Üzleti gazdaságtan Andor György.

Üzleti gazdaságtan Andor György

Andor György: Üzleti gazdaságtan
6 Tőkejavak árazódása Tőkejavak árazódási modellje vagy Tőkepiaci árfolyamok modellje Capital Asset Pricing Model CAPM Visszakanyarodunk az idő- és kockázatdiszkontálás témaköréhez Kockázat, kockázatkerülés, biztos hozam-egyenértékes, kockázati hozamprémium stb. 2013 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Mint már korábban megállapítottuk, a hatékonyan árazó tőkepiacon logikus kapcsolat kell legyen a biztos jelenbeli és a kockázatos jövőbeli pénzösszegek között. A befektetők elvárt kamatait (hozamait) az időért és a kockázatért járó prémiumokra bontjuk fel: Kockázatmentes kamat és kockázati hozamprémium E(rRP) „valahogy” a volatilitással függ majd össze, de hogy pontosan hogyan, ennek nem jártunk még a végére. 2013 Andor György: Üzleti gazdaságtan

E(r) rM E(rM) rf σ(r) σ(rM) 2013 Andor György: Üzleti gazdaságtan

6.1 Várható hasznosság modellje
Bernoulli A döntéshozó az egyes kimeneteleket nem a (várható) „matematikai” értékük szerint, hanem a (várható) hasznosságuk szerint súlyozva minősíti. A döntési modellben tehát a várható hasznosság jelenik meg a várható értékkel szemben. Ez a csökkenő határhasznosság elve miatt jelent alapvetően más megközelítést. „A vagyon növekményének hasznossága fordított arányban lesz a már korábban birtokolt javak mennyiségével.” „Figyelembe véve az emberi természetet, úgy vélem, hogy a fenti hipotézis sokakra látszik érvényesnek.” 2014

DANIEL Bernoulli 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Szentpétervári paradoxon
Egy érmét addig dobálunk fel, amíg (például) fejet nem kapunk. A nyeremény összege 2 azon hatványa, ahányadikra sikerült fejet dobnunk. Egy ilyen játék várható értéke (várható nyereménye) végtelen: Az emberek viszont nem hajlandóak e játék lehetőségéért sokat fizetni… Hogyan magyarázná meg mindezt a várható hasznosság modelljével? 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Homo oeconomicusi döntés kockázatos helyzetekben 1) Számba veszi a kockázatos választási lehetőségeket; 2) Meghatározza e kockázatos lehetőségek lehetséges kimeneteleit (Fi) és ezekhez bekövetkezési valószínűségeket (pi) is rendel; 3) Az összevethetőséghez (várható) hasznossági értéket E(U(F)) rendel e kockázatos lehetőségekhez. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

A kockázatos helyzetekben való racionális viselkedéshez viszonylag összetett konzisztencia-követelményeknek kapcsolódnak. Neumann János és Oskar Morgenstern Játékelmélet, 1944 Axiómarendszer 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Axiómarendszer 1) A döntéshozó képes hasznosságuk szerint rangsorolni az egyes lehetséges kimeneteleket. (Összehasonlíthatóság axiómája.) 2) Amennyiben a döntéshozó A-t előnyben részesíti B-vel szemben, valamint B-t C-vel szemben, akkor A-t is előnyben fogja részesíteni C-vel szemben. (Tranzitivitás axiómája.) 3) A fenti A, B és C lehetőségeket tekintve mindig létezik (a legjobb) A-nak és (a legrosszabb) C-nek egy olyan valószínűségekkel súlyozott változata, amely mellett a döntéshozó közömbös lenne e változat és a B kimenet választása között. (Mérhetőség vagy folytonosság axiómája.) 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

4) Amennyiben a döntéshozó A-t előnyben részesíti B-vel szemben, akkor előnyben fogja részesíteni az A p1 valószínűséggel és B (1–p1) valószínűséggel kombinációt az A p2 és B (1–p2) kombinációval szemben, ha p1 > p2. (Monotonitás axiómája.) 5) Az egyes lehetséges kimenetelek hasznosságai és bekövetkezésük valószínűségei egymástól függetlenek kell, hogy legyenek. (Függetlenség axiómája.) Ha ezek teljesülnek, akkor igaz, hogy 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Ritka betegség, 600 áldozat A: 200-at megmentünk B: 33% senki nem hal meg, 67% mindenki meghal (72% az A-ra voksolt) C: 400 meghal D: 33% mindenki túléli, 67% senki sem menekül meg (78% D-t választotta) 5% munkanélküliség ~ 95%-os foglalkoztatottság 40$-os színház jegy A: Korábban megvesszük, de elvesztjük B: Előadás előtt vennénk, de észrevesszük, hogy elvesztettünk 40$-t Az A esetben inkább hazamegy…. Axiómák megséRtése 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Ellsberg- paradoxon Két urna: 1) száz db piros és fekete golyó, ismeretlen arányban 2) száz db piros és fekete golyó, fele-fele arányban Egy urna és egy szín választás, ha talál: 100 €, ha nem: 0 €. A színekkel kapcsolatosan indifferensek voltak, viszont az urnákkal kapcsolatosan nem: többségük ragaszkodott a második urnához. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Szubjektív valószínűség
2014

