Műveletek, függvények és tulajdonságaik Mátrix struktúrák: MÁtrix Algebra Definició Műveletek, függvények és tulajdonságaik Mátrix struktúrák: vektortér (n x m) gyűrű (n x n)

Miért fontos? Legtöbb adatot mátrixokban (tömbökben) tárolnak Ezen adatokkal végzett műveletek a statisztikai elemzések alapjai Fizikában többféle mátrix/tenzor ismeretes Mozgások leírás – számítógépes grafika Mátrixok hiányában bonyolult szummajeles műveletsorokkal kellene számolnunk

DefinÍCIÓK számokat skalároknak hívjuk (2018, 2014) mátrix: n x m (= méret, típus) táblázat spec.: négyzetes: n=m spec.: sorvektor: 1 x n , oszlopvektor: n x 1

MÁTRIXOK - JELÖLÉS

MÁTRIXOK EGYENLŐSÉGE Két mátrix egyenlő, ha méretük/típusuk azonos (ugyanannyi sora és oszlopa van mindegyiknek - az azonos pozíciójú elemek egyenlők: A = B, acsa ha aik=bik

sPECIÁLIS MÁTRIXOK Diagonális mátrix (n x n): Trace-nyom:

MÁTRIX MŰVELETEK Transzponálás Összeadás Szorzás

TRANSZPONÁLÁS A → AT Főátlóra tükrözzük a mátrix elemeit vagyis az i. sorból i. oszlop lesz aik→aki

TRANSZPONÁLT TULAJDONSÁGAI

Szimmetrikus mátrix: A = AT Ferdén szimmetrikus mátrix: A = - AT Példa: szimmetrikus, adja meg az a, b, c értékékeket! MO:

Példa: ferdén szimmetrikus, adja meg az a, b, c értékékeket! MO:

Összeadás Akkor végezhető el, ha a két mátrix mérete egyenlő Egyszerűen össze kell adni a megfelelő pozíción áll elemeket: A + B = C

ÖSSZEADÁS: Kérdések: Kommutatív? Asszociatív? Van null elem? Ahol: Kérdések: Kommutatív? Asszociatív? Van null elem? Van inverz?

MÁtrix SZÁMSZOROSA Kérdések: 1A=? Igaz-e hogy (αµ) A= α(µA)? Az adott számmal a mátrix minden elemét megszorozzuk: Kérdések: 1A=? Igaz-e hogy (αµ) A= α(µA)? Igaz-e, hogy (α+µ)A= αA+µA? Igaz-e, hogy α(A+B)= αA+ αB?

n x m típusú MÁTRIXOK STRUKTÚRÁJA Kérdések és válaszok az összeadás tulajdonságaira: Kommutatív? Igen, igaz: A + B = B + A Asszociatív? Igen, igaz: (A + B) + C= A + (B + C) Van null elem? Igen, A + O = A Van inverz? Igen, A + (-A)=O –A elemei az A elemeinek ellentettjei (másképpen –A= (-1)A) A 3-ra KOMMUTATÍV CSOPORT Kérdések és válaszok a számszoros (FÜGGVÉNY!) tulajdonságaira: Igazak az alábbiak: 1A=A Vegyes asszociativitás: (αµ) A= α(µA) Vegyes disztributivitás: (α+µ)A= αA+µA Vegyes disztributivitás: α(A+B)= αA+ αA Az n x m méretű mátrixok a 3 műveletre és a számszorosra nézve VEKTORTERET alkotnak.

MÁtrixOK SZORZÁSA AB mérete

MÁtrixOK SZORZÁSA Ahhoz, hogy össze lehessen szorozni két mátrixot, az ELSŐ mátrixnak annyi oszlopa kell hogy legyen, ahény sora a MÁSODIKNAK! A . B = C (m  n)  (n  p) = (m  p) AB mérete

MÁTRIXOK SZORZÁSA

MÁTRIXOK SZORZÁSA-PÉLDA

EGY NÉPSZERŰ MÁTRIX:

Megjegyzés: Mátrix mindig szimmetrikus

MÁTRIX SZORZÁS TULAJDONSÁGAI AB ÁLTALÁBAN nem egyenlő BA Elképzelhető, hogy BA –t nem is lehet végrehajtani: Az is lehet, hogy „fordítva” is végrehajtható, de mérete más lesz: A  B = C (2  3)  (3  2) = (2  2) B  A = D (3  2)  (2  3) = (3  3)

