Szilárd testek fajhője

Az előadások a következő témára: "Szilárd testek fajhője"— Előadás másolata:

1 Szilárd testek fajhője
Zérusponti rezgés: Cu Ge σ ≈ Å (≈ 0.02·a)

2 Rácsrezgések kvantummechanikai leírása
jelentése: hullámszámú, polarizációjú fonon kvantumszám operátora Rácsrezgések kvantummechanikai leírása keltő- és eltüntető operátorok 1 db. oszcillátor a hullámszámú, polarizációjú fonon kvantumszám operátora sajátértékei az egész számok, értéke az adott frekvenciájú és hullámhosszú rezgést jellemzi q  /a L T impulzus energia Fonon: kvázirészecske

3 Energia és impulzusmegmaradás
a diszkrét transzlációs szimmetria következménye: és ekvivalens Fonon → kvázirészecske Rugalmatlan szórás: + fonon abszorbció - fonon emisszió

4 Energia és impulzusmegmaradás
a diszkrét transzlációs szimmetria következménye: és ekvivalens Fonon → kvázirészecske Rugalmatlan szórás: + fonon abszorbció - fonon emisszió Diszperziós reláció mérése: inelasztikus neuronszórás Mérési tartományok q=/a q=-/a

5 Energia és impulzusmegmaradás
a diszkrét transzlációs szimmetria következménye: és ekvivalens Fonon → kvázirészecske Rugalmatlan szórás: + fonon abszorbció - fonon emisszió Diszperziós reláció mérése: inelasztikus neuronszórás Mérési tartományok impulzusú neutron bejön és felvesz energiát majd impulzussal kimegy q=/a q=-/a ezeket mérjük és ezt számoljuk

6 Energia és impulzusmegmaradás
a diszkrét transzlációs szimmetria következménye: és ekvivalens Fonon → kvázirészecske Rugalmatlan szórás: + fonon abszorbció - fonon emisszió Diszperziós reláció mérése: inelasztikus neuronszórás Mérési tartományok impulzusú neutron bejön és felvesz energiát majd impulzussal kimegy q=/a q=-/a ezeket mérjük és ezt számoljuk Grafikus szemléltetés (1 dimenzió)

7 Szilárd testek fajhője
harmonikus oszcillátor szabadsági fokai Klasszikus tárgyalásmód (harmonikus közelítés) 3N db független oszcillátor  ekvipartició tétel  oszcillátorok száma ekvipartició tétel: az egy szabadsági fokra jutó energia

8 Szilárd testek fajhője
harmonikus oszcillátor szabadsági fokai Klasszikus tárgyalásmód (harmonikus közelítés) 3N db független oszcillátor  ekvipartició tétel  a fajhő nem függ a hőmérséklettől oszcillátorok száma ekvipartició tétel: az egy szabadsági fokra jutó energia

9 Szilárd testek fajhője
harmonikus oszcillátor szabadsági fokai Klasszikus tárgyalásmód (harmonikus közelítés) 3N db független oszcillátor  ekvipartició tétel  a fajhő nem függ a hőmérséklettől oszcillátorok száma ekvipartició tétel: az egy szabadsági fokra jutó energia Kísérleti eredmények magas hőmérséklet Dulong-Petit érték A klasszikus leírásmód koncepcionálisan hibás, amin nem lehet javítani egy-egy konkrét rendszer jobb közelítésével (pl. anharmonikus tagok figyelembe vételével). Az alacsony hőmérsékletű viselkedés univerzális, megértéséhez már kvantummechnaikai tárgyalás kell. alacsony hőmérsékleten univerzális T-függés

10 Statisztikus fizikai megfontolások
folytonos spektrum diszkrét spektrum Legyen egy ε energiájú állapot valószínűsége független alrendszerek együttes rendszer és Z a függvény két paramétere

11 Statisztikus fizikai megfontolások
folytonos spektrum diszkrét spektrum Legyen egy ε energiájú állapot valószínűsége független alrendszerek együttes rendszer és Z a függvény két paramétere Diszkrét energiaspektrum esetén Az n-edik állapot valószínűsége Az energia várható értéke:

12 Statisztikus fizikai megfontolások
folytonos spektrum diszkrét spektrum Legyen egy ε energiájú állapot valószínűsége független alrendszerek együttes rendszer és Z a függvény két paramétere Diszkrét energiaspektrum esetén Az n-edik állapot valószínűsége Az energia várható értéke: Harmonikus oszcillátor (kvantummechanika): azaz ahol

13 Harmonikus oszcillátor (kvatummechanika):
azaz ahol Az energia várható értéke: ahol egy oszcillátor: az n-edik nívó betöltési valószínűsége sok oszcillátor: az n-edik nívó átlagos betöltöttsége

14 Harmonikus oszcillátor (kvatummechanika):
azaz ahol Az energia várható értéke: ahol egy oszcillátor: az n-edik nívó betöltési valószínűsége sok oszcillátor: az n-edik nívó átlagos betöltöttsége Bose-Einstein eloszlásfüggvény segédváltozó

