Gazdaságinformatikus MSc

Az előadások a következő témára: "Gazdaságinformatikus MSc"— Előadás másolata:

1 Gazdaságinformatikus MSc
Regresszióanalízis Gazdaságinformatikus MSc

2 A regressziószámítás alapproblémája
Regressziószámításkor egy változót egy (vagy több) másik változóval becslünk. Y függőváltozó X1, X2, ... Xp független változók Y f(X1, X2, ... Xp ) becslés fF E(Y- f*(X1, X2, ... Xp ))2 = min E(Y- f(X1, X2, ... Xp ))2 fF Dr Ketskeméty László előadása

3 Dr Ketskeméty László előadása
Példák 1. A Duna vízállásának előrejelzése Budapesten 2. A paradicsom beérési idejének becslése 3. Műholdkép alapján a búza terméshozamának becslése 4. Műholdkép alapján a Mars vastartalmának becslése 5. Predikciók, trendek idősoroknál Dr Ketskeméty László előadása

4 A regressziószámítás alapproblémája
Ha ismerjük az Y és az X1, X2, ... Xp együttes eloszlását, akkor a probléma elméletileg megoldott: f (X1, X2, ... Xp ) = E ( Y | X1, X2, ... Xp ). Gyakorlatban azonban „csak” egy adatmátrix adott: Dr Ketskeméty László előadása

5 Feltételes várható érték folytonos eset I.
Dr Ketskeméty László előadása

6 Feltételes várható érték folytonos eset II.
Dr Ketskeméty László előadása

7 Feltételes várható érték folytonos eset III.
Dr Ketskeméty László előadása

8 Dr Ketskeméty László előadása
A regresszió tulajdonságai Az összes függvény közül a regressziós görbével lehet legpontosabban közelíteni! Dr Ketskeméty László előadása

9 Regresszió normális eloszlás esetén
Normális komponensek esetén a regressziós összefüggés lineáris! Dr Ketskeméty László előadása

10 Dr Ketskeméty László előadása
Elméleti lineáris regresszió Dr Ketskeméty László előadása

11 A regressziószámítás alapproblémája
F = {f(x1,x2,…,xp, a,b,c,… | a, b, c, … valós paraméterek} A függvényhalmazból azt az elemet fogjuk kiválasztani, amelynél:  n  min h(a,b,c,...) = (Yi- f(X1i, X2i, ..., Xpi, a,b,c,... ))2 a,b,c,... i=1 Ez a legkisebb négyzetek módszere! Dr Ketskeméty László előadása

12 A regresszióanalízis fajtái
Lineáris regresszió f(X) = B0 + B1 X Többváltozós lineáris regresszió f(X1 , X2 ,...,Xp ) = B0 + B1 X1 + B2 X Bp Xp Polinomiális regresszió f(X1 , X2 ,...,Xp ) = B0 + B1 X + B2 X BpXp X1=X, X2=X2, , Xp=Xp Kétparaméteres (lineárisra visszavezethető) regresszió pl. Y=f(X) = Bo·e B1 X  lnY = B1 X + ln Bo Dr Ketskeméty László előadása

13 A regresszióanalízis fajtái
Nemlineáris regressziók két változó között I. f(X ) = B1 + B2 exp(B3 X ) aszimptotikus I. f(X ) = B1 - B2 · (B3 )X aszimptotikus II. sűrűség f(X ) = (B1 + B2 X )-1/B3 f(X ) = B1 · (1- B3 · exp(B2 X 2)) Gauss f(X ) = B1 · exp( - B2 exp( - B3 X 2))) Gompertz f(X ) = B1 · exp( - B2 /(X + B3 )) Johnson-Schumacher Dr Ketskeméty László előadása

14 A regresszióanalízis fajtái
Nemlineáris regressziók két változó között II. log-módosított f(X) = (B1 + B3 X)B2 log-logisztikus f(X) = B1 - ln(1 + B2 exp( - B3 X ) f(X) = B1 + B2 exp( - B3 X ) Metcherlich f(X) = B1 · X / (X + B2 ) Michaelis Menten f(X) = (B1 B2 +B3 XB4)/(B2 + XB4 ) Morgan-Merczer-Florin f(X) = B1 /(1+B2 exp( - B3 X +B4X2 + B5X3 )) Peal-Reed Dr Ketskeméty László előadása

