Előadást letölteni
Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon
1
2. Koordináta-rendszerek és transzformációk
2.1. Koordináta-rendszereink Az egyenes és sík egyenlete Affin transzformációk Projektív transzformációk
602
Mire jó nekünk az analitikus geometria?
Geometriai modell: pontok, vonalak, felületek – testek Átalakítások: geometriai számítások transzformációk Rajzolás: geometrikus képek; vetületek - transzformációk API 602
603
2.1. Koordináta-rendszereink
A Descartes-féle derékszögű koordináták Polár-koordináták Gömbkoordináták, henger-koordináták Baricentrikus koordináták Homogén koordináták
604
a Descartes-féle (ferdeszögű) KR
Egy KR-t meghatároz: - egy pont (origó, kezdőpont) - a rajta átmenő 3 (2) irányított egyenes (tengelyek), amelyek kifeszítik a teret (a síkot), - és a tengelyeken kijelölt egység Egy pont helyének megadása: 3(2) koordinátájával: P = (x, y, z)T // vagy (x, y, z) a pont vetülete egy tengelyre a másik két tengely síkjával párhuzamosan
605
DKR (a Descartes-féle, derékszögű KR)
Kijelöli 5 „pont”: O, X, Y, Z, E Pontok: P = (x, y, z)T = ⌠ x | │ y │ │ z │ kétféle irányítás: jobbsodrású (jobbos, jobbkezes), +Z felől nézve: X Y : „CCLW” balsodrású (balos, balkezes)
606
A síkban: Kijelöli 4 „pont”: O, X, Y, E Pontok: P = (x, y)T = │x│ │y│
kétféle irányítása: jobbsodrású (jobbos, jobbkezes), X tengely Y tengely: „CCLW” balsodrású (balos, balkezes)
608
Síkbeli polárkoordináták (ti)
kezdőpont, a polár-tengely, a pozitív elfordulás iránya P = ( r, ); ( 0 r ), ( 0 < 2).
609
Síkbeli polárkoordináták (ti)
PK DK x = r cos , y = r sin DK PK r = x2+y2 és = arctan( y / x ), ha x 0 és x = 0, ha y = 0 és x > = , ha y = 0 és x < = /2, ha x = 0 és y > 0, ill. y< = meghatározatlan, ha x=y=0 (a kezdőpont).
610
Gömbkoordináták, henger-koordináták (ti)
alapsík, benne PKR és a Z tengely, gömbkoordináták: P = (r, , ); r: r : polárszög; <2 az alapsíkban) azimut; vagy -/2 /2
611
Gömbkoordináták, henger-koordináták (ti)
henger-koordináták: ( r, , z ) PK DK x = cos = r sin cos ; y = sin = r sin sin , z = r cos = r sin = x2+y2, (az alapsíkban) DK PK : . . .
612
Pontrendszer súlypontja (olv)
p1,m1 p2,m2 p3,m3 M i = 1,2,…,n; tömegpontok Pi pont, pi , helyvektor, mi tömeg A pontrendszer súlypontja: a pontok súlyozott összege; M = ( mi · pi ) / mi M = (i · pi ); i = mi / mi ; < i < 1; i = 1 Adott pi alappontok esetén más-más mi súlyokhoz, más-más súlypont A i súlyok arányosan változtathatók !
613
Baricentrikus koordináták
a0, a1, a2 , a3 E 3 ; 4 pont kifeszíti az 3 dimenziós teret E 3 –ben minden x ponthoz egyértelműen: {0, 1, 2, 3} valósak: x = 0a0 +1a1 + 2a2 + 3a3; i=1 Súlyozott összeg, a súlyok összege (lehetnek negatívok is) {i}: az x-nek {ai}-re vonatkozó baricentrikus koordinátái
614
Baricentrikus koordináták
x = 0a0 +1a1 +…+ nan; i=1 Súlyozott összeg, a súlyok összege 1. {i} homogén jellegű koordináták: {'i} {h i} ;h 0 ugyanaz a pont Ha egy P pont baricentrikus koordinátái pozitívak, P az alappontok konvex burkán belül van. Tömegpontok súlypontja is
615
Homogén koordináták Az E 2 egy „inhomogenitása”
Az euklideszi tér kibővítése Homogén koordináták „Homogén terünk” szerkezete Homogén Descartes koordináták Descartes Homogén koordináták A sík homogén koordinátás egyenlete Miért használunk homogén koordinátákat?
616
Az E 2 egy „inhomogenitása”
Az a egyenes pontjait K-ból vetítjük az x egyenesre. F’ = ? Legyen !! Az E 2 kibővítése: - minden egyenesnek legyen még egy pontja, - neve: „az egyenes ideális pontja”, (fernpunkt) - párhuzamosok ideális pontja megegyezik: az egyenesek állása, - egy sík ideális pontjai a sík ideális egyenesén vannak.
