A klasszikus termodinamika kritikája

Az előadások a következő témára: "A klasszikus termodinamika kritikája"— Előadás másolata:

1 A klasszikus termodinamika kritikája
A klasszikus termodinamika továbbfejlesztését célzó elméletek többé-kevésbé az említett hiányosságokat igyekeztek vagy igyekeznek kiküszöbölni, egyszer a logikai-matematikai szerkezetre másszor pedig a fizikai tartalomra összpontosítva. Irreverzíbilis folyamatok termodinamikája Racionális termodinamika, Sztochasztikus (statisztikus) termodinamika

2 irreverzíbilis folyamatok termodinamikája
Póta György: Modern fizikai kémia (Digitális Tankönyvtár, 2013), 1.3 és 1.4 fejezet

3 Irreverzíbilis folyamatok termodinamikája
Thermodynamics of Irreversible Processes, TIP Josef Meixner (1908 – 1994) német elméleti fizikus Sybren Ruurds de Groot (1916 – 1994) holland fizikus Ilya Prigogine [Илья́ Рома́нович Приго́жин] (1917 – 2003) orosz származású belga–amerikai kémikus, kémiai Nobel-díj (1977) Lars Onsager 1903 – 1976) norvég fiziko-kémikus kémiai Nobel-díj (1968)

4 Irreverzíbilis folyamatok termodinamikája
A terület kiemelkedő hazai kutatói: Gyarmati István (1929 – 2002) fizikus, kémikus Fényes Imre (1917 – 1977) fizikus

5 Irreverzíbilis folyamatok termodinamikája
Tartalmilag az irreverzíbilis folyamatok termodinamikája az összetett transzportjelenségek vizsgálatával szoros kapcsolatban alakult ki, eredményeinek jelentős része az egyensúlyhoz közeli nyílt rendszerekre vonatkozik. Alapfeltevés, hogy a klasszikus termodinamikában időtől függetlenül megfogalmazott összefüggések időbeli változásokra is érvényesek. Az elmélet ún. nemfolytonos rendszerekre vonatkozó alakjával fogunk részletesebben foglalkozni (ez matematikailag egyszerűbb).

6 A nemfolytonos rendszer
Vegyünk egy melegebb és egy hidegebb fémtömböt, amelyeket egy hőszigetelő fólia választ el egymástól. A melegebb tömbből hő jut át a hidegebbe, de a hőszigetelő fólia miatt viszonylag lassú a hőátadási folyamat, s ezalatt a tömbök belsejében az esetleg keletkezett hőmérsékleti inhomogenitásoknak van idejük kiegyenlítődni, a tömbök így a folyamat alatt termikusan homogénnek vehetők. A hőcsere folyamata az egyes tömbök szempontjából reverzíbilisnek tekinthető, a teljes rendszer szempontjából azonban irreverzíbilis.

7 A nemfolytonos rendszer
A továbbiakban – a gyakran előforduló egyszerűbb esetekre koncentrálva – az elektromos töltés áramlásától eltekintünk s azt csak megfontolásaink végén vesszük figyelembe. energia anyag töltés A nemfolytonos rendszer; a teljes rendszer a környezetével energiát cserélhet

8 Az entrópiaprodukció A két alrendszerre:
Mivel a teljes (1+2) rendszer zárt: Ha az egyes rendszerek hőeffektusait felosztjuk belsőre (a másik alrendszerrel cserélt hő) és külsőre (környezettel cserélt hő): A teljes (1+2) rendszerre az első főtétel: Ebben csak a rendszer és a környezete közötti kölcsönhatások szerepelnek, a két alrendszer közötti kölcsönhatások nem.

