IV. konzultáció Analízis Differenciálszámítás II.

Az előadások a következő témára: "IV. konzultáció Analízis Differenciálszámítás II."— Előadás másolata:

1 IV. konzultáció Analízis Differenciálszámítás II.

2 Elemi függvények deriválása
Definíció. Legyen Ha az f függvény előállítható az x, exp és sin függvényekből a következő műveletek véges sokszor történő alkalmazásával, akkor f-et elemi függvénynek nevezzük. 1./ Állandóval való szorzás 2./ Összeadás, szorzás 3./ Reciprokképzés 4./ Nyílt halmazra való leszűkítés 5./ Olyan, intervallumra vonatkozó leszűkítés invertálása, ahol a derivált függvény nem veszi fel a 0 értéket. 6./ Kompozíció.

3 Elemi függvények deriválása
Trigonometrikus függvények deriválása Tétel. Bizonyítás: előadáson.

4 Elemi függvények deriválása
Exponenciális függvények deriválása Tétel. Speciális eset: Bizonyítás: előadáson Implicit alakban adott függvények deriválása: (példákon keresztül)

5 Elemi függvények inverzeinek deriválása
Arkuszfüggvények deriválása: Tétel. Bizonyítás: előadáson

6 Logaritmikus deriválás
Logaritmikus deriválás : típusú függvények deriválása és a deriválás elvégezhető, vagy és implicit alakban adott függvényként deriváljuk.

7 Magasabbrendű deriváltak
Definíció. Legyen Tegyük fel, hogy , mely esetén létezik az f függvény nel jelölt deriváltja. Azt mondjuk, hogy az f függvény (n + 1)-szer deriválható az a pontban, ha létezik az

8 Függvényvizsgálat Tétel. Legyen , differenciálható az intervallumon. 1./ Ha esetén , akkor f az -n monoton növekedő, 2./ Ha esetén , akkor f az -n monoton csökkenő. Bizonyítás: nincs.

9 Függvényvizsgálat Tétel. Legyen és .
Ha és az függvénynek az a helyen (-, +) előjelváltása (vagy. (+, -) előjelváltása) van, akkor f az a pontban lokális minimumot (maximumot) vesz fel. Bizonyítás: nincs. Megjegyzés A tételt szokás a lokális minimumra (maximumra) vonatkozó elsőrendű, elégséges feltételnek nevezni.

10 Függvényvizsgálat Tétel. Legyen és . Tegyük fel, hogy f kétszer differenciálható az a pontban és , továbbá ; . Ekkor az f az a helyen lokális minimumot (maximumot) vesz fel. Bizonyítás: nincs. Definíció. Legyen I  R. Azt mondjuk, hogy az f : I  R függvény alulról konvex (konkáv), ha   I esetén az és pontokat összekötő egyenes szakasz (húr) egyetlen pontja sincs a függvény grafikonja alatt (fölött).

11 Függvényvizsgálat Tétel. Legyen f: I  R, I  R, f kétszer deriválható I-n. Az f a. cs. a. konvex (konkáv) I-n, ha x  I esetén ( ). Bizonyítás. Nincs Az f –nek az a  I pontban inflexiós pontja van, ha 1./ (szükséges feltétel) 2./ az a környezetében előjelváltó. (elégséges feltétel)

12 Teljes függvényvizsgálat (Függvénydiszkusszió)
A teljes függvényvizsgálat lépései: 1./ Az értelmezési tartomány megadása 2./ Paritás vizsgálat 3./ Határértékek az értelmezési tartomány „szélein” 4./ Zérushelyek 5./ Monotonitás-vizsgálat, lokális szélsőértékek meghatározása 6./ Görbületi jelleg, inflexiós pontok meghatározása 7./ A függvény grafikonjának felvázolása 8./ Az értékkészlet megadása