Rendszerek megbízhatósága (alapfogalmak és jellemzők)

A megbízhatóság alapfogalmai A megbízhatóság gyűjtőfogalom, amelyet a használhatóság és az azt befolyásoló tényezők, azaz a hibamentesség, a fenntarthatóság és a fenntartásellátás leírására használnak. A használhatóság (üzemkészség, készenlét, rendelkezésre állás) a rendszernek (terméknek) az a képessége, hogy adott időpontban, vagy intervallumban, adott feltételek mellett ellátja előírt funkcióit, feltéve, hogy az ehhez szükséges erőforrások rendelkezésre állnak. A hibamentesség a rendszernek az a képessége, hogy előírt funkcióit adott feltételek mellett, adott időpillanatban vagy intervallumban ellátja.

A megbízhatóság alapfogalmai A fenntarthatóság a rendszernek az a képessége, hogy meghatározott működési feltételek mellett olyan állapotban tartható, illetve olyan állapotba állítható vissza, amelyben az előírt funkcióit teljesíteni tudja, amennyiben fenntartását adott feltételek között és előírt eljárások, erőforrások felhasználásával végzik. A fenntartásellátás a kapcsolódó szervezeti rendszernek azon tulajdonsága, hogy adott körülmények között rendelkezésre bocsátja azokat az erőforrásokat, amelyek az adott fenntartási politika (stratégia, technológia) mellett a fenntartáshoz szükségesek.

A megbízhatóság alapfogalmai A hibamentesség a meghibásodás komplementer fogalma. A rendszer meghibásodása olyan esemény, amelynek során elveszti azon képességét, hogy előírt funkcióit ellássa (működő állapotából hibaállapotba kerül). A meghibásodásokat különböző szempontok szerint osztályozhatjuk, egy technikai rendszer esetében például: Bekövetkezési ok szerint Bekövetkezés időbeli jellege szerint A működőképesség elvesztésének mértéke szerint Bekövetkezési szakaszok szerint

A meghibásodások osztályozása Bekövetkezési (kiváltó) ok szerint Túlterhelés következtében fellépő meghibásodás. Statikus, dinamikus vagy termikus, a műszaki előírásokat meghaladó mértékű túl-igénybevétel váltja ki. Független meghibásodás. A rendszer elemének olyan meghibásodása, amelyet nem a többi rendszerelem közvetlen, vagy közvetett hatása vált ki. Függő meghibásodás. A rendszer elemének olyan meghibásodása, amelyet a többi rendszerelem közvetlen, vagy közvetett hatása vált ki. Konstrukciós meghibásodás. A tervezés hiányosságaira vezethető vissza a hibát előidéző ok. Gyártási eredetű meghibásodás. A gyártási folyamat hiányosságaira vezethető vissza a hibát előidéző ok. Üzemeltetési meghibásodás. Az üzemeltetés szabályainak be nem tartására vezethető vissza a hibát előidéző ok.

A meghibásodások osztályozása Bekövetkezés időbeli jellege szerint Váratlan meghibásodás. A rendszer egy vagy több paraméterének ugrásszerű kedvezőtlen megváltozása. Fokozatos meghibásodás. A rendszer egy vagy több paraméterének kedvezőtlen irányú megváltozása végeredményeként, megfelelően hosszú időtartam alatt jön létre. Relaxációs meghibásodás. A meghibásodást a tűrési mező leszűkülése miatt a normál üzemi terhelés váltja ki. A működőképesség elvesztésének mértéke szerint Teljes meghibásodás A rendszer rendeltetésszerű használata a működőképes állapot helyreállításáig nem lehetséges. Részleges meghibásodás. A rendszer rendeltetésszerű használata részben lehetséges, azonban egy vagy több főparamétere a megengedett tűréshatáron kívül esik. Katasztrofális meghibásodás. Váratlan, teljes és jelentős sérülésekkel járó meghibásodás. Degradációs meghibásodás. Fokozatos és részleges meghibásodás.

A meghibásodások osztályozása Időbeli jelleg értelmezése ξ(t) 1 2 ξF ξA 3 1 – váratlan meghibásodás, 2 – fokozatos meghibásodás, 3 – relaxációs meghibásodás. t - általános állapotjellemző realizációs függvénye, - állapotjellemző megengedhető felső határértéke, - állapotjellemző megengedhető alsó határértéke, t - független változó (idő/teljesítmény). ξ(t) ξF ξA

A meghibásodások osztályozása Bekövetkezési szakaszok szerint Korai meghibásodás. A rendszer kezdeti működési periódusa alatt fellépő meghibásodás. Állandó (véletlenszerű) meghibásodás. A rendszer tartós működési periódusa alatt fellépő meghibásodás. Kései meghibásodás. A rendszer meghibásodás. befejező működési periódusa alatt fellépő Megemlítendő, hogy a meghibásodásoknak más szempontok szerinti osztályozása is lehetséges (Pl.: a meghibásodás nyilvánvalósága [nyílt, rejtett], kiküszöbölésének jellege [átmeneti, szakaszos, tartós]) és szokásos.

A megbízhatóság mennyiségi jellemzői. A hibamentesség. A hibamentesség valószínűsége R(t1, t2) Annak a valószínűsége, hogy a rendszer előírt funkcióit adott feltételek között a t1, t2 időintervallumban ellátja, feltéve, hogy a t1 időpontban működőképes állapotban volt. A pillanatnyi meghibásodási ráta (t) Annak a valószínűsége, hogy a rendszer meghibásodása a t, t+t időintervallumba esik azzal a feltétellel, hogy a t időpontban működőképes állapotban volt. Pontosabban: annak a hányadosnak a határértéke t 0 esetén, amelynek a számlálójában az a feltételes valószínűség szerepel, amely szerint a rendszer meghibásodásának  időpontja a t, t+t időszakba esik, feltéve, hogy t időpontban j működőképes állapotban volt, nevezőjében pedig az időszakasz t hossza van. (, t) – a meghibásodási folyamat realizációs függvénye

A megbízhatóság mennyiségi jellemzői. A hibamentesség. Átlagos meghibásodási ráta (t1, t2) A pillanatnyi meghibásodási ráta átlaga a megadott t1, t2 időintervallumban. Pillanatnyi meghibásodási intenzitás Z(t) Annak a hányadosnak a határértéke t 0 esetén, amelynek számlálójában a t, t+t intervallumban bekövetkezett meghibásodások átlagos száma, nevezőjében pedig ezen szakasznak t hossza van. M – várható érték, N(t) – meghibásodások száma a 0, t időintervallumban, N(t +t) – meghibásodások száma a 0, t +t időszakaszban.

A megbízhatóság mennyiségi jellemzői. A hibamentesség. Átlagos meghibásodási intenzitás Z(t1, t2) A pillanatnyi meghibásodási intenzitás átlaga a t1, t2 időintervallumban. Átlagos működési idő az első meghibásodásig (MTTFF) Az első meghibásodásig terjedő működési időtartam várható értéke. Meghibásodások közötti átlagos működési idő (MTBF) Két egymást követő meghibásodás közötti működési időtartam várható értéke. ti - az első meghibásodásig teljesített működési idő, i = 1, 2 … N : a megfigyelések száma.

A megbízhatóság mennyiségi jellemzői. A használhatóság. Pillanatnyi használhatóság A(t) Annak a valószínűsége, hogy a rendszer adott ”t” időpontban előírt funkcióját ellátó, működőképes állapotban van, feltéve, hogy a működéséhez szükséges külső erőforrások rendelkezésre állnak. Pillanatnyi használhatatlanság U(t) Annak a valószínűsége, hogy a rendszer adott ”t” időpontban nincs előírt funkcióját ellátó, működőképes állapotban, feltéve (annak ellenére), hogy a működéséhez szükséges külső erőforrások rendelkezésre állnak. Átlagos használhatóság A(t1, t2) A pillanatnyi használhatósági függvény átlaga egy adott t1, t2 időintervallumban.

A megbízhatóság mennyiségi jellemzői. A használhatatlanság. Átlagos használhatatlanság U(t1, t2) A pillanatnyi használhatatlansági függvény átlaga egy adott t1, t2 időintervallumban. Aszimtotikus használhatóság A A pillanatnyi használhatóság határértéke t esetén. Aszimtotikus használhatatlanság U A használhatatlansági függvény határértéke t esetén. Átlagos működőképességi idő MUT A működőképes állapot idejének várható értéke. Átlagos működésképtelenségi idő MDT A belső eredetű működésképtelen állapot idejének várható értéke.

A megbízhatóság mennyiségi jellemzői. A fenntarthatóság. Fenntarthatósági függvény M(t1, t2 ) Annak a valószínűsége, hogy a fenntartási munkálatokat előre meghatározott t1, t2 időintervallumban elvégzik ha a szükséges erőforrások rendelkezésre állnak, feltéve, hogy a fenntartás t1 időpontban még nem fejeződött be. A pillanatnyi javítási ráta (t) Annak a valószínűsége, hogy a rendszer javítása a t, t+t időintervallumba esik azzal a feltétellel, hogy a ”t” időpontban a javítás nem fejeződött be. Pontosabban: annak a hányadosnak a határértéke t 0 esetén, amelynek a számlálójában az a feltételes valószínűség szerepel, hogy a javítási tevékenység a t, t+t időszakban befejeződik, feltéve, hogy az időszakasz ”t” kezdőpontjáig nem fejeződött be, nevezőjében pedig az időszakasz t hossza van. (, t) – a javítási folyamat realizációs függvénye, k – be nem fejezett javítási állapot.

A megbízhatóság mennyiségi jellemzői. A fenntarthatóság. Átlagos javítási ráta (t1, t2) A pillanatnyi javítási ráta átlaga a megadott t1, t2 időintervallumban. Átlagos javítási idő MTTR A javítási idő várható értéke. Javítási idő eloszlásának p kvantilise Adott (p) valószínűséggel megadja, hogy legfeljebb meddig tart a javítás τi - a meghibásodás javításának ideje, i = 1, 2 … M : a megfigyelések száma

A technikai rendszerek osztályozása megbízhatósági szempontból Technikai eszköz (rendszer, elem) Nem helyreállítható Helyreállítható Azonnal helyreállítható Számottevő helyreállítási idejű Helyreállítás alatt kikapcsolt Helyreállítás alatt bekapcsolt

Elemek megbízhatósági jellemzői. A megbízhatósági függvény. Nem helyreállítható elemek esetén: egy elem t = 0 időpontban kezd működni és t =  időpontban meghibásodik. 0 t Az elem  élettartama valószínűségi változóként interpretálható. Ez esetben az élettartam jellemzésére az F(t) = P(  t) eloszlásfüggvény szolgál, amely kifejezi annak valószínűségét, hogy az elem „t” időpontig meghibásodik, vagyis F(t) nem más, mint az elem meghibásodási függvénye. 

Elemek megbízhatósági jellemzői. A megbízhatósági függvény. A meghibásodási függvény komplementere az R(t) megbízhatósági függvény, kifejezi annak a valószínűségét, hogy, hogy az elem csak „t” időpont után hibásodik meg, azaz a 0, t időtartamon belüli hibamentes működés valószínűségét reprezentálja. R(t) = 1- F(t) = P( >t) A megbízhatósági függvény legalapvetőbb tulajdonságai definíciójából következnek: R(t) monoton, nem növekvő, R(0) = 1,

Elemek megbízhatósági jellemzői. Az átlagos élettartam. R(t) F(t) 1,0 F(t) R(t) t T0 A T0 átlagos élettartam a  valószínűségi változó várható értéke, amely megadja a hibamentes működés átlagos időtartamát.

Elemek megbízhatósági jellemzői. A tapasztalati meghibásodási ráta. A N(t) tapasztalati meghibásodási ráta származatásának lépései: kijelöljük azt az „N” elemből álló sokaságot, amelynek egyedei a 0, tv intervallumban hibásodnak meg, felosztjuk ezt az időintervallumot „i” darab t hosszúságú részre (osztályközre), rögzítjük az egyes rész-intervallumokban keletkezett meghibásodások „ni” számát, ezen számokat viszonyítjuk az kérdéses osztályközök kezdetén még működő elemek NM, (i-1) = számához, majd a kapott értékeket függvényértekként rendre hozzárendeljük a vizsgált rész intervallumokhoz. ni NM, (i-1) 0 t tv t

