A Box-Jenkins féle modellek

Az előadások a következő témára: "A Box-Jenkins féle modellek"— Előadás másolata:

1 A Box-Jenkins féle modellek
Gazdaságinformatikus MSc

2 Dr Ketskeméty László előadása
ARIMA-modellek A legárnyaltabb, legösszetettebb elemzés a Box és Jenkins által kidolgozott ARIMA-modellekben lehetséges. Az ARIMA-modellek feltételeznek az idősor adatai között meglévő, valamilyen belső sztochasztikus koherenciát, ami tartósan megvan, kimutatható, és feltehetőleg a jövőbeni lefolyás során is jelen lesz. Dr Ketskeméty László előadása

3 Dr Ketskeméty László előadása
ARIMA-modellek Az ARIMA betűszó egy rövidítés: ARIMA = AutoRegressive Integrated Moving Averages Az AR (AutoRegressive) modell szerint az Xt idősor t időpontbeli értékét a múltbeli idősor értékek súlyozott összege (lineáris kombinációja) és egy korrelálatlan hibatag összege adja meg. Az MA (Moving Averages) modell szerint az Xt idősor t időpontbeli értéke a múltbeli fehérzaj értékek súlyozott összegeként (lineáris kombinációjaként) állítható elő. Az I (Integrated) modellt akkor alkalmazzuk, ha az Xt idősor nem stacioner, de véges számú deriválással azzá tehető. Tipikusan ez a helyzet, ha az idősor kummulatív hatásokat tükröz. Pl. a raktárkészletet nem határozzák meg egyetlen időszak beszerzései és eladásai, ezek csupán a raktárkészlet változásait határozzák meg. Dr Ketskeméty László előadása

4 Dr Ketskeméty László előadása
ARIMA-modellek Az ARIMA modellek beazonosításához tanulmányozni kell az Xt idősor belső strukturális kapcsolatait jól leíró autókorrelációs és parciális autókorrelációs mérőszámokat. Dr Ketskeméty László előadása

5 Dr Ketskeméty László előadása
Autokovariancia függvény (AVF): Autokorrelációs függvény (ACF): Parciális autokorrelációs függvény (PACF): Dr Ketskeméty László előadása

6 Dr Ketskeméty László előadása
ARIMA(0,0,q)=MA(q) modellek fehérzaj folyamat, azaz teljesen független, normális eloszlású változók sorozata ahol A mozgóátlag a folyamat egy fehérzaj folyamat elemeinek lineáris kombinációjaként áll elő. Xt és Xt-1 q-1 változóban közös. Az MA(q) folyamat együtthatói a b0 ,b1 ,…,bq . Dr Ketskeméty László előadása

7 Dr Ketskeméty László előadása
Mozgóátlag modellek, MA(q) Az együtthatók meghatározása: A megoldhatóság feltétele: A komplex egységkörben csak páros multiplicitású gyöke legyen Dr Ketskeméty László előadása

8 Autoregresszív folyamatok ARIMA(p,0,0)=AR(p)
Az autoregresszív folyamat a megelőző p megfigyelt érték lineáris kombinációja és egy független et hiba összegeként regresszálódik. Az AR(p) folyamat együtthatói az a1 ,…,ap ,  . Dr Ketskeméty László előadása

9 Dr Ketskeméty László előadása
Autoregresszív folyamatok AR(p) Az együtthatók meghatározása Yule-Walker egyenletrendszerrel: autókovarianciák Dr Ketskeméty László előadása

10 Általános autoregresszív és mozgóátlag folyamatok,
ARIMA(p,0,q)=ARMA(p,q) Integrált autoregresszív és mozgóátlag folyamatok, ARIMA(p,d,q) modellek deriváltsor második deriváltsor Stb. Dr Ketskeméty László előadása

