Felvételi – A, V. Kockákból építkezünk 2005 / M2 Az ábrán látható háromszor hármas táblára olyan kockákat helyeztünk, amelyeknek a lapjai egybevágóak.

Az előadások a következő témára: "Felvételi – A, V. Kockákból építkezünk 2005 / M2 Az ábrán látható háromszor hármas táblára olyan kockákat helyeztünk, amelyeknek a lapjai egybevágóak."— Előadás másolata:

1 Felvételi – A, V

2 Kockákból építkezünk

3 2005 / M2 Az ábrán látható háromszor hármas táblára olyan kockákat helyeztünk, amelyeknek a lapjai egybevágóak a tábla mezőivel. A táblát felülnézetben láthatod, az egyes mezőkben szereplő számok azt jelentik, hogy az adott mezőn hány kockát tettünk egymásra. a) Rajzold le az építmény bal oldali nézetét! b) Rajzold le az építmény elölnézetét! c) Ha a kockák élhosszúsága 2 cm, mekkora az építmény térfogata?............... d) Maximum hány darab kockát lehet elvenni úgy, hogy az építménynek se a bal oldali, se az elölnézete ne változzon?.......

4 a)b) c) 1 kiskocka térfogata V=a∙a∙a= 2 ∙ 2 ∙ 2=8 cm 3 Az építmény 11 kiskockából áll, ezért térfogata V = 11 ∙ 8 = 88 cm 3 d) Maximum 3-at. A két bekarikázott, plusz a jobb széléről az egyiket.

5 2006 / M1 Egy négyzetes oszlop éleinek mérete 3, 3 és 4 egység. Az oszlopot befestettük barnára. Ezután a lapokkal párhuzamos vágásokkal egységkockákra daraboltuk. Hány darab olyan kiskockát kaptunk,... a)... amelynek pontosan három lapja barna? b)... amelynek pontosan két lapja barna? c)... amelynek pontosan egy lapja barna? d)... amelynek nincs barna lapja?

6 3 lapja barna: a csúcsoknál lévő kiskockák (kékkek jelölve): 8 db 2 lapja barna: az élek közepén lévő kiskockák (pirossal jelölve) fent 4 oldalt 8 lent 4 összesen 16 db 1 lapja barna: a lapok közepén lévő kockák (zölddel jelölve) fent 1 oldalt 8 lent 1 összesen 10 db 0 lapja barna: eddig volt: 8+16+10=34 Összesen van 3∙3∙4=36 Üresen maradt 36-34 = 2 db

7 2006 / M2 Egységkockákból összeraktunk egy három egységnyi élű kockát. Az így kapott nagykockának hogyan és hány egységgel változik a térfogata és a felszíne, ha... a)... két sarkából elveszünk egy-egy kiskockát? térfogat:..........felszín:............... b)... az egyik lap közepéből elveszünk egy kiskockát? térfogat:......... felszín:......... c)... az egyik sarokból és egy ehhez nem kapcsolódó él közepéből elveszünk egy-egy kiskockát? térfogat:........ felszín:..........

8 a)... két sarkából elveszünk egy-egy kiskockát? térfogat: csökken 1-gyel (1 kiskockát elvettünk) felszín: nem változik (3 négyzetlapnyi eltűnik - kék, 3 négyzetlapnyi megjelenik - piros) b)... az egyik lap közepéből elveszünk egy kiskockát? térfogat: csökken 1-gyel (1 kiskockát elvettünk) felszín: nő 4-gyel (1 négyzetlapnyi eltűnik - kék, 5 négyzetlapnyi megjelenik - piros) c)... az egyik sarokból és egy ehhez nem kapcsolódó él közepéből elveszünk egy-egy kiskockát? térfogat: csökken 2-vel (2 kiskockát elvettünk) felszín: nő 2-vel (A saroknál nem változott –’a’ rész, az él közepénél 2 eltűnik - kék, 4 megjelenik - piros)

9 2011 / M2 27 darab, 1 cm élhosszúságú kis kockából építettünk egy nagy kockát, majd néhány kis kockát elvéve az ábrán látható testet kaptuk. Az alsó réteg minden kockája a helyén maradt. a) Készítsd el az ábrán látható test oldalnézetét a nyíllal megadott oldalról a megfelelő négyzetek besatírozásával! b) A nagy kockából az 1 cm élű kis kockák számának hányad részét kellett elvenni, hogy az ábrán látható testet kapjuk? c) Mekkora az ábrán látható test felszíne? + Mekkora az ábrán látható test térfogata?

