Gáspár Merse Előd Csomó minden a csomókról avagy csomók matematikus, fizikus, biológus és bűvész szemmel Visznek, 2011

Egy csomó mindenre jó! Információ tárolása: az inkák bürokratikus jegyzőeszköze az ún. quipu Az inka birodalmi hivatalnokok még a XVI. században is ún. quipucamayocs-ok voltak, azaz csomókötők. Az ő feladatuk volt a csomózás és a csomójelek magyarázata.

Hegymászók, barlangászok, hajósok csomói életeket menthetnek Halászok mesterségéhez is elengedhetetlen a csomókötés

Játékos csomók

A csomók szimbolikája (kelta csomók) A kelta csomók a VII. sz. környékén kerültek Írországba. Az önmagába záródás az örökkévalóságot szimbolizálja, egyes csomók pedig: barátságot, szerencsét, könnyeket...

Csomók a művészetben

Csomódiagram (síkábrázolás,projekció) Csomók, láncok, fonatok Hurokbog (hollandi csat) Whitehead-láncFonat (gubanc) Alapfogamak

A nullcsomó, avagy a triviális csomó

A csomóelmélet kezdete Johann Frederich Carl Gauss (1775 –1855 )  Felvetette az alapproblémát: miként lehet eldönteni a csomódiagram alapján két csomóról, hogy ekvivalensek-e?  Bevezette két csomó ún. hurkolódási együtthatóját.  Tanítványai elkezdtek foglalkozni a csomók osztályozásával. hurkolódási együttható szemléletes definiálása : … …

hurkolódási együttható: (6-2)/2 = 2 Hurkolódási együttható meghatározása A két C 1 és C 2 csomóban folyjon áram, amik B 1 és B 2 mágneses térerősségeket határoznak meg.

Lord Kelvin, William Thomson (1824 –1907 )  Kitalálta az éter gondolatát, és úgy gondolta, az atomok csomót formáló örvények a láthatatlan éterben. A csomók sokfélesége magyarázza az elemek sokféleségét, és a satbilitás a csomó kibogozhatatlanságának felel meg.  Megpróbálta a kereszteződési szám szerint osztályozni a csomókat. A jelöléseit még ma is használjuk.  Kelvin elmélete alapján remélte, hogy a csomók osztályozásának megoldásával megoldódik az atomok osztályozása is.  Tait volt az első, aki rámutatott a csomók és síkgráfok közti kapcsolatra. Peter Guthrie Tait (1831 –1901 )

Csomók irányított síkgráffá alakítása

Tait táblázata a legfeljebb 7 kereszteződési számú prímcsomókra

A csomók aritmetikája kommutatíviás asszociatívitás nulla elem

 Két csomódiagram pontosan akkor definiálja ugyanazt a csomót, ha megkaphatók egymásból a reidemeister-lépések véges sokszori alkalmazásával.  1932-ben befejezte a csomók osztályozását 9 kereszteződési számig. Kurt Reidemeister (1893 –1971 )

Csomóinvariánsok: a csomó deformálásával nem változnak Egyszerű csomóinvariánsok: - komponensek száma - (minimum) kereszteződési szám - (minimum) kibogozási szám Alexander-polinom (James W. Alexander,1928) Jones-polinom (Vaughan F. R. Jones,1984) HOMFLY-polinom (az előzők általánosítása,1985) / HoMFLY mozaikszó mely a 8 feltalálóból 6-nak a nevéből származik/

Kibogozási reláció A Jones-polinom kiszámításának lépései: A kibogozni kívánt csomót irányítással látjuk el, és kiválasztunk egy kereszteződést, melynek alapján 3 csomót hozunk létre. A kibogozási reláció így szól A triviális csomó Jones-polinomja 1, azaz L+L+ L-L- L0L0