Elemek megbízhatósági jellemzői. Az elméleti meghibásodási ráta. Definíciója szerint a (t) elméleti meghibásodási ráta: mivel és R(0) = 1, illetve ln(1) = 0, tehát a megbízhatósági függvény és a meghibásodási ráta közötti kapcsolat:

Elemek megbízhatósági jellemzői. Az elméleti meghibásodási ráta. (t) függvényének viselkedése az elem teljes élettartama során (t) Weibull ( >2) Weibull ( < 1) Weibull ( =1) Exp. Normál I II III t Az I. szakasz a korai meghibásodások szakasza. Itt realizálódnak a gyártási eredetű, vagy konstrukciós hibák. A II. szakasz a normális működés tartománya. Itt a meghibásodási ráta gyakorlatilag állandó (t) =  = const, ami a váratlan, véletlenszerű meghibásodások dominanciájára utal. A tendenciózus meghibásodások természetét írja le a (t) függvény III. szakasza.

I. szakasz: a korai meghibásodások szakasza. A megbízhatósági ráta függvényének tipikus intervallumai I. szakasz: a korai meghibásodások szakasza. Az elméleti megbízhatósági eloszlások közül ezt a szakaszt legtöbb esetben  < 1 paraméterű Weibull-eloszlással lehet közelíteni. A megbízhatósági függvény (t>0; α>0; λ>0) A meghibásodási ráta függvény Az átlagos élettartam

II. szakasz: normális működés tartománya. A megbízhatósági ráta függvényének tipikus intervallumai II. szakasz: normális működés tartománya. Ebben a szakaszban a meghibásodások tipikusan exponenciális eloszlást követnek, az R(t) megbízhatósági függvény is exponenciális (de le lehet írni ezt a szakaszt Weibull eloszlással is  =1 paraméter mellett). A megbízhatósági függvény A meghibásodási ráta függvény Az átlagos élettartam

III. szakasz: a tendenciózus meghibásodások szakasza. A megbízhatósági ráta függvényének tipikus intervallumai III. szakasz: a tendenciózus meghibásodások szakasza. Itt az F(t) meghibásodási és az R(t) megbízhatósági függvény általában normális eloszlású. (t) függvény ebben a szakaszban is egy megfelelő paraméterű -  >2 - Weibull eloszlással ugyancsak megközelíthető. A megbízhatósági függvény λ(t) A meghibásodási ráta függvény t T0

Rendszerek megbízhatósági jellemzői Rendszerek megbízhatósági jellemzői. Soros, nem helyreállítható rendszer. Egy rendszert megbízhatósági szempontból sorosnak tekintünk, ha akkor működik helyesen, ha minden egyes – független – eleme hibamentesen működik, tehát a rendszer már akkor is meghibásodik, ha akár egyetlen eleme meghibásodik. A rendszer R(t) eredő megbízhatósági függvényét a rendszerelemek Ri(t) megbízhatósági függvényei szorzataként állíthatjuk elő, ahol i = 1, 2, 3 … n a soros rendszer független elemeinek száma.

Ha minden elem azonos megbízhatóságú, akkor: Rendszerek megbízhatósági jellemzői. Párhuzamos, nem helyreállítható rendszer. Egy adott rendszert megbízhatósági szempontból párhuzamosnak tekintünk, ha akkor működik hibamentesen, ha legalább egy – független – eleme hibamentesen működik. A rendszer tehát csak akkor hibásodik meg, ha összes i = 1, 2, 3 … n eleme egyidejűleg válik működésképtelenné. A rendszer R(t) eredő megbízhatósági függvényét az F(t) eredő meghibásodási függvény komplementer változójaként határozhatjuk meg. Ha minden elem azonos megbízhatóságú, akkor: R(t) = 1 – Fn(t)

Exponenciális, nem helyreállítható tulajdonságú elemekből álló rendszer megbízhatósága SOROS ELRENDEZÉS esetén Exponenciális megbízhatóságú független elemekből létrehozott soros rendszer szintén exponenciális tulajdonságú, ahol  eredő meghibásodási ráta és T0 rendszer élettartam: PÁRHUZAMOS ELRENDEZÉS, azonos megbízhatóságú független elemek esetén