10 a,

11 2013 / M1 Egy nagy, tömör kockát állítottunk össze 27 darab 1 dm élhosszúságú kockából, majd az ábrán látható módon a felső rétegben lévő kockák közül elvettünk néhányat. a) Hány dm 3 az így kapott test térfogata? b) Hány dm 2 az így kapott test felszíne? Írd le a számolás menetét is!

12 Felszíne: ahány négyzetlap, annyi dm 2. Alulról, felülről (piros) 9 – 9 dm 2. Oldalról körben az alsó 2 sor (zöld) 24 dm 2 Fenti kis négyzeteknek körben 4-4 oldala látszik, összesen 16 dm 2 A test felszíne: 9+9+24+16=58 dm 2 Térfogata: ahány kiskocka annyi dm 3. Nagy kocka 3∙3∙3= 27 kocka, elvettünk 5-öt, vagyis a test 22 kiskockából áll, a atérfogata 22 dm 3.

13 Kocka, téglatest, négyzetes hasáb

14 2007 / M1 Egy 2 cm élhosszúságú tömör kockának az egyik sarkából kivágtunk egy 1 cm élhosszúságú kockát. a) A keletkezett testnek hány éle van? ……….. b) A keletkezett testnek hány lapja van? ……….. c) Hány cm 3 a keletkezett test térfogata? ……….. d) Hány cm 2 a keletkezett test felszíne? ………..

15 a)Az eredeti kocka mind a 12 éle megmaradt (csak némelyik rövidebb lett) + keletkezett 9 új él (piros). A testnek 21 éle van. b)Az eredeti kocka mind a 6 lapja megmaradt (csak némelyik kisebb lett) + keletkezett 3 új lap (kék). A testnek 9 lapja van. c)V eredeti = 2∙2∙2=8 cm 3 V kivágott = 1∙1∙1= 1 cm 3 V test =8-1=7cm 3 d)A test =A eredeti kocka (a 3 keletkezett lap területe megegyezik a 3 eltűnt lap területével)=6∙2∙2=24 cm 2

16 2007 / M2 Egy 2 cm élhosszúságú tömör kockának az egyik lapjára ráragasztottunk egy 1 cm élhosszúságú kockát az ábra szerint. a) A keletkezett testnek hány éle van? b) A keletkezett testnek hány lapja van? c) Hány cm 3 a keletkezett test térfogata? d) Hány cm 2 a keletkezett test felszíne?

17 2009 / M1 Egy konzervgyár az őszibarack-befőttet az ábrán látható henger alakú konzervdobozban hozza forgalomba. A henger m magassága 15 cm, alapkörének r sugara 5 cm hosszú. A szállításhoz hat ilyen konzervdobozt csomagolnak az ábrán látható módon egy olyan téglatest alakú zárt papírdobozba, amelybe éppen szorosan beleférnek. a) Hány cm hosszú a papírdoboz leghosszabb éle? (A papírdoboz falának vastagságától eltekintünk.) b)-c) Mekkora a fenti zárt papírdoboz felszíne? d)-e) Mekkora a fenti zárt papírdoboz térfogata? f) A biztonságos szállítás érdekében a dobozokat három irányban ragasztószalaggal körberagasztják. Az ábrán vastag vonallal jelöltük a ragasztószalagokat. Hány centiméter hosszú ragasztószalag szükséges és elegendő ahhoz, hogy egy ilyen dobozt az ábrán látható módon (tehát a vastag vonalak mentén) mindhárom irányban körberagasszunk?

18 a)1 kör sugara = 5 cm, átmérője 10 cm, 3 egymás melletti kör: 30 cm (piros) b)Téglatest élei piros: 30 cm, kék (magasság) 15 cm, zöld 20 cm. A=2∙(ab+ac+bc)=2∙(30∙15+30∙20+15∙20)=2∙(450+600+300)=2700cm 2 c)V=a∙b∙c=30∙15∙20=9000cm 3 d)Szalag hossza: 4 db 30 cm-es (kék) 4 db 15 cm-es (piros) 4 db 20 cm-es (zöld) összesen: 120+60+80=260 cm

19 2011 / M1 Az ábrán látható testet egy építőkészlet darabjaiból állították össze. Alul egy olyan négyzetes oszlop van, amelynek egy csúcsból induló élei 6 cm, 6 cm és 2 cm, rajta pedig két darab egybevágó négyzetes oszlop, amelynek egy csúcsból induló élei 2 cm, 2 cm és 4 cm hosszúak. a) A test egyik irányból készített nézete látható az alábbi ábrán. Írd le annak az iránynak a betűjelét, ahonnan az adott nézet készült! A keresett irány: …………………… b)–e) Mekkora a test térfogata? Írd le a számolás menetét is!