617
A kibővített euklideszi sík
Az E 2 projektív lezárása (a „kibővített sík”); (projektív sík egy kitüntetett egyenessel.) „a homogén sík”: H 2 = E 2 I [„homogén sík” és „ H 2” jelölés csak KG] A projektív síkban: bármely két pont meghatároz egy egyenest bármely két egyenes meghatároz egy pontot …
618
A kibővített euklideszi tér
Az E 3 projektív lezárása (a „kibővített tér”); „a homogén tér”: H 3 = E 3 I („homogén tér”, „ H 3” csak KG) H 3 : P 3 (projektív tér) egy kitüntetett ideális síkkal A projektív térben: bármely 3 pont meghatároz egy síkot bármely 3 sík meghatároz egy pontot
619
A kibővített euklideszi tér
Egyenes: közönséges pontjai + 1 ideális pont egy egyenes ideális pontja: az egyenes „állása”: , úgy, hogy: párhuzamosok ideális pontja (állása) megegyezik; egy sík ideális pontjai egy egyenesen vannak, ez „a sík ideális egyenese”, (a sík „állása”) párhuzamos síkok ideális egyenese (állása) megegyezik, a tér ideális elemei (pontok, egyenesek, síkok) egy síkban vannak; „a tér ideális síkja”
620
Homogén koordináták A tér (közönséges részének) egy derékszögű KR-ében O : közönséges pont; belőle X, X, Z tengelyek P = (x, y, z) „homogén koordináták” : P = (x, y, z) [x, y, z, 1] h [x, y, z, 1] = [ h x, h y, h z, h ]; h0 Arányos számnégyesek ekvivalencia-osztálya (!) Figyelem: [ x, y, z, w ] h [ -x, -y, -z, -w ] !!
621
Homogén koordináták A v = (x, y, z) állású egyenesek ideális pontja: Iv = [ x, y, z, 0 ]; a pont „homogén alakja”, illetve: Iv = [ x, y, z, 0 ] h [ x, y, z, 0 ] = [ hx, hy, hz, 0 ]; h0
622
Áttérés a homogén alakra és vissza
A feladat adatai: DKR-ben: Számítások DKR-ben, de közben: Ha kell („kényes” műveletek előtt): áttérés homogén alakra: (x, y, z) [x, y, z, 1] „kényes” műveletek homogén alakban; utána az eredmények „szűrése” (ideális pontok kizárása) visszatérés DKR-be (projektív osztás): [x1, x2, x3, x4] (x1 / x4, x2 / x4, x3 / x4). Az eredmények értékelése DKR-ben.
623
Vissza: Descartes koordinátákra
H3 [x1, x2, x3, x4] pontjának : ha x4 0, akkor ez közönséges pont : [x1, x2, x3, x4] [x1/x4, x2/x4, x3/x4, 1] (x1 /x4, x2 /x4, x3 /x4), ha x4=0, de x1,x2, x3 nem mind nulla: ideális pont, az (x1, x2, x3) irányvektor: | | egyenesek állása [0,0,0,0] nem pont (számítások eredménye nem lehet).
624
„Ideális pontok” E 3 = { (x, y, z) } { [x, y, z, 1] }; x, y, z R
I 3 = { [x, y, z , 0] }; x, y, z R H 3 = E 3 U I 3 ; a „kibővített tér”, a „homogén tér” Az euklideszi tér kibővítése: minden egyenesnek van még egy pontja: az egyenes állását jellemzi párhuzamosok ideális pontja megegyezik egy sík ideális pontjai: a sík ideális egyenesén a tér ideális pontjai: az ideális síkban
![„Ideális pontok E 3 = { (x, y, z) } { [x, y, z, 1] }; x, y, z R](http://slideplayer.hu/slide/13264834/79/images/624/%E2%80%9EIde%C3%A1lis+pontok+E+3+%3D+%7B+%28x%2C+y%2C+z%29+%7D+%EF%82%BB+%7B+%5Bx%2C+y%2C+z%2C+1%5D+%7D%3B+x%2C+y%2C+z+%EF%83%8E+R.jpg "I 3 = { [x, y, z , 0] }; x, y, z R. H 3 = E 3 U I 3 ; a „kibővített tér , a „homogén tér Az euklideszi tér kibővítése: minden egyenesnek van még egy pontja: az egyenes állását jellemzi párhuzamosok ideális pontja megegyezik egy sík ideális pontjai: a sík ideális egyenesén a tér ideális pontjai: az ideális síkban.")
625
Egyenesek közös pontja
626
„Homogén terünk” szerkezete (olv)
A valós számhármasok tere: R3 = { (x,y,z); x,y,z R } Az arányos számnégyesek ekvivalencia-osztályai: Ax,y,z,w = { h ·[ x, y, z, w ]; h R, h ≠ 0}; x,y,z,w R A homogén tér: H 3 ={ Ax,y,z,w ; x,y,z,w R } \ { [0,0,0,0] } 626
627
Miért használunk homogén koordinátákat?
A párhuzamosok „kivételes helyzete” megszűnik. A mátrix szorzás egységes formalizmusa (eltolás!) transzformációk egymásutánja: mátrixuk szorzata A középpontos vetítés számolható a pontok homogén koordinátáival és x4-es mátrixal
Hasonló előadás
