2. gyakorlat INCK401 Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2015/2016. I. félév AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI

Az alábbi összefüggések közül melyek érvényesek minden A, B halmaz esetén? 1. A \ B = B \ A 2. A U (A ∩ B) = B 3. A \ A = A 4. (A \ B) ∩ (B \ A) = ∅ 5. A ∩ B = B ∩ A 6. A U A = A 7. A ∩ B ⊆ B 8. (A \ B) U B = B

6. Két halmaz Descartes (direkt) - szorzata  A x B = { (x;y) | x ∈ A és y ∈ B }  számosság: Ha |A|=n és |B|=k, akkor |A x B|=n*k

Descartes-szorzat példa  A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}  B = {páros; páratlan}  A x B = { (1; páros); (1; páratlan); (2; páros); (2; páratlan); (3; páros); (3; páratlan); (4; páros); (4; páratlan); (5; páros); (5; páratlan); (6; páros); (6; páratlan) }

Descartes-szorzat példa  A = {1; 2; 3}  B = {1; 3; 5}  A x B = { (1; 1); (1; 3); (1; 5); (2; 1); (2; 3); (2; 5); (3; 1); (3; 3); (3; 5) }

Descartes-szorzat példa  A = B = Z (egész számok halmaza)  Z x Z elemei, képe?

Halmazok egyenlősége Két halmaz egyenlő, ha ugyanazok az elemeik. A=B: ha x ∈ A, akkor x ∈ B és ha y ∈ B, akkor y ∈ A

Az alábbi halmazok közül melyek egyenlőek egymással?  A = {-3; 0; 2}  B = {0; 2; -3}  C = {0; 1; 2}  D = {1; -1; 2; -2}  E = {x ∈ Z | x 2 = 4 vagy x 2 = 1}  F = {1; 2}

Az alábbi állítások közül melyik igaz és melyik hamis?  2 ∈ {-3; 0; 2}  2 ∈ {2}  {2} ∈ {0; 1; 2}  {2;3} ∈ {1; 2; {2;3}}  {1;3} ∈ {1; 2; 3; 4}  4 ∈ {4; 5}  {1;0} ∈ {1; {0;1}}

Add meg az alábbi halmazokat felsorolással is!  {x | x ∈ Z és 2 < x < 6}  {x | x a hét napja és k-ra végződik}  {x | x ∈ R és x 2 = 4}  {x | x ∈ N és x prím és x egyjegyű}

Hogyan adhatnánk meg a halmazokat valamilyen más módon?  {0, 2, 4, 6, 8,…}  {…,-2, -1, 0, 1, 2, …}  {1, 2, 3, 4, 5}  {0, 3, 6, 9, … }  {1, 2, 4, 5, 7, 8, …}  a páros nem negatív egész számok halmaza  az egész számok halmaza  {x | x ∈ Z és 0 < x <= 5}  a 3-mal osztható nemnegatív egész számok halmaza  a 3-mal nem osztható nemnegatív egész számok halmaza

Példa S szőkék halmaza, G gazdagok halmaza  S \ G = ?  G \ S = ?  S U G = ?  S ∩ G = ?

Add meg ki melyik halmaznak (S, G, S\G, G\S, SUG, S ∩ G) eleme és melyiknek nem eleme!  Nóra szőke.  Éva nem szőke.  Tibor gazdag, de nem szőke.  Gábor szőke és gazdag.  Emőke szőke vagy gazdag.  Peti szőke, bár nem gazdag.  Nem igaz, hogy Ica szőke és gazdag.

Részhalmaz A ⊆ B: ha x ∈ A, akkor x ∈ B

Valódi részhalmaz A ⊂ B: ha A ⊆ B, de A ≠ B

Descartes-szorzat részhalmaza Példa:  A = {1; 2; 3}  B = {1; 3; 5}  A x B = { (1; 1); (1; 3); (1; 5); (2; 1); (2; 3); (2; 5); (3; 1); (3; 3); (3; 5) }  C = {(1; 1); (1; 3); (1; 5); (2; 3); (2; 5); (3; 3); (3; 5)}  C ⊆ A x B  (az első szám nem nagyobb a másodiknál)

2. Relációk  Definíció: Az A és B halmazok Descartes- szorzatának egy R ⊆ AxB részhalmazát az A és B halmazok közötti (binér) relációnak nevezzük.  Ha (a,b) ∈ R, akkor azt mondjuk, hogy „az a elem R relációban van b-vel”; aRb  A=B esetén A-n értelmezett relációnak mondjuk.