20 a)D irányból látjuk b)Térfogat: V nagy : 2∙6∙6=70cm 3 V kicsi = 2∙2∙4=16cm 3 V test =V nagy + 2∙ V kicsi =70 + 2∙ 16 =102cm 3

21 2012 / M1 Lola kapott egy téglatest alakú akváriumot, melynek falvastagság nélküli, úgynevezett belső méretei a következők: hossza 60 cm, szélessége 30 cm és magassága 40 cm. a) – d) Hány liter víz van benne, ha magasságának 90%-áig töltötte fel Lola? Írd le a számolás menetét is! e) – f) Lola megmérte, hogy a csapból egy 3 dl-es pohár leghamarabb 5 másodperc alatt telik meg. Mennyi idő alatt tölthette fel leghamarabb az akváriumot ebből a csapból az első kérdésben megadott szintig? Írd le a számolás menetét is!

22 Ha a magasság 40 cm és annak 90%-ig van feltöltve, akkor 36 cm magasan van benne a víz. Térfogat: 60∙30∙36=64800 cm 3 = 64,8dm 3 = 64,8 l 64,8 l = 648 dl 648 : 3 = 216 vagyis 216 pohárral tudja feltölteni. 1 pohár -> 5 mp 216 pohár -> 216∙5=1080 másodperc

23 2013 / M2 Négy darab egybevágó négyzetes hasáb összeragasztásával az ábrán látható téglatestet építettük meg. a) Hány centiméter az a-val jelölt szakasz hossza? b)–d) Hány köbcentiméter ennek az összeragasztott téglatestnek a térfogata? + Hány négyzetcentiméter ennek az összeragasztott téglatestnek a felszíne? Írd le a számolás menetét is!

24 A szélén lévő négyzetes oszlop 6 cm-es oldalainak egyike a nagy test magassága, ezért egy kis oszlop magassága pontosan 2 cm, ez az a szakasz hossza is. Térfogat: V=a∙b∙c=8∙6∙6=288 cm 3 Felszín: A=2∙(ab+ac+bc)=2∙(8∙6+8∙6+6∙6)=2∙(48+48+36) =264cm 2 2 cm 8 cm 6 cm

25 2015 / M2 Hat darab egybevágó négyzetes hasáb összeragasztásával az ábrán látható téglatestet kaptuk. A téglatest leghosszabb éle 18 cm. a) Hány cm hosszúak a négyzetes hasábok élei (a és b)? Írd le a számolás menetét is! a = ………… b = …………. b) Hány cm 3 az összeragasztott téglatest térfogata? Írd le a számolás menetét is!

26 Az összeillesztések miatt 3b=a. Ezért a test magassága 6b=18 cm, ebből b=3 cm, a=9 cm Térfogat: V=a∙b∙c=9∙3∙18=486 cm 3 bbb 3b

27 Kocka, téglatest visszaszámolás

28 2005 / M1 A birkózóverseny eredményhirdetéséhez három darab egyforma tömör fakockából az alábbi módon készítettünk dobogót: – két kocka egy-egy lapját összeragasztottuk, – a harmadik kockát az egyik lapjával párhuzamosan pontosan félbevágtuk, – a két félkockát a rajz szerint hozzáragasztottuk a két kockához. a) A dobogó aljának (a földdel érintkező részének) a területe 108 dm 2. Hány dm élhosszúságú volt egy kocka?....................... b) A dobogó alját feketére, a többi részét fehérre festettük. Összesen hány négyzetlapnyi felületet festettünk fehérre?....................... c) Hány dm 2 a fehérre festett felület?.......................

29 A dobogó aljának területe 108 dm 2 Az alja 3 négyzetből áll, ezért 1 négyzet területe 108:3=36 dm 2 1 négyzet területe T=a∙a ebből 36 = 6∙6 miatt a négyzet oldalai (illetve a kockák élei) 6 dm hosszúak. Fehérre festett néygzetlapok: felül 3, elölről és hátulról nézve 3-3, balról és jobbról nézve 1,5-1,5 Összesen 12 négyzetlap 1 négyzetlap területe T=a∙a = 6∙6 =36 12 négyzetlap területe 12∙36=432dm 2

30 2014 / M2 Az alábbi ábrán látható testet öt darab 8 cm 3 térfogatú kockából ragasztottuk össze. a) Hány cm egy kocka éle? b  d) Hány cm 2 az összeragasztott test felszíne? Írd le a számolás menetét is!