15 A regresszióanalízis fajtái
Nemlineáris regressziók két változó között III. f(X) = (B1 + B2 X +B3X2 + B4X3)/ B5X3 köbök aránya f(X) = (B1 + B2 X +B3X2 )/ B4X2 négyzetek aránya Richards f(X) = B1/((1+B3 · exp(B2 X))(1/B4) Verhulst f(X) = B1/((1+B3 · exp(B2 X)) Von Bertalanffy f(X) = (B1 (1-B4) · B2 exp( - B3 X))1/(1-B4) f(X) = B1 - B2 exp( -B3 X B4) Weibull f(X) = 1/(B1 + B2 X +B3X2 ) Yield sűrűség Dr Ketskeméty László előadása

16 A regresszióanalízis fajtái Szakaszonkénti lineáris regresszió
Dr Ketskeméty László előadása

17 Poligoniális regresszió
Dr Ketskeméty László előadása

18 Többváltozós lineáris regresszió kategória-változóval
Dr Ketskeméty László előadása

19 Logisztikus regresszió
{ Y= 1, ha az A esemény bekövetkezik 0, ha az A esemény nem következik be Y dichotóm A A választó fog szavazni A páciensnek szívinfarktusa lesz Az üzletet meg fogják kötni X1 , X2 ,...,Xp ordinális szintű független változók eddig hányszor ment el, kor, iskola, jövedelem napi cigi, napi pohár, kor, stressz ár, mennyiség, piaci forgalom, raktárkészlet Dr Ketskeméty László előadása

20 Logisztikus regresszió
P(Y=1) = P(A)  ————— 1 1 - e-Z Z = B0 + B1 X1 + B2 X Bp Xp 1 - P(A) ODDS = ————— P(A)  e Z  log (ODDS) = Z = B0 + B1 X1 + B2 X Bp Xp Dr Ketskeméty László előadása

21 Logisztikus regresszió
A legnagyobb valószínűség elve L(1,2,...,n) = P(Y1= 1, Y2= 2, ... , Yn= n) = = P(Y1= 1) P(Y2= 2)  P(Yn= n)  ———— 1 1 - e-Z1 1 - e-Z2 1 - e-Zn   ln L(1,2,...,n) =  ln ( ) —————————————— 1 1 - exp (B0 + B1 X1 + B2 X Bp Xp) Dr Ketskeméty László előadása

22 Dr Ketskeméty László előadása
Lineáris regresszió A lineáris kapcsolat kitüntetett: (1) a legegyszerűbb és leggyakoribb. (2) két dimenziós normális eloszlás esetén a kapcsolat nem is lehet más (vagy lineáris vagy egyáltalán nincs). Dr Ketskeméty László előadása

23 Dr Ketskeméty László előadása
Lineáris regresszió A teljes négyzetösszeg A maradékösszeg A regressziós összeg Dr Ketskeméty László előadása

24 Dr Ketskeméty László előadása
A lineáris regresszió Q = Qres + Qreg (xi, yi ) y res (xi, ) reg ( x, ) = B0 + B1 xi x Dr Ketskeméty László előadása

25 A lineáris regresszió A teljes négyzetösszeg felbontása:
Q = Qres + Qreg fres szabadsági foka mindössze 1, mert az átlag konstans freg szabadsági foka n-2, mert n tagú az összeg, de ezek között két összefüggés van. Ha nincs lineáris regresszió, a varianciák hányadosa (1, n-2) szabadsági fokú F eloszlást követ. Dr Ketskeméty László előadása

26 Dr Ketskeméty László előadása
A lineáris regresszió A legkisebb négyzetek módszere alapelve: y = B0 + B1 xi (x1, y1) (x2, y2) (x3, y3) (x4, y4) (x5, y5) e1 e2 e3 e4 e5 (x5, y5) e2 e1 e3 e4 e5 (x3, y3) (x1, y1) (x4, y4) (x2, y2) x Dr Ketskeméty László előadása

27 Lineárisra visszavezethető kétparaméteres regresszió
Amennyiben találhatók olyan alkalmas függvények, amivel a probléma linearizálható: Dr Ketskeméty László előadása

