség: Másodfajú hibavalószínűség: Akkor követjük el, ha igaz a nullhipotézis, de a mintrealizáció mégis a kritikus tartományba esik, és a döntésünk elutasító! Az elsőfajú hibavalószínűség , amit mi állítunk be! Akkor követjük el, ha elfogadjuk a nullhipotézist, holott valójában nem igaz. Értéke nehezebben állapítható meg. Dr Ketskeméty László előadása

8 Dr Ketskeméty László előadása
(VALÓSZÍNŰSÉGI) VÁLTOZÓ Absztrakcióval nyert fogalom pl. SALARY Absztrakcióval nyert fogalom: A változóval azonos eloszlású, független változók halmaza STATISZTIKAI MINTA A változóra vonatkozó megfigyeléssorozat pl. az adatmátrix egy oszlopa MINTAREALIZÁCIÓ Logikai állítás egy vagy több változóra vonatkozóan pl. SALARY normális eloszlású NULLHIPOTÉZIS (H0 :) ALTERNATÍV HIPOTÉZIS (H1 :) Egy a H0 -val ellentétes állítás, legtöbbször H0 logikai tagadása pl. SALARY nem normális eloszlású A vizsgált változókra eleve elfogadott tulajdonságok pl. SALARY normális eloszlású ELŐZETES FELTEVÉSEK Dr Ketskeméty László előadása

9 Dr Ketskeméty László előadása
A mintából számolt változó, melynek eloszlása a H0 feltételezése mellett pontosan (vagy legalább aszimptotikusan) megadható PRÓBASTATISZTIKA A próbastatisztika felvett értéke az adott mintarealizáció mellett SZÁMÍTOTT ÉRTÉK A felhasználó által beállított korlát, amelytől a próbastatisztika igen nagy valószínűséggel kisebb értéket kell, hogy felvegyen, ha H0 igaz KRITIKUS ÉRTÉK SZIGNIFIKANCIA-SZINT Olyan 0 és 1 közé eső érték, amely a nullhipotézis elfogadhatóságának mértékét adja meg. Minél közelebb van értéke az 1-hez, annál bizonyosabb a nullhipotézis teljesedése. Megegyezik az elsőfajú hiba- valószínűséggel STATISZTIKAI DÖNTÉS H0 -t elfogadjuk, ha a számított érték kisebb a kritikus értéknél. Ellenkező esetben H1 -t fogadjuk el Dr Ketskeméty László előadása

10 Dr Ketskeméty László előadása
HELYES DÖNTÉS MÁSODFAJÚ HIBA ELSŐFAJÚ HIBA H0 IGAZ H1 IGAZ H1-et Fogad- juk el H0-at Elfogad- juk Döntés Valóság Dr Ketskeméty László előadása

11 A statisztikai hipotézisvizsgálat
Eloszlás a nullhipotézis mellett A valódi eloszlás p Az első fajú hibava-, lószínűség. Általában 5-10%-ra választjuk (0) (δ) Dr Ketskeméty László előadása Másodfajú hibavalószínűség

12 A statisztikai hipotézisvizsgálat
Eloszlás a nullhipotézis mellett A valódi eloszlás p Az elsőfajú hibava- lószínűség (kisebbre választva) (0) (δ) Dr Ketskeméty László előadása A másodfajú hibavalószínűség

13 A statisztikai hipotézisvizsgálat
Az eloszlás a nullhipotézis mellett A valódi eloszlás p Az elsőfajú hibava-lószínűség (még kisebbre választva) (0) (δ) Dr Ketskeméty László előadása A másodfajú hibavalószínűség

14 A statisztikai hipotézisvizsgálat
Az eloszlás a nullhipotézis mellett (még az előzőnél is nagyobb minta alapján) A valódi eloszlás (még az előzőnél is nagyobb minta alapján) p Az elsőfajú hibavalószínűség (0) (δ) A másodfajú hibavalószínűség Dr Ketskeméty László előadása

15 A statisztikai hipotézisvizsgálat
Az eloszlás a nullhipotézis mellett (még nagyobb minta alapján) A valódi eloszlás (még nagyobb minta alapján) p Az elsőfajú hibavalószínűség (0) (δ) Dr Ketskeméty László előadása A másodfajú hibavalószínűség

16 Dr Ketskeméty László előadása
Paraméteres próbák Az elemzett változó eloszlását ismertnek tételezzük fel, és a hipotézisünket az eloszlás paramétereire fogalmazzuk meg. Az SPSS-ben a normális eloszlás várható értékére és a varianciájára vonatkozó alábbi paraméteres próbák hajthatók végre: varianciára várható értékre t-próbák Bartlett-Box F-próba Egyszeres osztályozás Dr Ketskeméty László előadása