Bernoulli: „A találgatás művészete” A valószínűség – matematikai értelemben – nagy számban ismétlődő események relatív gyakoriságának határértéke. Laplace: „A valószínűségek analitikai elmélete” Gauss: „Mi a valószínűsége, hogy…” Keynes: „Értekezés a valószínűségről” A közgazdaságtanban a sokszori ismétlődés – legtöbbször – értelmezhetetlen. Kockadobás eredménye vs. zöldmezős beruházás eredménye Jövőre vonatkozó kérdések Ott és akkor körülmények Múltbeli adatok (nem is „ugyanarról”) Jacob Bernoulli Pierre-Simon Laplace Friedrich Gauss Friedrich Gauss M. Keynes 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Szubjektív valószínűség
Amennyire a hasznosság is szubjektív, úgy gyakran a valószínűség is. Az események bekövetkezési valószínűségeit nem mindig tudjuk objektíven meghatározni. Csak ha pontosan ismerjük a valószínűségi szerkezetet. Ha nem, ami egyáltalán nem ritka helyzet, kénytelenek vagyunk „csak” szubjektív valószínűség becslésekre hagyatkozni. Ezek viszont inkább csak az események bekövetkezésével kapcsolatos meggyőződések, „hitek” mértékei, és nem objektív, statisztikai vagy valószínűségelméleti alapú döntési paraméterek. 2014

Térjünk át a kockázatos összegek vizsgálatáról a kockázatos hozamokéra! Vegyük észre, hogy szinte ugyanarról van szó! A kockázatos hozam is a normális eloszlással lesz megragadható. A konstanssal osztás és kivonás nem változtat az eloszlás normalitásán (de a paraméterein természetesen igen). 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

U(r) E(U(r)) rRP rRP rRP r rCE 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

6.2 Kockázatkerülési együttható
Szerkesszük meg „valaki” hozamra vonatkozó hasznosságfüggvényét! A hasznosságértékeknek abszolút értelemben nincs jelentése, így a skálázás tetszőleges. Legyen döntéshozónk induló hasznossága éppen 0! 30% veszteség -100 hasznossági szintet jelentsen! 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

U(r) -30% r -100 2014

Milyen p valószínűség mellett menne éppen bele ez a döntéshozó egy olyan helyzetbe, ahol 30%-ot nyerhet p valószínűséggel és 30%-ot veszthet (1– p) valószínűséggel? 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Legyen ez a p valószínűség (az adott ember esetén) 0,6. Ekkor: Újabb értéket nyertünk tehát: U(30%)=66,7. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

U(r) 66,7 -30% r 30% -100 2014

Ehhez hasonló lépéseket ismételgetve állíthatjuk össze kívánt hasznosságfüggvényünket. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

U(r) 66,7 -30% r 30% -100 2014

Láthatjuk, hogy az egyén kockázatkerülésének erőssége hasznosságfüggvényének görbültségéből fakad. Minél erőteljesebb a csökkenő határhasznosság jelensége (azaz a „görbülés”), annál erőteljesebb lesz a kockázatkerülés. Nézzük meg, hogy milyen paraméterrel lehetne a „görbülést” megragadni! 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Kockázatkerülési együttható Modellezés Olyan speciális alakú hozamra vonatkozó hasznosságfüggvényt kell ehhez feltételeznünk, amely esetén a kockázatos hozamokhoz tartozó kockázati hozamprémium (az adott embernél) csak a hozam szórásnégyzetétől függ (és nem függnek pl. a kockáztatott összeg nagyságától, az egyén pillanatnyi vagyoni állapotától stb.). Egy adott kockázatos hozamhoz (egy adott ember esetén) tehát állandó kockázati hozam-prémium kapcsolódik. Mérőszáma az A kockázatkerülési együttható. Értelmezése: 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

U(r) U(r) rRP rRP rRP r rCE 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

σ2(r) E(r) 2014

σ(r) E(r) 2014

Kockázatkerülési együttható mérése Az egyének kockázatkerülési együtthatója viszonylag jól mérhető. Befektetési megfontolásokkal kapcsolatos felmérésekkel Hipotetikus helyzeteket tartalmazó kérdőívekkel 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Befektetési megfontolások (pl.) Vizsgált egyénünk éppen hezitál a következő kettő között rf kockázatmentes befektetés 2% (reálértelmű) kamatra M paramétereihez hasonló paraméterű (azaz nagyjából átlagos kockázatú) részvényportfólió-befektetés 8% (reálértelmű) várható hozammal és 20% volatilitással. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Kérdőív (pl.) „Tegyük fel, hogy Ön az egyedüli kereső a családban, és egy olyan jó állással rendelkezik, amely a mainak megfelelő fizetést garantál élete végéig. Lehetősége adódik azonban egy hasonlóan jó új állásra, amely 50-50% eséllyel megduplázza éves fizetését vagy a(z) x%-ára csökkenti azt. Milyen x% esetén fogadná el az új állást?” 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Kockázatkerülés kategóriái
x% A Elfogadott csökkentett fizetés (MFt/év) Várható fizetés (MFt/év) % Kockázatkerülés kategóriái 0,0% 0,0 5 0% Extrém alacsony 50,0% 1,0 2,5 6,25 5% Nagyon alacsony 66,7% 2,0 3,34 6,67 17% Alacsony 75,6% 3,0 3,78 6,89 80,0% 3,8 4 7 53% Közepes 84,0% 4,8 4,2 7,1 86,8% 5,8 4,34 7,17 88,8% 6,8 4,44 7,22 90,0% 7,5 4,5 7,25 20% Magas 92,0% 9,3 4,6 7,3 93,5% 11,3 4,68 7,34 3% Nagyon magas 95,0% 14,5 4,75 7,38 2% Extrém magas 2014

A kérdőíves felmérések nagyjából 2–8 körüli kockázatkerülési együtthatót mérnek. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

U(r) A = - 2 A =0 r A =1 A =2 A =4 A =8 2014

σ(r) E(r)