15 Harmonikus oszcillátor (kvatummechanika):
azaz ahol Az energia várható értéke: ahol egy oszcillátor: az n-edik nívó betöltési valószínűsége sok oszcillátor: az n-edik nívó átlagos betöltöttsége Bose-Einstein eloszlásfüggvény segédváltozó Klasszikus határeset (ekvipartició tétel)

16 Szilárd testek fajhőjének Debye-modellje
kvatummechanikai leírás (1 dimenzió) annyi különböző rezgési módus, ahány darab atomból áll a lánc L=Na (q) /a -/a q

17 Bose-Einstein statisztika
Szilárd testek fajhőjének Debye-modellje kvatummechanikai leírás (1 dimenzió) annyi különböző rezgési módus, ahány darab atomból áll a lánc L=Na (q) /a -/a q Az energia: Bose-Einstein statisztika rezgési módus energiája rezgési módus betöltöttsége

18 Szilárd testek fajhőjének Debye-modellje
kvatummechanikai leírás (1 dimenzió) Összegzésből integrálásra való áttérés tetszőleges f(q) függvényre (q) f(q) /a -/a q q Az energia: Bose-Einstein statisztika q helyett frekvencia szerinti integrálásra való áttérés rezgési módus energiája rezgési módus betöltöttsége mivel az állapotsűrűség definiciója (1 dimenzió): 3 dimenzióban:

19 Szilárd testek fajhőjének Debye-modellje
3-dimenzió – 3 fonon-ág 1 longitudinális + 2 transzverzális Debye-modell feltevései (3 dimenzió): 1. izotróp anyag, minden csak tól függ 2. Iineáris diszperziós reláció ig 3. módusok száma 3N (N az atomok száma) /a L T q (q) 3-szor annyi különböző rezgési módus, mint ahány darab atomból áll a lánc

20 meredekség: a hangsebesség
Szilárd testek fajhőjének Debye-modellje Debye-modell feltevései (3 dimenzió): 1. izotróp anyag, minden csak tól függ 2. Iineáris diszperziós reláció ig 3. módusok száma 3N (N az atomok száma) meredekség: a hangsebesség rezgési módus energiája Az energia: Bose-Einstein statisztika állapotsűrűség fonon ágak száma

21 meredekség: a hangsebesség
Szilárd testek fajhőjének Debye-modellje Debye-modell feltevései (3 dimenzió): 1. izotróp anyag, minden csak tól függ 2. Iineáris diszperziós reláció ig 3. módusok száma 3N (N az atomok száma) meredekség: a hangsebesség rezgési módus energiája Az energia: Bose-Einstein statisztika állapotsűrűség fonon ágak száma

22 meredekség: a hangsebesség
Szilárd testek fajhőjének Debye-modellje Debye-modell feltevései (3 dimenzió): 1. izotróp anyag, minden csak tól függ 2. Iineáris diszperziós reláció ig 3. módusok száma 3N (N az atomok száma) meredekség: a hangsebesség rezgési módus energiája Az energia: Bose-Einstein statisztika állapotsűrűség fonon ágak száma megválasztása 3-szor annyi különböző rezgési módus, mint ahány darab atomból áll a lánc

23 Debye-modell (3 dimenzió):
Az energia: A fajhő: Debye-hőmérséklet: Illesztés a kísérleti görbére univerzális

24 Debye-modell (3 dimenzió): heyes megválasztása biztosítja a
szabadsági fokok számának megfelelő klasszikus határértéket Az energia: A fajhő: magas hőmérséklet Dulong-Petit érték Debye-hőmérséklet: Illesztés a kísérleti görbére univerzális

25 Debye-modell (3 dimenzió): heyes megválasztása biztosítja a
szabadsági fokok számának megfelelő klasszikus határértéket Az energia: A fajhő: magas hőmérséklet Dulong-Petit érték Debye-hőmérséklet: Illesztés a kísérleti görbére Az alacsony hőmérsékleten a nagy energiájú állapotok betöltöttsége eltűnik, a kis energiájú fononok diszperziós relációja pedig mindig lineárisan indul, ezért univerzális a T→0 viselkedés. univerzális

26 Fajhő – általános eset (egyatomos kristály)
Az energia: 1-gyel való szorzás A fajhő: , ahol

27 Fajhő – általános eset (egyatomos kristály)
Az energia: 1-gyel való szorzás A fajhő: , ahol Az állapotsűrűség számolása: állandó energiájú felület

28 Szilárd testek hővezetése (nagyon vázlatosan)
termikus energia (helyfüggő) szabad úthossz hangsebesség 200 NaF 100 50 20 10 alacsony hőmérsékleten magas hőmérsékleten 5 2 1 hőmérséklettől független

29 Zéruspont rezgés Aluminium: