IV.5. Állandó volatilitású, időben független hozam feltételezése

Az előadások a következő témára: "IV.5. Állandó volatilitású, időben független hozam feltételezése"— Előadás másolata:

1 IV.5. Állandó volatilitású, időben független hozam feltételezése
25 IV.5. Állandó volatilitású, időben független hozam feltételezése A részvényárfolyamok ingadozásának kérdése már jóval bonyolultabb. Az árfolyamok ingadozását a (normális eloszlású) hozam σ(r) szórásából származtatjuk. 2016. ősz Befektetések

2 Azonos normális eloszlásúak összege:
26 Azonos normális eloszlásúak összege: Összeg várható értéke: Összeg szórása: Ez már a korrelációs kapcsolatoktól is függ Csak két esetet vizsgálunk: ki,j=1 és ki,j=0 Általános képlet két elemre Általános képlet n elemre 2016. ősz Befektetések

3 26-27 Két elemnél: n elemnél: 2016. ősz Befektetések

4 PT lognormális eloszlású Ábrázoljuk!
27 Legyenek az r1, r2, …, rn hozamok egy P0-ból PT-be tartó árfolyam n darab ti (azonos hosszúságú) időszakai alatti azonos normális eloszlás szerint alakuló hozamai! T=nti Első megközelítésként legyen ki,j=1, azaz a tagok tökéletesen függjenek egymástól. Ekkor PT PT lognormális eloszlású Ábrázoljuk! 2016. ősz Befektetések

5 27 ri 1 2 3 n=4 ri1 ri2 E(ri) ri3 n, T 2016. ősz Befektetések

6 28 4ri n, T 3ri nr1 2ri nr2 1ri nE(ri) nr3 2016. ősz Befektetések

7 28 P0 Pi 1 2 3 4 n, T P1 P2 P3 2016. ősz Befektetések

8 Adja meg annak a P0=100 árfolyamú befektetésnek az n=9 év múlvai hozamát és árfolyamát (mint valószínűségi változót), amelynek egymástól tökéletesen függő normális eloszlású éves (azonos) hozamainak a következők a paraméterei: E(ri)=12%, σ(ri)=20% 2016. ősz Befektetések

9 29 Most nézzük a ki,j=0 esetet, tehát azt, amikor a tagok tökéletesen függetlenek egymástól. ri 1 2 3 n=4 E(ri) n, T 2016. ősz Befektetések

10 29 n, T nE(ri) 4ri 3ri 2ri 1ri 2016. ősz Befektetések

11 30 1 2 3 4 P0 n, T Pi 2016. ősz Befektetések

12 30 1 P0 2 3 4 n, T Pi 2016. ősz Befektetések

13 Adja meg annak a P0=100 árfolyamú részvények az n=9 év múlvai hozamát és árfolyamát (mint valószínűségi változót), amelynek egymástól tökéletesen független normális eloszlású éves (azonos) hozamainak a következők a paraméterei: E(ri)=12%, σ(ri)=20% ! Milyen sávban lesz 95,45% valószínűséggel a fenti részvény hozama és árfolyama 9 év múlva? 2016. ősz Befektetések

14 Folytonossá tétel Végtelen kis változások végtelen összegződése
31 Folytonossá tétel Végtelen kis változások végtelen összegződése n helyett T szükségünk van egy időegység kijelölésére Év E(ri) helyett a folyamatos kamatozású E(rc) σ(ri) helyett a σ(rc) egységnyi időre (egy évre) vonatkoztatva Ez a volatilitás 2016. ősz Befektetések

15 Most térjünk vissza árfolyammodellünkhöz.
31 Most térjünk vissza árfolyammodellünkhöz. A hozam várható értékének állandóságáról már szóltunk. Most a hozam szórásának (a volatilitásnak) az állandóságát látjuk be. Úgy tekintjük, hogy a hozamokat a várhatótól eltérítő (azaz a „szórást okozó”) új információk érkezése olyan normális eloszlású valószínűségi változóval ragadható meg, amelynek várható értéke éppen nulla, A „jó” és a „rossz” hírek azonos esélyűek. szórása pedig állandó Az információk véletlensége állandó. 2016. ősz Befektetések

16 Sőt, ez bármely kis időszakaszokra érvényes.
31 Modellünk tartalmazott még egy fontos kitételt, az emlékezetnélküliséget: Sőt, ez bármely kis időszakaszokra érvényes. Ez a tőkepiaccal kapcsolatos eddigi feltételezéseinkből következik. Az állandó várható hozam feltételezésénél arra építettünk, hogy a piac végtelen gyorsan és pontosan reagál a véletlenül érkező új információkra. De, ha a véletlenül érkező információkra végtelen gyorsak a reakciók, akkor az ezeket követő új információkra való reakciók független kell legyenek az előzőektől. 2016. ősz Befektetések