31 Kocka térfogata V=a∙a∙a Mivel 8 =2∙2∙2, ezért a kocka egy éle 2 cm. Felszín: hány négyzetlap látszik? Elölről, hátulról 3-3 jobbról, balról: 4-4 Alulról, felülről: 3-3 Összesen 20 négyzetlap. 1 négyzetlap területe 2∙2=4 cm 2 20 négyzetlap területe 20∙4=80cm 2

32 2015 / M1 Kilenc darab olyan egybevágó négyzetes hasábunk van, amelyekből egy nagy kockát ragaszthatnánk össze. Az alábbi ábrán az látható, amikor már csak az utolsó hasáb hiányzik a kockából. Az ábrán látható test térfogata 192 cm 3. a) Hány cm hosszúak a négyzetes hasáb élei (a és b)? Írd le a megoldás menetét és a számításaidat is!

33 A test 8 egybevágó négyzetes oszlopból áll. A 8 oszlop térfogata 192 m 3, egy oszlop térfogata: 192:8=24 m 3. Mivel kockát ragasztottunk össze, ezért a=3b 1 négyzetes oszlop térfogata: V=b∙b∙a a helyére 3b-t írva: V=b∙b∙3b=3b 3 24 = 3b 3 8=b 3 2m = b (mert 2∙2∙2=8) a = 3∙2=6 m

34 Kocka, téglatest - kivonás

35 2008 / M1 Egy üzem téglatest alakú beton falazóblokkokat gyárt. Az alábbi ábrán látható a falazóblokk külső méretezése. A jobb hőszigetelés érdekében a blokkok közepén két téglalap keresztmetszetű lyuk van. A blokk minden falának vastagsága 10 cm. Válaszolj az alábbi kérdésekre, és írd le a számolás menetét is! (Az alábbi ábra csak segítségül szolgál, nem feltétlenül tükrözi a valódi méreteket!) A)Hány dm 2 a szürkével jelölt felső lap területe? B) Hány dm 3 beton szükséges egy ilyen falazóblokk elkészítéséhez?

36 10 cm Nézzük felülről a falazóblokkot. A falvastagság mindenütt 10 cm (ábrán jelölve), ebből kiszámítható a lyukak mérete: 35-2∙10=15 cm (50-3∙10):2=10 cm (mert vízszintesen két lyuk van!!!) Felső lap területe: T teljes =50∙35=1750 cm 2 T lyuk =10∙15=150 cm 2 T felső lap = T teljes - 2∙T lyuk = 1750 - 2∙150 = 1450 cm 2 Test térfogata: Ha tudod a hasáb térfogatáét, akkor könnyebb: V falazóblokk =V hasáb =Ta∙M = 1450 ∙ 40 = 58000 cm 3 Ha nem tudod, akkor gondold át, hogy keletkezett: (kivonással) V eredeti =a∙b∙c=50∙35∙40=70000 cm 3 V lyuk =a∙b∙c=10∙15∙40=6000 cm 3 V falazóblokk =V eredeti -2∙V lyuk =58000 cm 3

37 2008 / M2 Egy üzem téglatest alakú beton virágtartó ládákat gyárt. Az alábbi ábrán látható egy láda külső méretezése. A láda minden falának vastagsága 5 cm. Válaszolj az alábbi kérdésekre, és írd le a számolás menetét is! A) Hány dm 3 földdel tudnánk egy ládát színültig megtölteni? B) Hány dm 3 beton szükséges egy ilyen láda elkészítéséhez? C) A láda belsejét vízzáró bevonattal látják el. Hány dm 2 vízzáró bevonatra van szükség ládánként?

38 Hogyan készült? Egy nagy téglatestből kivettem egy kis téglatestet. Így számolom a térfogatát is. V eredeti =a∙b∙c= 90∙40∙35=126000cm 3 = 126dm 3 A lyuk méretei: A nagy szélessége 90 cm, két oldalon 5-5 cm fal, ezért a lyuk 80 cm széles. A nagy hossza 40 cm, két oldalon 5-5 cm fal, ezért a lyuk 30 cm hosszú. A nagy mélysége 35 cm, lent 5 cm fal, ezért a lyuk 30 cm mély V lyuk =a∙b∙c= 80∙30∙30=72000cm 3 = 72 dm 3 A virágföld a lyuk helyére kerül, ezért 72 dm 3 virágföld kell. Láda térfogata: V=V eredeti -V lyuk = 126-72= 54 dm 3 5 lapra kell vízzáró bevonat: 2 db 80x30-as (elöl- hátul), 2 db 30x30-as (két oldalt) és egy darab 80x30-as (alulra). Összesen: 9000 cm 2 = 9 dm 2

39 2010 / M2 Egy 9 cm élhosszúságú tömör kockából kivágtunk egy négyzetes oszlopot az ábrán látható módon. a) Hány éle van ennek a testnek? b)–e) Hány cm 2 ennek a testnek a felszíne? + Hány cm 3 ennek a testnek a térfogata? Írd le a megoldásod gondolatmenetét valamint a számolásodat is!