σ(r) E(r) 2014

A-mutató egyéb mérései
A makroszintű, aggregált adatok használata Befektetői magatartás, fogyasztási- megtakarítási adatok, részvénypiaci hozamok és háztartások döntései. Kockázatkerülési együttható: 1-6 A-mutató egyéb mérései 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Hipotetikus tétek - valódi tétek 175 egyesült államokbeli egyetemi hallgató A tétek növelése nem változtatta meg a megkérdezettek kockázatkerülési együtthatóját hipotetikus téteknél. Valódi téteknél viszont növekedtek a kockázatkerülési együtthatók. „Áll az alku?” tv-show-k vizsgálata A résztvevők kockázatkerülési együtthatója nagyjából 1 és 2 közötti volt. A játék korai szakaszában bekövetkezett nagy nyereségek a kockázatkerülési együtthatót csökkentették. A-mutató stabilitása 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

6.3 Hatékony portfóliók tartása
Kockázatkerülés és racionalitás Ha a befektetőknek lehetősége van kockázatuk olyan csökkentésére, ami a várható hozamot nem érinti, akkor – ha ez költségmentes – élni fognak a lehetőséggel. Felvetődik a befektetés diverzifikálásának, megosztásának, azaz a portfóliók kialakításának lehetősége. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Harry Markowitz Műszaki illetve természettudományos alaptanulmányok Közgazdasági tanulmányok és PhD a University of Chicagon Portfolio Selection (PhD-t csak 1955-ben szerzett) Olyan befektetőknek állít össze portfoliókat, akik „a várt hozamot kívánatosnak, a hozadék szórását nemkívánatosnak tartják”. Nobel-díj 1990-ben „Markowitz-modell” 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Egy kis sztochasztika… Egy portfólióban valószínűségi változók összegződnek. Közülük az egyik az i befektetés, amelynek ri a hozama , E(ri) a várható hozama és σ(ri) szórása. A P portfólió n elemből, részből áll. Arra vagyunk kíváncsiak, hogy egy i elem (egy befektetés, egy értékpapír), mennyiben határozza meg egy egész befektetői portfólió hozamának sztochasztikus paramétereit. Az eloszlásokat mind normális eloszlásnak tételezzük fel Ekkor a két paraméter a E(r) várható hozam és a σ(r) hozam szórás. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

E(rj) 2014

σ(r) E(r) 2014

„egyszerű” példa Napszemüveg – esőkabát 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

6.3.1 Kevéselemű portfóliók
Két kockázatos befektetési lehetőség kombinációi i és j i j E(r) [%] 7% 13% σ(r) [%] 18% 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 18% 20% 2014

Három kockázatos befektetési lehetőség kombinációi i, j és k i j k E(r) [%] 7% 13% 9% σ(r) [%] 18% 14% ki,j ki,k kj,k 0,2 0,5 0,3 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 18% 20% 2014

Kockázatdiverzifikáció Markowitz „A diverzifikáció megfigyelhető és érzékelhető, domináns magatartási szabály, amely sem mint hipotézis, sem mint alapelv nem vethető el.” 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

6.3.2 Sokelemű portfóliók Ilyenkor a két szélsőséges eset 1-es korrelációk Teljes függőség 0-ás korrelációk Teljes függetlenség 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Az n elem közötti korreláció 1 Teljes függőség Általános eset n darab „egyforma” rész 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

n 2014

Az n elem közötti korreláció 0 Teljes függetlenség Általános eset n darab „egyforma” rész 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

n 2014

Összefoglalva Egy sokelemű P portfólió szórása együttmozgó részek esetén a részek átlagos szórásához tart, független részek esetén viszont a nullához. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Köztes esetek 0 és 1 között A portfólió szórása az elemszám növelésével nulláig nem, de valamelyest azért csökken. Ilyenkor valamennyit kioltanak a részek egymás ingadozásából, de mivel tendenciózusan egy irányban ingadoznak, ennek határa van. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

n 2014

Az általános szabály Amennyiben nincs teljes függőség, a nagyobb elemszám kisebb szóráshoz vezet. Minél kisebbek a páronkénti korrelációk, annál gyorsabban és annál kisebbre csökken a szórás. Portfólióelmélet alapgondolata Nem csak az egyes elemek szórásával kell foglalkozni, hanem korrelációs kapcsolatrendszerével is. A nagyobb elemszám rendszerint csökkeni a szórást Érdemes portfóliót tartani 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

6.3.3 Portfóliók a „világ összes kockázatos befektetéséből”
A „világ összes kockázatos értékpapírjából” előállítható portfóliók Egy „csomóban” kell, hogy legyenek. Az értékpapírok bármely kombinációjával sem tudjuk a szórást kioltani. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

σ(r) E(r) 2014. ősz

σ(r) E(r) Hatékony portfóliók 2014. ősz

Hatékony portfóliók „Kategóriájuk legjobbjai” Adott kockázati szinten a legmagasabb várható hozamot, adott várható hozamnál a legkisebb kockázatot adják. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

σ(r) E(r) Hatékony portfóliók 2014. ősz

(közel) hatékony portfólió
diverzifikálható kockázat (közel) hatékony portfólió nem diverzifikálható kockázat 2014

6.3.4 Markowitz-féle modell
Diverzifikálni jó! A racionális szereplők ezt fogják csinálni Méghozzá a maximumot kiaknázva, hatékony portfóliókat tartva. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Markowitz-féle modell
E(r)

Markowitz-féle modell értékelése „Forradalmi” Az egyes hatékony portfóliók között nincs különbség: Markowitz csupán „étlapot” kínál. Nem elég egy befektetésnek csupán a várható hozamát és a kockázatát vizsgálni: a portfóliótartás jelensége miatt, annak a többi befektetéshez való viszonya is döntő fontosságú. Egy befektetés tényleges kockázatának érzékelése, megítélése befektetőnként eltérő. Ezért a Markowitz-féle portfólióelmélet gyakorlati alkalmazása szinte reménytelen. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Probléma Markowitz-féle modellel
E(r)