28 Lineárisra visszavezethető kétparaméteres regresszió
exponenciális függvénykapcsolat: „growth” függvény: „compoud” függvény: Dr Ketskeméty László előadása

29 Lineárisra visszavezethető kétparaméteres regresszió
hatványfüggvény: Dr Ketskeméty László előadása

30 Lineárisra visszavezethető kétparaméteres regresszió
Arrhenius: Dr Ketskeméty László előadása

31 Lineárisra visszavezethető kétparaméteres regresszió
reciprok: Dr Ketskeméty László előadása

32 Lineárisra visszavezethető kétparaméteres regresszió
racionális: Dr Ketskeméty László előadása

33 Lineárisra visszavezethető kétparaméteres regresszió
homogén kvadratikus: Dr Ketskeméty László előadása

34 Lineárisra visszavezethető kétparaméteres regresszió
hiperbolikus: Dr Ketskeméty László előadása

35 Lineárisra visszavezethető kétparaméteres regresszió
logaritmikus: Dr Ketskeméty László előadása

36 A többváltozós lineáris regresszió
A független változók azon lineáris kombinációját keressük, amelynél a függőváltozót legkisebb négyzetes hibával tudjuk közelíteni: Dr Ketskeméty László előadása

37 A többváltozós lineáris regresszió
Az együtthatók meghatározása a legkisebb négyzetek módszerével: Dr Ketskeméty László előadása

38 Szórásanalízis (ANOVA) a modell érvényességének eldöntésére
F-próbával dönthetünk a nullhipotézisről. A nullhipotézis az, hogy a független változók mindegyike 0! Dr Ketskeméty László előadása

39 Dr Ketskeméty László előadása
Béta-együtthatók A béta-együtthatók egyfajta szempontból minősítik a változók fontosságát a lineáris összefüggésben. Ha egy változónak nagy az együtthatója abszolút értékben, akkor fontos, ha kicsi, kevésbé fontos . az i-edik regressziós együttható, az i-edik változó standard szórása, a célváltozó standard szórása. Dr Ketskeméty László előadása

40 R2 (coefficient of determination) meghatározottsági együttható
Ha csak egy magyarázó változó van, akkor R2 éppen a korrelációs együttható négyzete! Megmutatja, hogy a lineáris regresszióval a célváltozó varianciájának mekkora hányadát lehet magyarázni Dr Ketskeméty László előadása

41 Korrigált (adjusztált) meghatározottsági mutató
A korrekció azért szükséges, mert újabb változók bevonásával R2 automatikusan nő, és túl optimista képet mutat a modell illeszkedéséről. Az adjusztált változatban „büntetjük” a túl sok változó bevonását a modellbe. p=1 esetben nem korrigálunk. p a független változók száma Dr Ketskeméty László előadása

42 Modellépítési technikák
Egy tipikus többváltozós lineáris regressziós problémánál adott az Y célváltozó és nagy számú X1, X2,…, Xp magyarázó változó. Az elemzés kezdetekor azt sem tudjuk, melyek azok a változók, amik bekerülnek, és melyek azok, amik nem kerülnek majd be a modellbe. Ha minden lehetséges kombinációt ki akarnánk próbálni, akkor összesen Már 4 változó esetén 15 modellt kellene illesztenünk! modellillesztést kellene elvégeznünk! Dr Ketskeméty László előadása

43 Modellépítési technikák
Nyilván szűkítenünk kell kell az illesztendő modellek számát! Alkalmazhatjuk az ENTER eljárást, amelyben azokat a magyarázó változókat vesszük be a változólistából a modellbe, amely változókat szeretnénk, hogy benne legyenek. Ezeket a modelleket utólag értékelni kell a meghatározottsági együttható nagysága, és a regressziós együtthatók szignifikancia szintje alapján. A módosításokkal újra el kell végezni az illesztést. Dr Ketskeméty László előadása

44 Modellépítési technikák
Automatikus modellépítési technikák: STEPWISE FOREWARD BACKWARD REMOVE A felhasználónak csak az indulási magyarázó változó listát kell specifikálnia, a program ebből választva állít elő „jó” modelleket, amik közül választhatunk „végső” megoldást. Dr Ketskeméty László előadása