Példa Háromlevelű csomó kiszámítása Menetrend A legegyszerűbb 2 db triviális csomó kiszámítása

második módszer: Kauffman-féle állapotmodell Az összes kereszteződést egymással nem kapcsolódó körökre bontjuk az összes lehetséges módon az alábbi 2 átalakítás segítségével A lánc ún. zárójeles polinomja:,ahol A zárójeles polinomból helyetteséssel kapjuk a Jones-polinomot (egy hatványszorzó erejéig). Az összes kereszteződésbeli A és A -1 -ek szorzata A körök száma az előálló diagramban A-1A-1 A

Példa A Hopf-lánc kiszámítása A2A2 A-2A-2 AA -1 =

Alternáló csomók Alternáló diagram: Ha elidulunk a diagram egy tetszőleges pontjából, akkor a diagram görbéje felváltva halad felül és alul. Alternáló csomó: Létezik alternáló diagramja. Alternáló diagramNem alternáló diagram A legtöbb csomó alternáló. Az első nem alternáló csomó Megoldatlan probléma: 3 dimenziós definíciót adni az alternáló csomókra a diagram említése nélkül.

További Megoldatlan problémák Mely csomókból kapunk triviális csomót, ha a minimális számú kereszteződést tartalmazó diagramjukon 1 kereszteződésben végrehajtjuk az alábbi transzformációk valamelyikét? A háromlevelű lóhere az egyetlen olyan csomó, amelynek van olyan realizációja a térben, hogy nincs olyan sík, mely érintené 3 vagy több pontját a csomónak? Mikor ekvivalens egy csomó az inverzével? (Egy irányított csomó inverze a tükörképe ellentétes orientációval).

Borromean gyűrűk és láncok: ha az egyik komponenst elvágjuk, akkor az egész darabokra esik szét

Csomók a részecskefizikában az alábbi ún. fonatra úgy is tekinthetünk, mint részecskék pályáira (Feynman-diagram) az idő felfelé telik a kétfajta kereszteződés jelöljön kétféle kölcsönhatást a részecskék között a lokális maximumban legyen annihiláció a lokális minimum jelölje részecskék keletkezését

Csomóelmélet a molekuláris dinamikában A DNS az élő szervezet legfontosabb tulajdonságait kódolja és örökíti. Minden sejtben megtalálható. Egy hosszú összegubancolódott molekula, amely a sejt- magba van „bepréselve”. A DNS-el tipikusan két do- log szokott történni: vagy lemásolják, vagy az általa kódolt információ alapján fehérjék szintetizálása tör- ténik. Mindkét műveletet ún. enzimek végzik és bár- melyik művelet előtt úgyancsak enzimeknek ki kell „csomagolniuk”. A DNS kettős spirálját mindenki jól ismeri, amely azonban nagyon hosszú. A két vége lehet szabad, de lehet egymásba záródó is, sőt bizonyos szituációk- ban több DNS is egymásba gubancolódhat. Sztereoizomereknek nevezzük ugyanazon DNS különböző csomózódási számmal jellemezhető állapotait, amelyek különböző módon funkcionálhatnak. Az ún. topoizomeráz kibogo- zó enzimek hasonlóan működnek mint a kibgozási relációk. Egy enzim egy- szerre egy kereszteződésen tud hatni, így a kibogozáshoz szükséges időt meg lehet becsülni, ha tudjuk, hogy mennyi kereszteződést kell kibogozni. A biológusok nem tudják megfigyelni az enzimeket feladatuk ellátása köz- ben, ezért fontos az enzimek vizsgálatában a csomóelmélet.

Csomóelmélet és a vírusok A vírusok a DNS egyes részeit egymáshoz közel viszik, megbontják és eltérő módon ragasztják vissza, ezáltal megváltoztatva a DNS által repre-zentált csomót, és annak számos tulajdonságát. Ezek a megváltozott csmóinvariánsok a DNS fizikai tulajdonságait is meg- határozzák, ezért alkalmasak arra, hogy a DNS-t megtámadó vírusokat osztályozzuk és azonosítsuk. Különböző vírusok más és más módon „csomóznak” és az elektron mikroszkópos felvételek segítségével a csomódiagrammok szemmel is jól tanulmányozha- tók.