9 Az entrópiaprodukció A korábbiak kombinálásával:
Gibbs-egyenlet alkalmazása (mivel a két alrendszer minden pillanatban egyensúlyban van): 1. előadás anyagából:

10 Az entrópiaprodukció A korábbiak kombinálásával:
Gibbs-egyenlet alkalmazása (mivel a két alrendszer minden pillanatban egyensúlyban van): A teljes rendszer entrópiaváltozása: Környezettel történő hőcsere következménye Rendszeren belüli irreverzíbilis folyamatok okozta entrópiaváltozás

11 időegységre eső belső entrópiatermelés, azaz entrópiaprodukció
Ha az egyenletet – az elmélet alapfeltevése szerint – időfüggő változásokra alkalmazzuk: ahol és időegységre eső belső entrópiatermelés, azaz entrópiaprodukció

12 Az entrópiaprodukció A második főtétel miatt az entrópiaprodukció…
valóságos, irreverzíbilis folyamatokra mindig pozitív, reverzíbilis folyamatokban pedig eltűnik, azaz σ = 0. A σ kifejezését általánosíthatjuk arra az esetre, amikor a rendszerben elektromos potenciál és töltés jelenlétével is számolnunk kell: ahol φ′ és φ″ az egyes alrendszerek elektromos potenciáljai, de′/dt pedig az 1 alrendszer egységnyi időre eső töltésváltozása (azaz elektromos áram).

13 Áramok és erők Az irreverzíbilis folyamatok termodinamikájának Onsager-féle elméletében központi szerepük van az általánosított áramoknak és erőknek. Az általánosított áram mindig valamilyen extenzív mennyiség árama, a hozzá tartozó általánosított erő az adott áram létrehozásához hozzájáruló inhomogenitás mértéke.

14 Transzportjelenségek
Áramok és erők Az eddig tárgyalt nemfolytonos rendszermodell esetében az egymáshoz tartozó (egymáshoz konjugált) áramok és erők: Áram Erő Transzportjelenségek Fourier-törvény Fick I. törvénye Ohm-törvény

15 Áramok és erők Áram Erő Az így definiált erőkkel és áramokkal az entrópiaprodukció: , általánosan

16 Áramok és erők Az általános képletben Jk és Xk már nem az anyagtranszport mennyiségeit jelentik, hanem teljes általánosságban egy egymáshoz tartozó áram-erő párost. Az egyes konkrét alkalmazásoknál az áramok és erők mibenléte – fizikai alapokon – általában jól megállapítható. Nincs azonban az áramoknak és erőknek általános érvényű, formális, matematikai definíciójuk. (Ez az Onsager-elmélet egyik vitatható pontja.) Az így definiált erőkkel és áramokkal az entrópiaprodukció: , általánosan

17 Onsager-féle reciprocitási relációk
Az erők áramokat hozhatnak létre, s lehetséges, hogy egy-egy adott áram kialakulásához több erő is hozzájárulhat. Onsager feltevése szerint – legalábbis az egyensúly környezetében – az áramok és az erők között lineáris kapcsolat van. Legegyszerűbb eset: 2 áram és 2 erő (2×2-es rendszer) Elvben mindkét erő befolyásolhatja mindkét áram nagyságát. Onsager kísérleti eredmények és (más tudományágakból származó) elméleti megfontolások alapján feltételezte, hogy a szimmetrikus helyzetű vezetési együtthatókra teljesül az ún. reciprocitási reláció: L12 = L21 Lxy: vezetési együtthatók

18 Onsager-féle reciprocitási relációk
Kereszteffektus: ha L12 = L21 ≠ 0 (azaz egy erő valóban befolyásol egy hozzá nem konjugált áramot) Az entrópiaprodukció a 2×2-es rendszerben: E kifejezés biztosan eltűnik, ha X1 és X2 egyaránt nulla. Biztosítanunk kell azonban azt is, hogy a kifejezés nem csupa zérus erők esetén mindig pozitív legyen, hiszen ez σ jellemző fizikai tulajdonsága. Matematikai szempontból ún. pozitív definit kvadratikus formára van tehát szükségünk.