11 Autoregresszív és mozgóátlag folyamatok ARMA(p,q)
Az együtthatók meghatározása: ahol és Dr Ketskeméty László előadása

12 Az ARIMA modellek tipikus autoregressziós (ACF)
és parciális autoregressziós (PACF) függvényei ARIMA(0,0,1)=MA(1) modellek Dr Ketskeméty László előadása

13 Az ARIMA modellek tipikus autoregressziós (ACF)
és parciális autoregressziós (PACF) függvényei ARIMA(0,0,2)=MA(2) modell: Dr Ketskeméty László előadása

14 Az ARIMA modellek tipikus autoregressziós (ACF)
és parciális autoregressziós (PACF) függvényei ARIMA(1,0,0)=AR(1) modellek: Dr Ketskeméty László előadása

15 Az ARIMA modellek tipikus autoregressziós (ACF)
és parciális autoregressziós (PACF) függvényei ARIMA(1,0,1) modell: Dr Ketskeméty László előadása

16 Az ARIMA modellek tipikus autoregressziós (ACF)
és parciális autoregressziós (PACF) függvényei ARIMA(2,0,0)=AR(2) modell: Dr Ketskeméty László előadása

17 Modellezés ARMA folyamatokkal
1. lépés: Modell identifikáció Kiválasztjuk az idősorhoz leginkább illeszkedni tudó modellt. Ehhez az empirikus idősor autokorrelációit, parciális autokorrelációit használjuk fel. 2. lépés: A modell paramétereinek kiszámolása Az együtthatók és a sor statisztikáinak az összefüggéséből kiszámoljuk a modell paramétereit. 3. lépés: A modell illeszkedésének ellenőrzése A modell paraméterekre vonatkozó teszteket elemzünk, és a maradéktagot vizsgáljuk, mennyire hasonlít a fehér zajhoz. A portmanteau-próba végrehajtása Dr Ketskeméty László előadása

18 Dr Ketskeméty László előadása
Célunk az, hogy a Magyarország közötti villamosenergia termelését jellemző alábbi idősor alapján előrejelzést adjunk a termelés 2003-ig várható alakulásáról. P É L D A 1. Dr Ketskeméty László előadása

19 Dr Ketskeméty László előadása
Az idősor növekedő trendet mutat és „szemre” úgy tűnik, az emelkedés töretlen. Illesszünk ARIMA modellt az idősorra, és becsüljük előre a menetét 2003-ig! Ehhez rajzoltassuk ki az idősor ACF és PACF grafikonjait! Analyze / Forecasting / Autocorrelations...: Variables: villener, Display:  Autocorrelations  Partial autocorrelations (OK). P É L D A 1. Dr Ketskeméty László előadása

20 Dr Ketskeméty László előadása
Az ábra alapján „megtippelhetjük” az ARIMA(0,1,0) modellt. Nézzük meg, mit ad ki a Analyze/Forecasting/Create Models… parancs Expert Modeller funkciója! Ez a beállítás az összes szóbajöhető modell közül kiválasztja a lehető legjobbat. Adjuk ki még a következő parancsokat is: Dependent Variables: villener, Criteria:  All Models, Save: Predicted values , Options:  First case after end of estimation period through a specified date Observation 30. (OK). P É L D A 1. Dr Ketskeméty László előadása

21 Dr Ketskeméty László előadása
A legjobbnak ítélt modell az ARIMA(0,1,0) , azaz villener deriváltsora! Az illeszkedés igen jó, R squard= 0,912 és a Ljung-Box próba is sikeres! P É L D A 1. Dr Ketskeméty László előadása

22 Dr Ketskeméty László előadása
Az előrejelzett idősor jól illeszkedik az megfigyelt adatokra, amint azt a következő két grafikonon is láthatjuk. Az előrejelzés szerint a villamosenergia fogyasztásban erős emelkedés várható. P É L D A 1. A Magyarország közötti villamosenergia termelését jellemző idősor (villener) és az annak alapján az ARIMA(0,1,0) modell segítségével kapott előrejelző függvény. Dr Ketskeméty László előadása