40 a)Az eredeti kocka összes éle magmaradt, plusz keletkezett 9 új, így 21 éle van. b)A test felszíne megegyezik az eredeti kocka felszínével (Ugyanakkorák tűntek el, mint amekkorák keletkeztek) Vagyis: A=6∙a∙a= 6∙9∙9=486 cm2 c)Térfogata: V eredeti – V kivett V eredeti =9∙9∙9=729cm 3 V kivett =3∙3∙6=54cm 3 V test =729-54=675 cm 3

41 2010 / M1 Egy 10 cm élhosszúságú tömör kockából kivágtunk egy négyzetes oszlopot. Az így kapott test vázlatrajza látható az alábbi ábrán: a) Hány éle van ennek a testnek? b)–d) Hány cm 3 ennek a testnek a térfogata? + Hány cm 2 ennek a testnek a felszíne? Írd le a részletesen a számításaidat is!

42

43

44 2010 / M3 Egy 9 cm élhosszúságú kockából kivágtunk négy azonos méretű (3 cm x 3 cm x 9 cm) négyzetes oszlopot. Az így kapott test vázlata látható az alábbi ábrán: a) Hány éle van ennek a testnek? b)–d) Hány cm 3 ennek a testnek a térfogata? Írd le részletesen a számításaidat is!

45 a)Fent 4∙3=12, lent 12, függőlegesen 12, összesen 36 éle van. b)Térfogata: Ha hasábnak tekinted, ki kell számolni az alaplap területét: 5 db kis négyzetre bontható. 1 négyzet területe 3∙3=9 cm 2 ; 5 négyzet területe 5∙9=45cm 2 V=T a ∙M=45∙9=405cm 3 Ha ezt nem veszed észre gondold át, hogy jött létre? Egy nagy kockából elvettem 4 db oszlopot. V kocka – 4∙V oszlop V kocka = 9∙9∙9 =729 cm 3 V oszlop = 3∙3∙9 =81 cm 3 V test =729 - 4∙81=405 cm 3

46 Hasáb, henger

47 2012 / M2 Az alábbi ábrán vázolt testet két téglatest összeragasztásával hozták létre. Az élek hossza cm-ben van feltüntetve. A szürkére festett T alakú sokszög területe 40 cm 2. a) Hány cm3 a test térfogata? b) – f) Hány cm a szürkére festett T alakú sokszög kerülete? + Hány cm 2 ennek a testnek a felszíne? Írd le a számolás menetét is!

48 Ha hasábnak tekinted: V=T a ∙M=40∙5=200cm 3 Ha ezt nem veszed észre, oszd részekre (pl a T szára illetve teteje) és azoknak külön-külön határozd meg az éleit, térfogatát és add össze. Vszár=3∙6∙5=90cm 3 Vteteje=2∙11∙5=110cm 3 VT=90+110=200cm 3 X hossza: Osszuk 2 részre a szürke részt: A szár területe: 18 cm 2 ezért a T tetejének 40- 18=22 cm 2 -esnek kell lenni. A t szára egy téglalap, területe 22, egyik oldala 2 cm, vagyis a másik oldala 11 cm. Így az x hossza: 11-3 = 8 fele (2 x van!) vagyis 4 cm. Felszíne: Hasábként: A=2∙T a +K a ∙M=2∙40 + 38∙5=80+190=270cm 2 K a =11+2+4+6+3+6+4+2=38 cm Ez a hasáb magassága Ez a hasáb alaplapja 3 cm 6 cm 2 cm 11 cm 3 cmx cm

49 2014 / M1 A nekeresdi strandon új medencét építettek. Az alábbi ábra ennek a medencének a vázlatos rajza. A medence mélysége egyenletesen növekszik 0,8 métertől 2,2 méterig. A szürke oldallapok kivételével a medence oldallapjai, alaplapja és a nyitott része is téglalap alakú. a) Hány m 3 víz szükséges a medence teljes feltöltéséhez? Írd le a számolás menetét is!