6.4 Piaci portfólió tartása
6.4.1 Sharpe-féle modell Markowitztól tahát annyit tudtunk meg, hogy a kockázat érzékelése a portfólióba való beágyazottság (a korrelációs kapcsolatrendszer) miatt meglehetősen bonyolult. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

William Sharpe University of California at Los Angeles (Business Administration, majd közgazdaságtan) PhD 1961-ben („Single factor model of security prices”) A „ Capital asset pricing model”-t 1962-ben publikálta (1964-ben fogadták el) Egymástól függetlenül publikálták még: John Lintner, Jan Mossin és Jack Treynor. Nobel-díj 1990-ben „Sharpe-modell” 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Sharpe peremfeltételei Tőkepiac Sok befektető van, akik árelfogadók Az adóknak és törvényi szabályozóknak nincs hatása a befektetői preferenciákra Tökéletes az informáltság Nincsenek tranzakciós költségek Befektetők Markowitz-féle portfólió-modellt követik Várakozásaik homogének Befektetési lehetőségek Tőzsdén forgalmazott kockázatos értékpapírok, valamint kockázatmentes befektetés és hitelfelvétel. A kockázatmentes befektetések és hitelfelvételek kamata megegyező és állandó. 2014. ősz Andor György: Üzleti gazdaságtan

Homogén várakozások hipotézise A befektetők azonos módon elemeznek Közgazdasági „világnézetük” azonos Tudásuk azonos, mind tökéletesen informáltak Befektetési várakozásaik megegyeznek Ugyanolyan jövőbeli várható pénzáramlásokra és valószínűség-eloszlásokra számítanak Befektetők „tojáshéja” „ugyanott van” 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

σ(r) E(r)

A kockázatmentes lehetőség bevonásának következménye: 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

σ(r) E(r)

Kombináljuk a kockázatmentes lehetőség bevonását és a homogén várakozások feltételezését! 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Sharpe-féle modell E(r) σ(r) Hatékony portfóliók
„Nem lehet más, mint a piaci portfólió!”

Mivel ismerjük az M portfóliót, már meg tudjuk ragadni a kockázatosságot is… M „nem lehet más, mint a piaci portfólió!” Összefoglalva Minden befektető a kockázatos értékpapírpiac egészének arányait mintázó portfólióban, azaz a piaci portfólióban tartja kockázatos befektetéseit. Ezt kombinálja a kockázatmentes lehetőséggel. Ez a Sharpe-féle modell 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Sharpe-féle modell σ(r) E(r) Hatékony portfóliók

Homogén várakozások sajátos szerepe Ha nem lennének homogén várakozások, akkor nem esnének egybe a befektetők kockázatos portfóliói, így ekkor nem lenne egységesen tartott M piaci portfólió sem. 2014. ősz Andor György: Üzleti gazdaságtan

Markowitz-féle modell Sharpe-féle modell
2014. ősz Andor György: Üzleti gazdaságtan

6.4.2 Tőkepiaci egyenes E(r) σ(r) E(rM) σ(rM) Tőkepiaci egyenes
Piaci portfólió E(rM) σ(rM)

Egyéni választások: Kockázat piaci ára A piaci portfólió (az „átlagos piaci kockázat”) egységnyi szórásra eső Kockázati prémiuma: Fedezeti ügylet 2014. ősz Andor György: Üzleti gazdaságtan

6.5 Tőkepiaci árfolyamok modellje A piaci portfólió tartásának belátásával megnyílik az út az egyes befektetések releváns kockázatának megadására. Ismerjük a portfólió-környezetet, a „zsebet”. Mitől függ, hogy egy i befektetés (értékpapír) kedvező vagy kedvezőtlen? A releváns kockázat független f-től, csak M-től függ, tehát a kockázat érzékelése mindenkinek azonos! 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

E(rj) 2014

σ(r) E(r) 2014

Nézzük előbb intuitív irányból! t r ri ri ri rM ri ri ri 2014. ősz Andor György: Üzleti gazdaságtan

E(rj) 2014

6.5.1 Béta és a karakterisztikus egyenes
rM

rM % ri %

Karakterisztikus egyenes
1 βi rM

2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Karakterisztikus egyenes

(Nem diverzifikálható)
Teljes kockázat Piaci kockázat (Nem diverzifikálható) (Szisztematikus) (Releváns) Egyedi kockázat (Diverzifikálható) (Nem szisztematikus) 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

2014. ősz

t r ri rM

t r rM ri

6.5.2 Értékpapír-piaci egyenes
Beláttuk, hogy a béta… Ha viszont a béta…, akkor a várható hozamok is a béták szerint kell rendeződjenek… Már vannak „pontjaink”: β = 0, rf β = 1, E(rM) 2014. ősz Andor György: Üzleti gazdaságtan

Értékpapír-piaci egyenes
Piaci portfólió 1

Értékpapír-piaci egyenes
β Értékpapír-piaci egyenes β=1 rM

6.5.3 Béták stabilitása Nagy gyakorlati jelentőség Elfogadjuk a stabilitást… 2014. ősz Andor György: Üzleti gazdaságtan

Múltbeli (átlagos) viselkedés Jövőbeli (várható) viselkedés
E(ri) βi Múltbeli (átlagos) viselkedés Jövőbeli (várható) viselkedés Várható = Elvárható = Átlagos 2014. ősz Andor György: Üzleti gazdaságtan