Példa:

Egyenletrendezés valós számok esetében: Mátrixoknál: Ha C INVERTÁLHATÓ (később erre visszatérünk), akkor A = B

Példa: DE:

MÁTRIXOK SZORZÁSÁNAK TULAJDONSÁGAI Ha végrehajtható, akkor a mátrix szorzás ASSZOCIATÍV A(BC) = (AB)C Érvényes a disztributív szabály: A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC

DM: definíció: Az R gyűrű olyan halmaz, amin két művelet van értelmezve. A + és *, amelyek a követlező tulajdonságokat teljesítik: 1. (R,+) kommutatív csoport 2. * asszociatív 3. A disztributív szabály igaz : (a + b) * c = (a * c) + (b * c) a * (b + c) = (a * b) + (a * c)

NÉGYZETES MÁTRIXOK STRUKTÚRÁJA Mivel a mátrixok a fent definiált összeadásra nézve kommutatív csoportot alkotnak, továbbá a szorzás asszociatív, és a szorzás disztributív az összeadásra nézve ezért a négyzetes mátrixok a szokásos + és * műveletekre nézve GYŰRŰT alkotnak.

MÁTRIXOK SZORZÁSÁNAK TULAJDONSÁGAI AB ≠ BA nem érvényes Ha végrehajtható, akkor a mátrix szorzás ASSZOCIATÍV A(BC) = (AB)C Érvényes a disztributív szabály: A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC Négyzetes mátrixokra van egység, EA=AE, Vannak olyan négyzetes mátrixok, melyeknek van inverze

MÁTRIXOK INVERZE A = A=E = E= (AA*)=( A)A*=EA*=A* Ha egy műveletre vonatkozóan létezik egység, értelmes kérdés, van- e inverz? Definíció: Az A négyzetes mátrix inverzének nevezzük azt a - gyel jelölt (n x n-es) mátrixot, amelyre: A = A=E Volt (DM): Ha egy művelet asszociatív, akkor az inverz egyértelmű: = E= (AA*)=( A)A*=EA*=A*

ELNEVEZÉSEK Elnevezés: A mátrix SZORZÁSRA vonatkozó egységét EGYSÉGMÁTRIXNAK, inverzét (ekkor A négyzetes) INVERZ mátrixnak, ÖSSZEADÁSRA vonatkozó egységét NULLMÁTRIXNAK inverzét ELLENTETT mátrixnak nevezzük.  

HOGYAN LEHET KISZÁMÍTANI VALAMELY MÁTRIX INVERZÉT?

Az egyenletrendszerek együttható mátrixa ugyanaz, az eredeti mátrix. A jobb oldali konstansok különböznek csak. Ezért egyszerre is meg lehet megoldani ezeket az egyenleteket.

HOGYAN LEHET KISZÁMÍTANI VALAMELY MÁTRIX INVERZÉT? Inverz mátrix számítása Gauss-Jordan eliminációval:

Az egyenletrendszerek együttható mátrixa ugyanaz, az eredeti mátrix. A jobb oldali konstansok különböznek csak: Ezért egyszerre lehet megoldani ezeket az egyenleteket.

Inverz mátrix számítása Gauss-Jordan eliminációval , , Folytatás az előző oldalról: Például a 3. sor első elemének nullázása: Csak az utolsó oszlopban van eltérés. Ezért egyszerre is megoldhatjuk: , ,

.

. Ez eddig a GAUSS elimináció, most a főátló feletti elemeket is nullázzzuk – Gauss-Jordan

INVERZ MÁTRIX TULAJDONSÁGAI 1. 2. 3. 4. Ha C invertálható (nem szinguláris), akkor a mátrix egyenletet lehet a szokásos módon rendezni: BIZ.: szorozzuk be az egyenlet mindkét oldalát jobbról C-1-gyel. BIZ.: szorozzuk be az egyenlet mindkét oldalát balról C-1-gyel.

Tétel: Ha A és B invertálható mátrixok, akkor szorzatuk is az, és: Következmény:

Négyzetes mátrixok hatványai: Fentiek miatt van értelme mátrix polinomoknak is (később)