17 Dr Ketskeméty László előadása
t-PRÓBÁK A próbastatisztika Student- (t-) eloszlású, ha a nullhipotézis igaz Egymintás t-próba H0 : A változó várható értéke megegyezik a tesztértékkel Két független mintás t-próba Meg kell különböztetni azt a két alesetet, amikor a minták varianciái egyenlőek attól, amikor különböznek ! Egy változó eseteit két csoportba csoportosítjuk egy tördelő változó segítségével H0 : A két változó várható értéke egyenlő Két összetartozó mintás t-próba H0 : A két változó várható értéke egyenlő Dr Ketskeméty László előadása

18 Dr Ketskeméty László előadása
A 2-eloszlás Dr Ketskeméty László előadása

19 Dr Ketskeméty László előadása
A 2-eloszlás Dr Ketskeméty László előadása

20 Dr Ketskeméty László előadása
A Student-eloszlás Dr Ketskeméty László előadása

21 A Student-eloszlás sűrűségfüggvények szabadságfokkal
Dr Ketskeméty László előadása

22 Dr Ketskeméty László előadása
A Student-eloszlás Dr Ketskeméty László előadása

23 Dr Ketskeméty László előadása
Az F-eloszlás . Dr Ketskeméty László előadása

24 Dr Ketskeméty László előadása
Az F-eloszlás Dr Ketskeméty László előadása

25 Dr Ketskeméty László előadása
Az F-eloszlás Dr Ketskeméty László előadása

26 Dr Ketskeméty László előadása
A Lukács-tétel Dr Ketskeméty László előadása

27 Dr Ketskeméty László előadása
Egymintás u-próba Feltétel: a normális eloszlású mintának ismerjük a szórását. DÖNTÉS: Dr Ketskeméty László előadása

28 Dr Ketskeméty László előadása
Egymintás t-próba DÖNTÉS: Dr Ketskeméty László előadása

29 Dr Ketskeméty László előadása
A kétmintás u-próba Adottak az és az egymástól független statisztikai minták. A minták független normális eloszlásúak, a szórásaik ismertek. Dr Ketskeméty László előadása

30 Dr Ketskeméty László előadása
A kétmintás u-próba Ha feltesszük, hogy a nullhipotézis igaz, akkor  DÖNTÉS:  -t elfogadjuk Dr Ketskeméty László előadása

31 Dr Ketskeméty László előadása
Kétmintás t-próba (független minták) A minták szórásai egyenlőeknek tekintendők. Különben nem alkalmazható a próba. Ennek ellenőrzése F-próbával. DÖNTÉS: Dr Ketskeméty László előadása

32 Dr Ketskeméty László előadása
F-próba X1,X2,…,Xn N(X,X ) és Y1,Y2,…Ym N(Y,Y) egymástól független normális eloszlású statisztikai minták, X és Y nem ismert . Ha feltesszük, hogy a nullhipotézis igaz, akkor igaz lesz, hogy Dr Ketskeméty László előadása

33 Dr Ketskeméty László előadása
A Welch-próba I. Ha az F-próbát el kell vetnünk, nem alkalmazható a két független mintás t-próba a két minta várható értékei egyezésének ellenőrzésére. Erre az esetre dolgozta ki Welch a most ismertetendő robusztus próbát: X1,X2,…,Xn N(X,X ) és Y1,Y2,…Ym N(Y,Y) egymástól független normális eloszlású statisztikai minták, X és Y nem ismert . Dr Ketskeméty László előadása

34 Dr Ketskeméty László előadása
A Welch-próba II. Megmutatható, hogy a nullhipotézis fennállása esetén a próbastatisztika közelítőleg Student-eloszlású [f] (egészrész f) szabadságfokkal, ahol Dr Ketskeméty László előadása

35 Dr Ketskeméty László előadása
Kétmintás t-próba (összetartozó minták) DÖNTÉS: Dr Ketskeméty László előadása

36 Példa egymintás t-próbára
A world 95 állományban ellenőrizzük, hogy Magyarországon a nők és a férfiak várható életkora megfelel-e a világátlagnak, vagy annál alacsonyabb/magasabb-e! Magyarországon a várható élettartam a nőknél 76 a férfiaknál 67! Dr Ketskeméty László előadása

37 Példa egymintás t-próbára
A magyar nők várható élettartamát állítjuk be tesztértéknek. Dr Ketskeméty László előadása

38 Példa egymintás t-próbára
Magyarországot nem számítva az átlag 70,1 Mivel a világátlag-magyarországi élettartam különbség szignifikánsan negatív, megállapíthatjuk, hogy nálunk tovább élnek a nők, mint a világban átlagosan! A t-próba szignifikancia-szintje zérus, így elutasítjuk a nullhipotézist, hogy a világban átlagosan olyan hosszan élnek a nők, mint nálunk! Dr Ketskeméty László előadása

39 Példa egymintás t-próbára
A férfiak esetében a várható élettartam csak 67. Dr Ketskeméty László előadása

40 Példa egymintás t-próbára
Mivel a világátlag-magyarországi élettartam különbség szignifikánsan negatív, megállapíthatjuk, hogy nálunk tovább élnek a férfiak is, mint a világban átlagosan! Magyarországot nem számítva az átlag 64,9 A t-próba szignifikancia-szintje itt ugyan nem zérus, de így is elutasítjuk a nullhipotézist, hogy a világban átlagosan olyan hosszan élnek a férfiak, mint nálunk! Dr Ketskeméty László előadása

41 Példa független kétmintás t-próbára
Hasonlítsuk össze az afrikai országok férfiainak várható élettartamát a dél-amerikai országok férfilakosainak várható élettartamával! Elfogadható-e az a nullhipotézis, hogy a két földrészen ugyanannyi ideig élnek a férfiak? Dr Ketskeméty László előadása

42 Példa független kétmintás t-próbára
Dr Ketskeméty László előadása

43 Példa független kétmintás t-próbára
A varianciák egyezésére vonatkozó tesztet elfogadjuk, tehát az első sort kell tekintenünk! Dr Ketskeméty László előadása

44 Példa független kétmintás t-próbára
A szignifikancia-szit zérus, így a nullhipotézist el kell vetnünk! Mivel az afrikai élettartam a kisebb átlagosan 15 évvel, ezért megállapíthatjuk, hogy Latin Amerikában szignifikánsan tovább élnek a férfiak! Dr Ketskeméty László előadása

45 Példa párosított kétmintás t-próbára
Vizsgáljuk meg, hogy a férfiak-nők várható élettartama és olvasottsága azonosnak tekinthető-e az adatok alapján! Dr Ketskeméty László előadása

46 Példa párosított kétmintás t-próbára
Dr Ketskeméty László előadása

47 Példa párosított kétmintás t-próbára
Dr Ketskeméty László előadása

48 Példa párosított kétmintás t-próbára
Az átlagok különbsége az élettartam esetén a nők felé, olvasottság esetén a férfiak felé billen! Dr Ketskeméty László előadása

49 Példa párosított kétmintás t-próbára
Mindkét elemzéskor el kell vetnünk a nullhipotézist! A nők szignifikánsabban tovább élnek a férfiaknál, viszont a férfiak olvasottsága szignifikánsabban magasabb a nőkénél! Dr Ketskeméty László előadása

50 Dr Ketskeméty László előadása
Egyszeres osztályozás (One-way ANOVA) Az egyes csoportok várható értékei különbségére konfidencia intervallum szerkeszthető. A különbség valódi értéke a beállított valószínűséggel ebbe az intervallumba esik. H0 : A változók várható értékei azonosak A mintarealizációt egy tördelő változó értékei szerint kettőnél több csoportra osztjuk. A módszer a független mintás t-próba kiterjesztése kettőnél nagyobb esetre. H1 : Van két olyan változó, melyek várható értékei különböznek Fisher-féle F-próba A próbastatisztika eloszlása a nullhipotézis fennállása esetén F-eloszlású. H0 : A változók varianciái egyenlőek Bartlett-Box-próba A próbastatisztika eloszlása a nullhipotézis fennállása esetén F-eloszlású. Az F-próba kiterjesztése. H0 : A kettőnél több változó varianciái egyenlőek Levene-próba Ez nem paraméteres próba! Nincs előzetes feltevés a változók normalitására vonatkozóan! H0 : A kettőnél több változó varianciái egyenlőek Dr Ketskeméty László előadása

51 Dr Ketskeméty László előadása
Egyszeres osztályozás X A dolgozó fizetése Y A dolgozó beosztása (tisztviselő, őrző-védő, menedzser) Dr Ketskeméty László előadása

52 Dr Ketskeméty László előadása
Egyszeres osztályozás Csoportátlagok: Négyzetösszegek: Dr Ketskeméty László előadása

53 Dr Ketskeméty László előadása
Egyszeres osztályozás  F-eloszlású (2, n-3)  Student (n-3) Dr Ketskeméty László előadása

54 Példa egyszeres osztályozásra
Vizsgáljuk meg, hogy a férfi várható élettartamok egyenlőek-e a különböző régiókban! Dr Ketskeméty László előadása

55 Példa egyszeres osztályozásra
Dr Ketskeméty László előadása

56 Példa egyszeres osztályozásra
A régiókban a varianciák nem tekinthetők egyenlőnek! Az élettartamok egyezésére vonatkozó nullhipotézist el kell evtnünk! Dr Ketskeméty László előadása

57 Példa egyszeres osztályozásra
A Levene-próba arra utalt, hogy a varianciák nem egyenlőek a régiók között! Dr Ketskeméty László előadása

58 Példa egyszeres osztályozásra
A *-gal megjelölt pároknál van szignifikáns differencia! Dr Ketskeméty László előadása

59 Dr Ketskeméty László előadása
Bartlett-próba Adott p normális eloszlású minta, amik függetlenek egymástól. Az a nulhipotézisünk, hogy a minták szórásai nem különböznek egymástól: A próbastatisztika most: ahol Megmutatható, hogy ha H0 fennáll, akkor B eloszlása p-1 szabadságfokú 2- eloszlást (Chi-négyzet) követ. Dr Ketskeméty László előadása

60 Dr Ketskeméty László előadása
Összefoglalás Dr Ketskeméty László előadása