Iparág β Acél (általános) 0,87 Acél (integrált) 0,91 Acél és bányászat 1,01 Alumínium 0,95 Arany / ezüst bányászat Áruszállítás / Bérfuvarozás 0,80 Autó alkatrész gyártás (csere) 0,67 Autó- és (egyéb) gumi Autóalkatrész gyártás (beszállító) Bank (Kanada) 1,20 Bank (USA) 0,99 Bank (USA, Középnyugat) 1,02 Bank (USA-n kívül) 1,52 Befektetési tevékenység (nem USA) 1,44 Befektetési tevékenység (USA) 0,86 Biztosítás (élet) 1,16 Biztosítás (tulajdon / baleset) 1,12 Bútor / lakáskiegészítők 0,72 Cement és adalékanyagok Cipő 0,89 Csomagolás 0,46 Diverzifikált vállalat 0,71 Dohányáru 0,56 Egészségügyi ellátás Egészségügyi információs rendszerek 0,82 Egészséügyi szolgáltatás 0,79 Elektromos készülékek 0,85 Elektromos szolgáltatatás (USA, nyugat) 0,33 Elektromosság szolgáltatatás (USA, kelet) 0,35 Elektromosság szolgáltatatás (USA, közép) 0,32 Elektronika 0,94 Elektronika és szórakoztatás (nem USA) Élelmiszer feldolgozás Élelmiszer kiskereskedés 0,59 Élelmiszer nagykereskedés Energia (kanadai) Építőanyag 0,69 Épület- és jármű kiegészítők gyártása 0,68 Értékpapír forgalmazás 0,84 Étterem Félvezető előállító berendezések 1,91 Félvezetőipar 1,33 Fém feldolgozás 0,74 Földgáz (szállítás) 0,40 Földgáz (vegyes) 0,57 Gépgyártás 0,61 Gyógyszer Gyógyszertár Hajózás 0,42 Háztartási gép Hotel / Szerencsejáték Ingatlanalap Internet 2,07 Ipari szolgáltatás Irodagépek és eszközök 0,66 Kábel TV Kertészeti eszközök Kiskereskedés (építési anyagok) Kiskereskedés (speciális) 1,11 Kiskereskedés (üzlet) Komputer és perifériák 1,14 Komputer és Szoftver 1,08 Kőolaj (integrált) Kőolaj (kitermelés) Környezetvédelm 0,41 Közmű (nem USA) 1,07 Közmű (víz) 0,39 Lakásépítés 0,55 Légifuvarozás Mobil távközlés 1,27 Oktatási szolgáltatás Olajkitermelő szolgáltatások / eszközök Papír és faipar 0,76 Pénzügyi szolgáltatás Pipere- és kozmetikai cikkek 1,15 Precíziós műszer Reklám 1,45 Repülés / Honvédelem 1,17 Sajtó Személy- és tehergépjármű 1,24 Szeszesital 0,64 Szórakoztatóipar 1,19 Takarékpénztár Telekomminkációs szolgáltatás 1,38 Telekommunikáció (nem USA) 1,35 Telekommunikációs eszközök 1,39 Terjesztés 1,04 Textil (ruhaipar) 0,62 Üdítőital 1,03 Üdültetés 1,22 Vasút Vegyipar (alap) Vegyipar (speciális) 0,92 Vegyipar (vegyes) 0,98 2014. ősz Andor György: Üzleti gazdaságtan

6.5.4 CAPM tesztjei és továbbfejlesztései
A modell adta előrejelzések és a valós árak viszonya. Abból indulunk ki, hogy a várakozások átlagosan és összességükben helyesek voltak. Ekkor a hosszabb idő alatti valós adatoknak közelíteni kell a (korábbi) várakozásokhoz (stabil béták, idő- és kockázatdiszkontok esetén). 2014. ősz Andor György: Üzleti gazdaságtan

CAPM tesztelésének menete Kijelölünk egy időszakot (mondjuk adott öt évet), és véletlenszerűen kiválasztunk „jó sok” (mondjuk száz) értékpapírt. Egyenként meghatározzuk az értékpapírok bétáit, valamint átlagos éves hozamait. Az eredményeket béta – átlagos hozam koordináták szerint ábrázoljuk. 2014. ősz Andor György: Üzleti gazdaságtan

2014. ősz Andor György: Üzleti gazdaságtan

A CAPM „elég jó”… Különösen annak a fényében, hogy a modell mögött milyen erős feltételezések állnak. Eltérések magyarázatai 1) A CAPM valójában érvényes, csak a piaci portfólió megragadásával vannak problémák. Nem megfelelő az M-et reprezentáló index. 2) Olyan tőkepiaci tökéletlenségek lépnek fel, amik a CAPM-et irreálissá teszik. Pl. hitelfelvételi költségek és korlátok, adótorzítások stb. 3) Egyéb befektetői szempontok, faktorok is vannak, nem csak a β. 2014. ősz Andor György: Üzleti gazdaságtan

Fogyasztási CAPM A standard CAPM arra épít, hogy a befektetésből nyert összegeket fordítják fogyasztásra. A fogyasztási CAPM-nél egy-egy befektetés és a fogyasztás (és nem az M) viszonyát tekintik. Itt nem a piaci portfólióval való sztochasztikus kapcsolatot nézik, hanem a fogyasztással valót. A fogyasztási CAPM-hez kapcsolódó fogyasztási béta nem a piaci portfólió, hanem – közelítésként – az aggregált fogyasztás ingadozásával való kapcsolatra épül: 2014. ősz Andor György: Üzleti gazdaságtan

Többfaktor-modellek A CAPM egyfaktor-modell Híresebb többfaktor-modellek Arbitrált árfolyamok modellje Makroökonómiai faktorok (GDP, infláció, kamatlábváltozás stb.) β1, β2, β3… Fama- és French-féle háromfaktor-modell SMB mérettényező HML könyv szerinti érték–piaci érték tényező 2014. ősz Andor György: Üzleti gazdaságtan

6.6 Portfóliómenedzsment és CAPM
passzív portfóliómenedzselés aktív portfóliómenedzselés 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