19 Onsager-féle reciprocitási relációk
Biztosítanunk kell azonban azt is, hogy a kifejezés nem csupa zérus erők esetén mindig pozitív legyen, hiszen ez σ jellemző fizikai tulajdonsága. Matematikai szempontból ún. pozitív definit kvadratikus formára van tehát szükségünk. Ehhez teljesülni kell a következőknek: L11 és L22 > 0; L11L22 – L21L12 > 0

20 Onsager-féle reciprocitási relációk
- általános rendszer Az M számú áramot és M számú erőt tartalmazó rendszerben a fenomenológiai egyenletek a következők: Az Onsager-féle reciprocitási relációk alakja: Lik = Lki amit másként úgy is mondhatunk, hogy a vezetési együtthatók {Lik} mátrixa szimmetrikus. Kereszteffektus jön létre akkor, ha Lik = Lki ≠ 0 Az entrópiaprodukció kifejezése: Ennek pozitívnak kell lennie, hacsak egyetlen Xi erő is eltér 0-tól.

21 Onsager-féle reciprocitási relációk
- általános rendszer Az entrópiaprodukció kifejezése ezúttal tehát egy M-dimenziós, pozitív definit kvadratikus forma. Ahhoz, hogy ez teljesüljön, az Lik vezetési együtthatóknak további feltételeknek kell eleget tenniük. Az Onsager-féle reciprocitási relációk eredete, bizonyíthatósága, szükségessége vita tárgya.

22 Az Onsager-elmélet kritikája - matematikai
Az Onsager-elmélet alapjait érintő kritika, hogy az áramok és az erők formális (matematikai) definíciója híján a reciprocitási relációknak, azaz L szimmetrikus voltának nincs valódi fizikai tartalma.

23 Az Onsager-elmélet kritikája - fizikai
Az Onsager-relációk haszontalanok, mert csak kevés olyan jelenség van, ahol az L mátrixnak nem csupán bizonyos elemeire van szükség, hanem az egészre. Nem világos, hogy L szimmetrikus volta posztulátumnak veendő-e vagy bizonyításra szoruló tételnek. Ha az utóbbi érvényes, kérdéses, hogy mi a bizonyítás, vajon a más (pl. statisztikus) fizikai elméletekből származó megfontolások bizonyításnak tekinthetők-e. Az is felmerül, hogy az Onsager-relációk hibásak vagy az elgondoltnál korlátozottabb hatókörűek, amennyiben bizonyos jelenségek értelmezése e relációkkal nem lehetséges, hibás eredményeket kapunk.

24 Minimális entrópiaprodukció elve
Izolált rendszer egyensúlyi állapotában az erők és az áramok eltűnnek, az entrópia pedig maximális lesz. DE: van-e valamilyen hasonló elv a nyílt rendszerben fellépő stacionárius állapot esetében? Prigogine: az egyensúlyhoz közeli – azaz lineáris – rendszerek stacionárius állapotaiban a rendszer entrópiaprodukciója minimális lesz. Ilya Prigogine [Илья́ Рома́нович Приго́жин] (1917 – 2003) orosz származású belga–amerikai kémikus, kémiai Nobel-díj (1977)

25 Minimális entrópiaprodukció elve
Legyen a rendszerhez tartozó X1, X2,…,XM erők közül az első j rögzített értékű. Ezt külső kényszerek – például anyagáramlás – segítségével érhetjük el. A rögzített erőkhöz tartozó áramok a stacionárius állapotban nem tűnnek el. Az Xj+1, Xj+2,…,XM erők értéke viszont nem rögzített, a hozzájuk tartozó áramok – az erők nagyságának függvényében – változhatnak. Ha izolált egyensúlyban minden áram eltűnik, logikus feltételezni, hogy nyílt rendszer egyensúlyhoz közeli stacionárius állapotában legalább a nem rögzített erőkhöz tartozó áramok eltűnnek:

26 Minimális entrópiaprodukció elve
Ebből következik, hogy az entrópiaprodukció – a nem rögzített erők függvényében – extremális lesz: és (reciprocitási reláció) Ez biztosan teljesül, hiszen a jobb oldalon az eltűnő Jj+1, Jj+2, … JM áramok állnak.