A rendszer eredő megbízhatósági függvénye: Általános felépítésű, nem helyreállítható tulajdonságú rendszer megbízhatósága Általános felépítésű rendszer: soros és párhuzamos kapcsolású elemek kombinációiként előállított rendszer. 1 2 3 … s 1 2 : m 1 2 … n Rs(t) – egy soros ág eredő megbízhatósági függvénye („s” db. azonos R(t) megbízhatóságú független elem esetén) Fm(t) = 1 – Rs(t)m – „m” párhuzamosan kapcsolt ág eredő meghibásodási függvénye, A rendszer eredő megbízhatósági függvénye: R(t) = 1 - 1 – Rs(t)mn Ha az „s” soros ágban nem azonos megbízhatóságú független elemek vannak:

Általános felépítésű, nem helyreállítható tulajdonságú rendszer megbízhatósága Amennyiben a vizsgált esetben a bonyolult megbízhatóságú rendszer elemei rendre egymástól eltérő megbízhatósággal rendelkeznek, az eredő megbízhatósági függvény származtatása az alábbi összefüggéssel történhet: Ri (t) – i. elem megbízhatósági függvénye i = 1, 2 ….. s s – egy párhuzamos ágban sorbakapcsolt elemek száma j = 1, 2 ….. m m – a párhuzamos ágak száma k = 1, 2 ….. n n – a sorbakapcsolt vegyes blokkok száma

Azonnal helyreállítható tulajdonságú elem megbízhatósága t=0 t1 t2 ti …. tn τ1 τ 2 τ i …. τ n t ti - az egyes független meghibásodások (helyreállítások) időpontjai, τi - az i. és az (i–1). meghibásodás közötti működési idő, ν(t) - tetszőleges t időtartam alatt bekövetkező meghibásodások száma (0, 1, 2, …. n). H(t) felújítási függvény: H(t) = M[ν(t)] = g[τ, F(t)] Fn(t) = P(τn < t)

H(t) = λt A felújítási függvény tipikus formái Ha τ valószínűségi változó exponenciális eloszlást követ λ paraméterrel,(Poisson folyamat) akkor a felújítási függvény alakja: H(t) = λt Normális eloszlású meghibásodási (Gauss) folyamat esetén – ha σ << T0 – a felújítási függvény alakja: Weibull-eloszlás esetén a H(t) felújítási függvény nem fejezhető ki véges alakban. Ekkor a jellemző 3 > α > 1 szakaszra a következő becslés adható: Tetszőleges F(t) eloszlásfüggvényre igazolható:

Számottevő helyreállítási idejű elem megbízhatósága t=0 t1 t*1 t2 t*2 …. tn τ1 τ*1 τ 2 τ*2 τi …. τ n t ti – a meghibásodások időpontjai; t*i – a javítási tevékenységek végpontjai; τi = ti – t*i-1 : a használati (üzemelési) intervallumok (t*0 = 0); τ*i = t*i – ti : javítási időszakok. R(t) = P(τi > t) R*(t) = P(τ*i > t) T0 T *0 A(t) használhatósági függvény stacionárius értéke:

Azonnal helyreállítható tulajdonságú rendszer megbízhatósága τ1 τ2 τj …. τk t=0 t1 t2 tj …. tk t Első elem Második elem elem i. elem n. elem . . . A rendszer felújítási függvénye elemei felújítási függvényeinek összegeként állítható elő.

Számottevő helyreállítási idejű, felújítás alatt kikapcsolt rendszer megbízhatósága Bizonyítható, hogy a körülírt esetben a működési szakaszok váltakozó paraméterű Poisson folyamatot alkotnak. A rendszer T0 hibamentes működésének átlagos ideje A javítás T*0 átlagos ideje A rendszert jellemző A (stacionárius) használhatóság értéke

Annak a valószínűsége, hogy a rendszer „t” időpontban működőképes Számottevő helyreállítási idejű, felújítás alatt bekapcsolt rendszer megbízhatósága Ha egy adott elem helyreállítása alatt az összes többi elem folyamatosan tovább működik, a rendszer felújítás alatt bekapcsolt állapotban van. Ekkor bármelyik elem működése és javítása független a többi elemétől. A rendszer meghibásodási és javítási folyamata n elem esetén „n” független, nem elhanyagolható javítási idejű felújítási folyamat összegének tekinthető. Annak a valószínűsége, hogy a rendszer „t” időpontban működőképes