6.6.1. Passzív portfóliómenedzsment alapjai
Tőkepiaci hatékonyság kérdése dönti el Tökéletes tőkepiaci hatékonyság esetén, és elfogadva a Sharpe-féle egyszerűsítő feltételeket, a passzív portfóliómenedzsment gyakorlati formája az M piaci portfólió és f kockázatmentes lehetőség kombinációja. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

σ(r) E(r)

6.6.2. Aktív portfóliómenedzsment alapjai
Vállalva az ezzel járó többletköltségeket, alul- illetve felülárazott helyzeteket kutatnak fel, a passzív stratégia „legyőzését” remélve. A cél: A tőkepiacinál meredekebb tőkeallokációs egyenes Az M-nél adódónál jobb Sharpe-mutató Az M-nél adódónál jobb Treynor-mutató Pozitív Jensen-alfa 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

E(r) Tőkeallokációs egyenes Tőkepiaci egyenes 2014
Andor György: Üzleti gazdaságtan

E(r) β Értékpapír-piaci egyenes 1 2014
Andor György: Üzleti gazdaságtan

Aktív portfóliómenedzselés egyik lehetősége: a piaci időzítés Egyes értékpapírokba, vagy akár az egész kockázatos portfólióba való befektetés időzítése Mielőtt a piac visszaesne, a kockázatos lehetőségeket kockázatmentes lehetőségbe tereljük át (és fordítva). 2013 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Az M és az f közötti „pakolgatás” 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Aktív portfóliómenedzselés további két lehetősége: Piac által túlárazott („kis várható hozamú") értékpapírok portfólióban lévő súlyának csökkentése. Piac által alulárazott („nagy várható hozamú”) értékpapírok portfólióban lévő súlyának növelése. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

6.6.3. Treynor-Black-modell
Ha az alulárazott értékpapírok súlyát növeljük, a szerkezeti változtatással veszítünk a portfólió diverzifikáltságából. Nő a várható hozam, de nő a szórás is! Még rosszul is járhatunk… Ezt az optimalizációs problémát oldja meg a Treynor– Black-modell Kimarad, a számonkért anyagnak sem része… 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Portfólió alapműveletek viszont kellenek … „Sima” számtani átlag: E(r), α, β Négyzetösszeg: σ(ε) Egyéb összefüggések: 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

7 Vállalati pénzügyek alapjai
Kiinduló feltételezések Részvényesi érték maximalizálása Részvényesi (várható) szabad (vagy nettó) pénzáramlások vizsgálata Minden adó után Piaci portfóliót tartó részvényesek Vagyonuknak csak kis részét tartják egy-egy vállalatban A piaci portfólió a diverzifikálási környezet 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

7.1 Osztalékközömbösség A részvényes osztalékhoz és árfolyamnyereséghez juthat Hatékony piaci árazást tekintve az árfolyamokat a jövőbeli osztalékok jelenértékeként ragadjuk meg, így elég csak az osztalékokkal foglalkoznunk. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Osztalékközömbösség: a részvényesi érték szempontjából az osztalékfizetési döntések közömbösek Közömbös, hogy mikor fizetik ki a vállalat szabad pénzáramlásait. Azaz, az osztalékfizetés ütemezése közömbös. Másként: A részvényes vagyoni helyzete semmit sem változik osztalékfizetéskor ahhoz képest, mintha nem lett volna osztalékfizetés, illetve ha az osztalékfizetés kevesebb vagy több lett volna. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Osztalékközömbösség fennállásának feltételei: Részvényesi érdek tökéletesen képviselt Nincsenek tranzakciós költségek Hatékony a tőkepiac Torzításmentes az adórendszer Részvényesi érték – vállalati érték 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

A szabad (vagy nettó) pénzáramlások vajon azonosak az (adózás utáni) osztalékokkal? Furcsa válasz: általában nem, azonban értékük, PV-jük, NPV-jük igen: 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

7.2 Finanszírozás-közömbösség
Alapkérdés: Milyen hatása van a részvényesek vagyoni helyzetére, ha egy vállalat megváltoztatja finanszírozási hátterét, tőkeszerkezetét! Csak két alapvető forrás Részvény: E részvényesi tőke Hitel (kötvény): D hitelezői tőke Ezek várható hozamának (kamatának), kockázatának és értékének változását követjük végig. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Induljunk ki abból, hogy a vállalat üzleti tevékenysége során megtermelt profitok a részvényeseket és a hitelezőket illetik. A vállalat üzleti tevékenységét az eszközök működtetése jelenti. Ez Fn pénzáramlásokat hoz (még a kamatok előtt). Ezek a vállalati szabad (vagy nettó) pénzáramlások. Az így értelmezett üzleti tevékenység értéke V Ez a vállalati eszközök értéke Ezen osztozkodnak a részvényesek és a hitelezők: 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

A tőkepiaci árazódásról…
Ez az „érték”, az árfolyam, itt a V, az E vagy a D Ezek az Fn (szabad vagy nettó) pénzáramlások Az NPV akkor nulla, ha a várható hozam (IRR, E(r)) éppen azonos a (kockázatossághoz, β-hoz illeszkedő) tőkeköltséggel Azaz, úgy alakul az érték (az „árfolyam”, P, V, E vagy D), hogy E(r) (illetve E(rV), E(rE), E(rD)) a CAPM szerint igazodjon a β- hoz (βV-hez, βE-hez, βD-hez). 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

A tőkeszerkezetet a D/E-vel, a tőkeáttétellel jellemezzük. Ezt a vállalatok szabadon alakíthatják. Pl. osztalékfizetéssel illetve részvénykibocsátással-visszavásárlással, valamint hitelfelvétellel vagy hitelvisszafizetéssel. A vállalat üzleti tevékenység semmilyen tekintetben nem függ működési forrásainak szerkezetétől. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