45 Dr Ketskeméty László előadása
A parciális F-próba Tegyük fel, hogy bevontuk a p-edik magyarázó változót a modellbe. Ha az új változó magyarázó ereje elhanyagolható, akkor az alábbi statisztika 1, n-p-1 szabadságfokú Fisher-eloszlást követ: az új p változós modell meghatározottsági együtthatója, a régi p-1 változós modell meghatározottsági együtthatója, Dr Ketskeméty László előadása

46 Dr Ketskeméty László előadása
A parciális F-próba A p-edik változót akkor vonjuk be a modellbe, ha ahol olyan kritikus érték, hogy: Dr Ketskeméty László előadása

47 Dr Ketskeméty László előadása
FOREWARD Alulról építkező modellépítési eljárás. Minden modellépítési lépésben a listából azt a változót vonjuk be, amely F-tesztjéhez a legkisebb  szint tartozik. A bevonási folyamat addig tart, amíg ez a legkisebb  szint egy beállított PIN korlát alatt marad. Előnye, hogy viszonylag kevés magyarázó változó lesz a modellben, így könnyebb a modellt értelmezni. Dr Ketskeméty László előadása

48 Dr Ketskeméty László előadása
BACKWARD Felülről lebontó eljárás. Kezdetben az összes változót berakjuk a modellbe. Minden lépésben azt a változót hagyjuk el a modellből, amelynél parciális F-próbánál a legnagyobb  érték tartozik. Akkor állunk meg, ha az előre beállított POUT küszöbérték alá megy ez az . A BACKWARD modellépítéssel viszonylag sok magyarázó változó marad benn a modellben. Dr Ketskeméty László előadása

49 Dr Ketskeméty László előadása
STEPWISE A FOREWARD eljárást úgy módosítjuk, hogy minden lépésben ellenőrizzük a modellbe korábban már bevont változókhoz tartozó  szignifikancia-szintet, és azt elhagyjuk, ahol ez a szint nagyobb mint POUT. Nem kerülünk végtelen ciklusba, ha PIN<POUT. (Szokásos beállítás: PIN=0,05 és POUT=0,10. Dr Ketskeméty László előadása

50 Dr Ketskeméty László előadása
REMOVE A REMOVE eljárás az ENTER beállításából indul ki, egyszerre hagy el változókat a modellből, összehasonlításként csak a konstans tagot tartalmazó modell eredményeit közli. Dr Ketskeméty László előadása

51 Dr Ketskeméty László előadása
Multikollinearitás Multikollinearitáson a magyarázó változók között fellépő lineáris kapcsolat meglétét értjük. A multkollinearitás jelenléte rontja a modell értékelhetőségét. A multikollinearitás mérőszámai: tolerancia variancia infláló faktor (VIF) kondíciós index (CI) variancia hányad Dr Ketskeméty László előadása

52 A multikollinearitás mérőszámai
tolerancia azt méri, hogy az i-edik magyarázó változót az összes többi milyen szorosan határozza meg. A nullához közeli tolerancia jelenti azt, hogy közel függvényszerű kapcsolat van a magyarázó változók között. Értéke 1-Ri2, ahol Ri az i-edik változónak a többivel vett lineáris regressziójának a korrelációs együtthatója, a többszörös korrelációs együttható. Dr Ketskeméty László előadása

53 A multikollinearitás mérőszámai
A variancia infláló faktor (VIF) a tolerancia reciproka: VIF=1/(1-Ri2). Ezért, ha a magyarázó változók között szoros a kapcsolat, VIF végtelen nagy is lehet. Ha a magyarázó változók korrelálatlanok, a VIF értéke 1. A kondíciós index (CI) a magyarázó változók korrelációs mátrixának sajátértékeiből számolt statisztika. A legnagyobb és legkissebb sajátértékek hányadosának négyzetgyöke: A CI>15 esetében megállapítható az erős kollinearitás. Dr Ketskeméty László előadása

54 A multikollinearitás mérőszámai
Variancia hányad is utalhat multikollinearitásra. Ha egy-egy nagy kondíciós index sorában több regressziós együtthatónak van magas variancia hányada. A regressziós együtthatók varianciáit a sajátértékek között szétosztjuk. Dr Ketskeméty László előadása