17 32 Volatilitás becslése Amennyiben az egyes időegységek hozamalakulásai függetlenek egymástól, T időszakot szemlélve a szórás Nézzük ezután meg, hogy miként becsülhetnénk meg a volatilitást múltbeli adatokból! Tekintsük a 0, 1, 2, …, n időpontban az azonos t távolságokra lévő árfolyamadatokat! (t években kifejezett, de nem feltétlenül éves hosszúságú.) Először számítsuk ki az egyes szakaszok hozamait! rct,i folytonos hozamok a t időszak alatti változásokat mutatják éves értelemben! 2016. ősz Befektetések

18 Majd helyettesítsünk be az általános képletbe:
32 Miután megvagyunk a „kis t-k alatti” hozamokkal, számítsuk ki ezek szórását! Majd helyettesítsünk be az általános képletbe: 2016. ősz Befektetések

19 Becsülje meg a t=0,5év hosszúságú időszakok végén a következő árfolyamadatokat mutató értékpapír volatilitását! P0=100; P1=110,517; P2=90,484; P3=105,127; P4=122,14 2016. ősz Befektetések

20 Tekintsük át az eddigi tudásunk birtokában a tőzsdei hozamokat!
2016. ősz Befektetések

21 rT E(rc)T T 1 2016. ősz Befektetések

22 Szigma-szabályok A várható érték körül 2, 4, 6 stb. szórásnyi tartományban mekkora valószínűséggel helyezkednek el a adatok: ±1σ sávban (-1,25% - +1,25%) az adatok 68,27%-a ±2σ sávban (-2,5% - +2,5%) az adatok 95,45%-a Átlagosan havonta egy napon ±3σ sávban (-3,75% - +3,75%) az adatok 99,73%-a Átlagosan másfél évenként egy napon ±4σ sávban (-5% - +5%) az adatok 99,9937%-a Átlagosan 63 évenként 1 napon ±5σ sávban (-6,25% - +6,25%) az adatok 99,999943%-a Átlagosan 7000 évenként 1 nap -1σ -2σ -3σ -4σ -5σ 5σ 4σ 3σ 2σ 1σ 2016. ősz Befektetések

23 2016. ősz Befektetések

24 2016. ősz Befektetések

25 Tények ±5σ sávban az átlagosan 7000 év helyett évente.
Vastag farkú (fat tail) eloszlások A hozamok emlékezetnélküliek, de a volatilitások nem. A hozamok nem korrelálnak, de a hozamnégyzetek igen. Hosszú ideig kicsi volatilitás, majd a piac „felbolydul” (nagy árfolyamváltozások), és jellegzetesen nagyobb volatilitású időszak következik. (Az ok nem teljesen tisztázott.) -1σ -2σ -3σ -4σ -5σ 5σ 4σ 3σ 2σ 1σ 2016. ősz Befektetések

26 IV.6. Tökéletes árazású árfolyamok
33-34 IV.6. Tökéletes árazású árfolyamok Tökéletesen árazó tőkepiac Egységesen informált, racionális befektetők, tranzakciós költségek nélküli, végtelen gyors reakciói. A befektetések állandó kockázatosságai (bétái) miatt állandó hozamelvárások. Az új információk („hírek”) nulla várható értéke és időben állandó szórása miatt állandó volatilitás és időbeli függetlenség („emlékezetnélküliséget”). 2016. ősz Befektetések

27 Egy kis tőkepiaci árfolyamok modellezése történelem…
Robert Brown: „Az év június, július és augusztus hónapjaiban a növényi virágporokban rejlő partikulák mikroszkopikus megfigyelésének rövid taglalatja” 1860. James Maxwell: Daniel Bernoulli jól gondolta, a gázok tulajdonságai az atomi mozgásokkal magyarázhatók. Ez megmagyarázza a Brown-mozgást is. 1900. Louis Bachelier: „Théorie de la Speculation”. 1912. Albert Einstein: A Brown-mozgás matematikai háttere. 1965. Fama és Samuelson: „Tőzsdei árfolyamok viselkedése” 2016. ősz Befektetések

28 Sztochasztikus folyamatok
33-34 Sztochasztikus folyamatok Bolyongó mozgás, folyamat Brown-mozgás Hozam: aritmetikai Brown-mozgás Árfolyam: geometriai Brown-mozgás Wiener-folyamat Markov-folyamat Ito-folyamat E folyamatok jellegzetessége tehát, hogy t időszakonként egymástól független normális eloszlások véletlen értékei szerint „ugrál” a hozam. 2016. ősz Befektetések