V D E 1 D/E 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

β βV 1 D/E 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

E(r) E(rV) 1 D/E 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

E(r) rV rf β

7.2.1 Tökéletes hitelpiac feltételezése
Gondoljuk végig a következő egyszerű példát! A vizsgált vállalati projekt legyen egy év időtartamú. Épüljön valamilyen üzleti projektre, valamilyen üzemre, berendezésre, szabadalomra, szerzői jogra stb. Beruházás F0, ami E(F1) nettó pénzáramlást hoz egy év múlva. A projekt megvalósítása részvényesi és hitelezői forrásokból történik. A projekt indulásához a részvényesek F0E, a hitelezők az F0D összeggel járulnak hozzá. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

A hitelt vissza kell fizetni… Maradék a részvényeseké… 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Elindul a projekt, mennyit ér V, D és E? 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Most ugorjunk egy pillanattal korábbra! 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Kapcsoljuk be a tökéletes hitelpiac feltételezését! 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Beruházási és finanszírozási döntések elválasztása: 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

A pénzügyekben nagyon lényeges, hogy magabiztosan mozogjunk az egyes időpontok, illetve az egyes piacok tökéletességi kérdései között. Még a projekt ötlete előtt, amikor a részvényeseknek még se pénzük, se ötletük nem volt, E nyilván nullát ért. Jött az ötlet: egy NPV értékű projektötlet. Ez a részvényesek tulajdona volt, így E, ami egyelőre csak valami szellemi termék féle dolog értéke lehetett. (Tökételes piacon) hitelt vettek fel, és ebből (piaci értékelés mellett) megvalósították a projektet. A részvénypiac pedig hatékony volt, ezen árazódott E. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

7.2.2 Hitelek kockázata, várható hozama és árfolyama a tőkeáttétel függvényében Hatékonyan árazó, tökéletes hitelpiacot tételezünk fel A hitelekért elvárt kamat (hozam) a hitelek kockázatához, a βD-hez igazodik. Ez alacsony D/E-nél nulla kell, hogy legyen Mert ilyenkor még van kellő vállalati fedezet… Magasabb, növekvő D/E-nél tőkeáttétel esetén viszont a hitelek egyre kockázatosabbá válnak, bétájuk nőni kezd. A hitelkamat – a CAPM szerint – ehhez fog illeszkedni. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

E(rD) 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

rD rV D/E=1,1 rf rD D/E=0,8 D/E=0 βD 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Figyelem! Az értékpapír-piaci egyenes egyensúlyi helyzeteket ad meg, így itt az árak nem változnak. Az ezen való elmozdulás nem jelent árváltozást! Ahogy nő D kockázata, úgy nő a (várható) kamata (hozama), így végül az értéke nem változik. Vigyázzunk, D és egy egységének PD-je mást jelent! Miközben D nő (és így a D/E arány is), PD, azaz a hitelek egységének „árfolyama” nem változik. A hitelnyújtás NPV-je nulla, tehát az üzleti tevékenység NPV- je a részvényeseké, E-nek része. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

7.2.3 Részvények kockázata, várható hozama és árfolyama a tőkeáttétel függvényében A hitelarány növekedésével egyre nagyobb D súllyal szerepelnek az olyan „tulajdonosok”, akik a vállalat üzleti tevékenységének E(rV) várható hozamából kisebbel részesülnek (E(rD) < E(rV)), mivel a kockázatból is kevesebbet kívánnak vállalni (βD < βV). Ezek a kockázati és várható hozam részek „átvándorolnak” a részvényesekhez. A D/E függvényében a részvények kockázata és várható hozama is folyamatosan növekszik… Ezt a jelenséget nevezzük tőke-áttételeződésnek. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

E és D kockázatának és várható hozamának súlyozott átlagaként kell adódjon. Hozam-megmaradás és kockázat-megmaradás törvények 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

E(rV) E(rD) 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

rE rV rE D/E=1,0 D/E=0,5 D/E=0 rf βE 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Mivel az értékpapír-piaci egyenesen (egyensúlyban) történnek az elmozdulások (se PD, se) PE nem változik! 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

7.2.4 Miller-Modigliani tételek Miller-Modigliani I. tétel A vállalat hitel (kötvény) – részvény (D/E) arányának megváltozása nincs hatással a részvények értékére. A részvények értéke finanszírozási döntésekkel nem megváltoztatható. A beruházási és finanszírozási döntések elválaszthatók. Miller-Modigliani II. tétel A vállalat hitel (kötvény) – részvény (D/E) arányának növekedésével nő a vállalat részvényeinek kockázata és várható hozama. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

7.3 Függetlenségi tételek és a minivállalat megközelítés
7.3.1 Pénzáramlások függetlensége Az osztalékközömbösség miatt, éppenséggel lehetne úgy is működni, hogy az éves szabad pénzáramlásokat azonnal kifizetik osztalékként. Ez bizonyára nincs így, de ez a részlet az értéket nem befolyásolja, így az értéket meghatározhatjuk akár ilyen szemlélettel is. Ennek jelentős elemzési előnyei vannak. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Így tekintve minden újabb projektet a részvényesektől újonnan bevont tőkéből valósítanak meg, majd később az adott projektből fakadó nettó pénzáramlásokat azonnal kifizetik osztalékként. E megközelítéssel egy-egy üzleti projektről való döntéskor annak költségei és bevételei nem keverednek össze más vállalati projektek költségeivel és bevételeivel. Ez a pénzáramlások függetlenségének elve. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

A B C D

Üzleti projekt Vele-nélküle elv 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