2. Relációk  Definíció: Az A halmazon értelmezett R ⊆ AxA relációt  Ekvivalenciarelációnak nevezzük, ha R Reflexív ( ∀ a ∈ A: aRa) Szimmetrikus ( ∀ a, b ∈ A: ha aRb, akkor bRa ) Tranzitív ( ∀ a, b, c ∈ A: ha aRb és bRc, akkor aRc) Példa: = (feladat ellenőrizni)

2. Relációk  Definíció: Az A halmazon értelmezett R ⊆ AxA relációt  Féligrendezési relációnak nevezzük, ha R Reflexív Antiszimmetrikus ( ∀ a, b ∈ A: ha aRb és bRa, akkor a=b) Tranzitív Példa: részhalmaz (feladat ellenőrizni)

2. Relációk  Definíció: Az A halmazon értelmezett R ⊆ AxA relációt  Rendezésnek nevezzük, ha R Féligrendezés és Minden a, b eleme A esetén: aRb vagy bRa Példa: A=R, ≤ (feladat ellenőrizni)

Példák, feladatok 1. Legyen A a sík összes egyeneseinek halmaza! a) Ekvivalenciareláció-e az A halmazon a párhuzamosság? b) Melyek az ekvivalenciaosztályok? 13. Legyen A a sík összes egyeneseinek halmaza! a)Ekvivalenciareláció-e az A halmazon a merőlegesség? 14. Legyen R={(a;a); (a;b); (a;c)} az {a;b;c} halmazon értelmezett reláció! Minimum hány elemmel kell kiegészíteni az R halmazt, hogy az a)reflexív legyen? b)szimmetrikus legyen? c)tranzitív legyen?

3. Függvények  Definíció: Egy R ⊆ AxB relációt függvénynek nevezzük, ha abból, hogy (a,b) ∈ R és (a,c) ∈ R következik, hogy b=c.  Bármely adott dologhoz legfeljebb egy dolgot rendelünk hozzá.

3. Függvények, mint egyértelmű hozzárendelések  A hozzárendelések között vannak olyanok, amelyek az egyik halmaz minden eleméhez a másik halmaznak pontosan egy elemét rendelik hozzá.  Ezek az egyértelmű hozzárendelések. Az egyértelmű hozzárendeléseket függvényeknek nevezzük.  A függvényeket kisbetűkkel jelöljük: f,g,h, … stb.  Azokat a függvényeket, amelyek mindkét irányban egyértelműek („megfordíthatóak”), kölcsönösen egyértelmű függvényeknek nevezzük.

3. Függvények  A függvényt megadhatjuk  táblázattal  grafikonnal  nyíl-diagrammal  képlettel vagy egyéb utasítással  Azt a halmazt, amelynek az elemeihez hozzárendeljük a másik halmaz elemeit, alaphalmaznak, a másik halmazt, amelybe a hozzárendelt elemek tartoznak, képhalmaznak nevezzük.  A hozzárendelési szabály (utasítás) adja meg a függvényt, amely szerint az alaphalmaz elemeihez egyértelműen hozzárendeljük a képhalmaz elemeit.

Értelmezési tartomány - ÉT  Az alaphalmaz azon elemeinek a halmaza, amelyekre a hozzárendelési szabály érvényes. Ez lehet maga az alaphalmaz is.  Az értelmezési tartomány elemeit szokás változóknak is nevezni.

Értékkészlet - ÉK  A képhalmaz azon elemeinek a halmaza, amely értékeket a függvény felvesz. Ez lehet a teljes képhalmaz is.  Elemei a függvényértékek.

Tulajdonságok  injektív: ha különböző elemekhez különbözőket rendel hozzá (pl. log, exp)  szürjektív: minden elem előáll képelemként  bijektív (kölcsönösen egyértelmű): ha injektív és szürjektív

Példák, feladatok  f: R → R, x → 2x  g: R → R, x → x 2  stb…

Induktív definíció  Egy sajátos és nagyon megbízható definíciós módszer. Elsősorban halmazok és függvények definiálására használható.  A definíció két fő részből áll: A bázis megadása A szabály, vagy szabályok megadása

Példák 1. Természetes számok halmaza:  Bázis: a 0 egy természetes szám  Bővítési szabály: ha a egy természetes szám, akkor a+1 is egy természetes szám 2. Pozitív páratlan számok halmaza :=P  Bázis: az 1 eleme P-nek  Bővítési szabály: ha a eleme P-nek, akkor a+2 is eleme P-nek

Példák 3. Öttel osztva kettő maradékot adó számok halmaza :=K  Bázis: 2 eleme K-nak  Bővítési szabály: ha a eleme K-nak, akkor a+5 eleme K- nak 4. Hárommal osztható egész számok halmaza:=H  Bázis: 3 eleme H-nak  Bővítési szabályok: ha a eleme K-nak, akkor a+3 eleme K-nak ha b eleme K-nak, akkor b-3 eleme K-nak

Példák 5. Faktoriális függvény (f)  Bázis: (0;1) eleme f-nek „(1;1) eleme f-nek”  Bővítési szabály: ha (a;b) eleme f-nek, akkor (a+1; b*(a+1)) eleme f-nek (0;1); (1;1); (2;2); (3;6); (4;24); (5;120);…

Segédletek logikából  Halmazokhoz:  Dr. Mihálydeák Tamás:     Dr. Várterész Magda:     Lengyel Zoltán: 

Forrás  etek2010/Teljes_indukcio_logika_halmazok_relacio k_fuggvenyek.pdf