27 Minimális entrópiaprodukció elve
A disszipált teljesítmény abszolút értéke ( ) állandó hőmérsékleten az entrópiaprodukcióval együtt minimumot ad. A minimális entrópiaprodukció elve időbeli változásokra is megfogalmazható, a stacionárius állapothoz közelítő rendszerben ugyanis a nem rögzített erők értékei úgy változnak meg, hogy teljesüljön a következő összefüggés: (az egyenlőség a stacionárius állapotban érvényes.) Ez is arra utal, hogy az entrópiaprodukció időben csökkenve a stacionárius állapotban minimumot vesz fel. A minimális entrópiaprodukció elve implicite a stacionárius állapot stabilitását is sugallja: a stacionárius állapotból kibillentett rendszer a külső zavarás megszűnte után visszatér ebbe az állapotba.

28 Általános evolúciós kritérium
P. Glansdorff és I. Prigogine alkotta meg. Ez a kritérium a szerzők szerint az egyensúlytól távol is érvényes. A minimális entrópiaprodukció elvét felhasználva levezethető az egyensúlyhoz közeli rendszerekre. Mivel a σ entrópiaprodukció az erők és áramok függvénye, változására felírható a következő: ahol és Fenomenológikus egyenlet:

29 Általános evolúciós kritérium
Az entrópiaprodukció áramokat tartalmazó tagja: Az entrópiaprodukció erőket tartalmazó tagja: (mivel az indexek és az összegzés sorrendje is felcserélhető) Az Onsager-féle reciprocitási relációk értelmében Lik = Lki, emiatt pedig dJσ = dXσ és dσ = dJσ + dXσ = 2dXσ Ezt az egyenletet időbeli változásokra felírva és átrendezve:

30 Általános evolúciós kritérium
Az általános evolúciós kritériumot a alkalmazásával kapjuk (az egyenlőség a stacionárius állapotra vonatkozik):

31 Általános evolúciós kritérium
Az általános evolúciós kritériumot a alkalmazásával kapjuk (az egyenlőség a stacionárius állapotra vonatkozik): Az általános evolúciós kritériumból megítélhető, hogy egy adott rendszert a stacionárius állapotából kimozdítva az várható-e, hogy a rendszer visszatér ebbe az állapotba vagy pedig „evolúció” indul meg, a rendszer a stacionárius pontjától eltávolodva új viselkedésformákat vesz fel, ún. disszipatív szerkezetek jönnek létre.

32 Általános evolúciós kritérium
Legyenek c1, c2, …, cN a vizsgált rendszert jellemző változók (reaktor esetében pl. a reagáló anyagok koncentrációi). Ezekkel σ és dXσ kifejezhető. Előfordul, hogy dXσ a rendszer valamilyen tulajdonságát leíró g(c1, c2,…,cN) függvény teljes differenciálja, azaz fennáll a következő összefüggés: (A g függvényt kinetikai potenciálnak is nevezik.) Ekkor azonban a G(t) = g(c1(t), c2(t),…,cN(t)) függvényre:

33 Általános evolúciós kritérium
Legyenek c1, c2, …, cN a vizsgált rendszert jellemző változók (reaktor esetében pl. a reagáló anyagok koncentrációi). Ezekkel σ és dXσ kifejezhető. Előfordul, hogy dXσ a rendszer valamilyen tulajdonságát leíró g(c1, c2,…,cN) függvény teljes differenciálja, azaz fennáll a következő összefüggés: (A g függvényt kinetikai potenciálnak is nevezik.) Ekkor azonban a G(t) = g(c1(t), c2(t),…,cN(t)) függvényre:

34 Általános evolúciós kritérium
Ez akkor igaz, ha a stacionárius állapoton kívül vagyunk. Eszerint tehát a G függvény szigorúan monoton csökken. Ez kizárja, hogy a rendszerben olyan „evolúció” jöjjön létre, ami időben periodikus viselkedéshez vezet. Ha ugyanis a rendszert jellemző c1, c2,…,cN függvények az idő periodikus függvényei, úgy G-re is igaz ugyanez.