7.3.2 Tőkeköltségek függetlensége Megközelítésünk alappillére a CAPM elfogadása A részvényesek az adott vállalat részvényeit a piaci portfólió részeként tartják. E megközelítés következménye A részvényesek minden („kicsi”) portfóliórésze ugyanabba a portfólió-környezetbe – a piaci portfólióba – kerül. Az egyes portfóliórészek kockázatosságának egymásra hatása nem lényeges, a fontos csak a piaci portfólió egészéhez való viszony. Ezt a viszonyt ragadja meg a β. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

A M B C D

Az egyes vállalati üzleti projektek releváns kockázatai tehát nem egymástól, hanem csak a piaci portfólióval való viszonyuktól függnek. Ez a tőkeköltségek függetlenségének elve. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Amennyiben kevés elemű portfóliót tartó tulajdonossal, részvényessel van dolgunk, akkor a tőkeköltségek függetlenségi elve érvényét veszti. Ekkor nem „esnek ki” teljesen az egyedi részek, nem válnak érdektelenné a páronkénti korrelációk, a páronkénti diverzifikációk. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

7.3.3 Vállalat, mint minivállalatok összessége Minivállalat megközelítés Egy vállalati projekt „úgy viselkedik”, mint egy önálló vállalat Indításakor új részvényesi tőkét vonnak be Szabad pénzáramlásait kifizetik a tulajdonosoknak Kockázatossága, így tőkeköltsége sem köti a vállalat többi projektjéhez. (Néha valóban projekttársaságokat is alapítanak.) A vállalatokat – pénzügyileg – egymástól független minivállalatok összegződéseként fogjuk fel. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Mivel a minivállalatoknak egymástól független pénzáramlásai és tőkeköltségei vannak, így nyilván értékeik is függetlenek egymástól. Azaz értékeik összeadhatók. Ez az értékek összeadhatósági (vagy függetlenségi) elve. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

7.4 Részvények árfolyama 7.4.1 Futó projektek és növekedési lehetőségek A vállalatot képzeljük el úgy, hogy minivállalatai „termelik a pénzt”, amit osztalékként rendszeresen ki is osztanak. Vannak ehhez hasonlóan működők is, ezek az osztalékorientáltak. Sok vállalatnál azonban a növekedés a döntő, ezek a növekedésorientáltak. „Visszaforgatás” 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Az „újabb jól jövedelmező üzletek” akár még nem is léteznek, de várható profitjaik már előre beépülnek az árfolyamokba. J darab jelenleg futó projekt: értékük PVJ K darab „ötlet”, „ötlet esély”: értékük NPVK illetve PVGO Növekedési lehetőségek jelenértéke (present value of growth opportunities) 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

7.4.2 NPV-k beépülése Hatékony tőkepiac Tökéletes tőkepiaci árazás Normál hozam CAPM szerint Abnormális hozam A várható hozam egyenlő a normál hozammal 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Hatékony tőkepiac esetén Ha a vállalat egy pozitív NPV-jű projektre bukkan, akkor annak értéke (hatékonyan árazó piacon) meg kell jelenjen az árfolyamban. Na, de mikor? Amikor a várakozások megszülettek… Amikor ezek változnak, akkor változik az árfolyam is Ki kapja a „profitot”? „Az éppen aktuális részvényesek” 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

7.5 Pénzáramlások meghatározása
7.5.1 Pénzáramlások meghatározásához kapcsolódó kiinduló feltételezések Az üzleti projektnek (az „eszköznek”) vagy a részvényeseknek a pénzáramlásait kell tekintsük? A finanszírozás-függetlenség alapján a két megközelítéssel kapott NPV azonos Pénzáramlások és tőkeköltségek harmonizálása! Infláció figyelembevétele 2014

A vállalati pénzügyek alapesetben az üzleti tevékenység pénzáramlásaira koncentrál. Finanszírozás-közömbösségre építve, tökéletesen árazott hiteleket feltételezve. Átmeneti megoldás a WACC használata E(rD) a tényleges hitelkamat E(rE) a részvények CAPM szerinti tőkeköltsége A D/E arány állandó 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Osztalékközömbösséggel: Összefoglalva Amennyiben építhetünk az osztalékközömbösségre és a finanszírozás- közömbösségre is: 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

A kockázat és a várható pénzáramlások elválasztása elve Tőkeköltség (béta) és várható pénzáramlások Minivállalat megközelítéssel Pénzáramlások függetlenségi elve, tőkeköltségek függetlenségi elve, értékek összeadhatósági (vagy függetlenségi) elve alapján 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Pénzáramlás-becslési alapelvek Éves pénzáramlások, vele-nélküle elvet követve, minden adó utáni értelemben A pénzáramlások és a tőkeköltségek harmonizálásának elvét követve Rendszerint infláció nélküli Az elkerülhetetlen (elsüllyedt) bevételeket és költségeket nem figyelembe véve, de a származékos bevételekre is gondolva. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

7.5.2 Mikroökonómiai elemzések és egy adott év nettó pénzáramlása
A mikroökonómiai szemléletű πn éves profitok a vállalati pénzügyek Fn éves várható pénzáramlásainak felelnek meg. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Mikroökonómiai alapok alkalmazása Üzleti projektre, minivállalatra A mikroökonómiai szemlélet alapján levonható tanulságokat hasznosítjuk a vállalati pénzügyi elemzéseknél. Nem tárgyaljuk, a számonkért tananyagnak nem része. 2014 Andor György: Üzleti gazdaságtan

Üzleti gazdaságtan Andor György.

Hasonló előadás

Az előadások a következő témára: "Üzleti gazdaságtan Andor György."— Előadás másolata:

Hasonló előadás

Projectumról

Visszajelzés

Bejelentkezés

A társadalmi hálózaton keresztül belépni:

Üzleti gazdaságtan Andor György.

Hasonló előadás

Az előadások a következő témára: "Üzleti gazdaságtan Andor György."— Előadás másolata:

Hasonló előadás

Projectumról

Visszajelzés