55 A becslést befolyásoló pontok feltárása
A lineáris regressziós modell értékelésének fontos lépése az egyes adatpontok fontosságának feltárása. Melyek azok az adatpontok, amelyek a végleges összefüggést legerősebben mutatják, erősítik, és melyek azok az ún. outlier pontok, melyek legkevésbé illeszkednek az adott regressziós összefüggésbe. Dr Ketskeméty László előadása

56 A becslést befolyásoló pontok feltárása
A Y célváltozó és a lineáris becslés közötti kapcsolat: A becslés hibavektora, maradékösszeg, regressziós összeg: Dr Ketskeméty László előadása

57 A becslést befolyásoló pontok feltárása
a leverage (hatalom) vagy hat mátrix A mátrix szimmetrikus, hii diagonális elemei azt mutatják, hogy az i-edik eset mekkora hatást fejt ki a regressziós becslésre. , ahol az i-edik esetvektor Dr Ketskeméty László előadása

58 A becslést befolyásoló pontok feltárása
Az i-edik eset befolyása átlagos, ha ezek a tipikus esetek! Az i-edik eset befolyása jelentős, ha Ha az i-edik eset bevonható az elemzésbe Ha kockázatos az i-edik eset bevonása az i-edik esetet ki kell hagyni, „outlier” pont Dr Ketskeméty László előadása

59 A maradéktagok (reziduálisok) elemzése
A lineáris becslés elkészítésekor nem számolunk az i-edik esettel, „töröljük”. Közönséges reziduális: Törölt reziduális: Standardizált reziduális: Belsőleg studentizált reziduális: Dr Ketskeméty László előadása

60 A maradéktagok (reziduálisok) elemzése
Heteroszkedaszticitás: A maradéktagok nulla szint körüli szóródásának lehetséges típusai a.) a szóródás megfelel a lineáris modellnek, b.) nem a lineáris modellhez tartoznak a maradéktagok, c.) a szóródások nem azonosak, d.) a hibatagok nem függetlenek egymástól. Dr Ketskeméty László előadása

61 Példa kétváltozós lineáris regresszióra
Keressünk lineáris összefüggést az employee data állományban a kezdőfizetés és a jelenlegi fizetés között! Dr Ketskeméty László előadása

62 Példa kétváltozós lineáris regresszióra
Dr Ketskeméty László előadása

63 Példa kétváltozós lineáris regresszióra
Dr Ketskeméty László előadása

64 Példa kétváltozós lineáris regresszióra: a maradéktagok
Heteroszkedaszticitás jelensége megfigyelhető: nagyobb X-hez nagyobb szórás tartozik! Dr Ketskeméty László előadása

65 Példa kétparaméteres nemlineáris regresszióra
Keressünk nemlineáris kapcsolatot Cars állományban a lóerő és a fogyasztás között! Dr Ketskeméty László előadása

66 Példa kétparaméteres nemlineáris regresszióra
Dr Ketskeméty László előadása

67 Példa kétparaméteres nemlineáris regresszióra
Dr Ketskeméty László előadása

68 Dr Ketskeméty László előadása
Dr Ketskeméty László előadása

69 Példa kétparaméteres nemlineáris regresszióra
Dr Ketskeméty László előadása

70 Példa kétparaméteres nemlineáris regresszióra
Dr Ketskeméty László előadása

71 Példa kétparaméteres nemlineáris regresszióra
Dr Ketskeméty László előadása

72 Példa kétparaméteres nemlineáris regresszióra
Dr Ketskeméty László előadása

73 Példa kétparaméteres nemlineáris regresszióra
Dr Ketskeméty László előadása

74 Példa kétparaméteres nemlineáris regresszióra
Dr Ketskeméty László előadása

75 Példa kétparaméteres nemlineáris regresszióra
Dr Ketskeméty László előadása

76 Példa többváltozós lineáris regresszióra
Ismételjük meg az előző elemzést, de vonjuk be a magyarázó változók közé az alkalmazás idejét (jobtime) és a dolgozó korát is! Dr Ketskeméty László előadása

77 Példa többváltozós lineáris regresszióra
A konstans szerepe elhanyagolható a modellben. Dr Ketskeméty László előadása