Kép- és modellalkotó eszközök az orvosi gyakorlatban 2. előadás: Matematikai és fizikai alapok

A kutatások kezdetei (fizikai alapok) M. Planck (1900): abszolút fekete test sugárzásának magyarázata Létrejött a kvantummechanika (kvantumfizika) Kvantumszámok: Főkvantumszám (n), mellékkvantumszám (l), mágneses kvantumszám (m), spinkvantumszám (s) Nobel-díj: 1919

A kutatások folytatódnak… N. Bohr (1913): atommodell Elektronpályák elmélete (diszkrét impulzusmomentumok) Nobel-díj: 1922

A rendszerezett táblázat

Elektromágneses sugárzás

A sugárzások jellemzői Hullámhossz/frekvencia: [m] vagy [Hz] Példa: röntgensugárzás 0.1 – 10 nm vagy 30 PHz – 30 EHz (3×10 16 – 3×10 19 Hz) Energia: [eV] → 1 eV = × J Példa: röntgensugárzás 100 eV – 100 keV (Elnyelt sugár)dózis: [Gy] (Gray) → 1 Gy = 1 J/kg Sugárzási dózis (dózisegyenérték): [Sv] (Sievert) → 1 Sv = 1 W*J/kg Példák: háttérsugárzás 50 mSv/év, fogászati RTG 5 μSv, mellkas CT 6-18 mSv

Atomok és változataik Atommag (protonok és neutronok) és elektronburok Tömegszám (nukleonok száma): protonszám (rendszám) + neutronszám Izotóp: adott elem különböző tömegszámú változatai Ismert elemnél: H, C, I, U… Stabil és instabil Radioaktivitás: instabil atomok bomlása (során keletkező sugárzás)

„Elektromos” kutatás J. Thomson (1897): az elektron felfedezése → Nobel-díj (1906) Katód-sugárzás: a katódról ( ⊖ ) az anód ( ⊕ ) felé áramló elektronok sugárzása

Fluoreszkálás Lumineszcencia, azaz fénykibocsátás Nem a foszforeszkálás! (mert az késleltetett fénykibocsátás) A jelenség abszorpciót (EM-sugárzás elnyelését) követő azonnali fénykibocsátás Orvosi felhasználás: Fluoreszcens mikroszkópia

Radioaktivitás (bomlás) H. Becquerel (1896) felfedezése → Nobel-díj (1903) Bomlási sor (pl. U átalakulása Pb-má) Az aktivitás (azaz a bomlás sebességének) mértékegysége: 1 Bq = 1 bomlás/s (régen 1 Ci = 3.7×10 10 Bq) Felezési idő: radioaktív izotópszám időbeli alakulása (mértékegysége: időmértékegység, pl. Ra esetén 1602 év, 235 U esetén 7×10 8 év)

Radioaktivitás (sugárzás) Ionizáló sugárzás: elegendő energiájú sugárzás atomok ionizációjához (azokból elektronok eltávolításához) Fajtái: Alfa: He (2 proton + 2 neutron) távozása Gyorsan gyengül (levegőben pár cm), papírlap elnyeli Béta: elektron (pozitron) távozása Hatótáv pár tíz cm, alumíniumlap elnyeli Gamma: foton (nagyfrekvenciájú EM-hullám) távozása Sok anyagon áthatol, ólomlemez elnyeli

A röntgensugárzás és létrehozása Katódsugárzás (gyors elektronnyaláb) fémnek ütközve (1) fékezési sugárzást és (2) karakterisztikus sugárzást okoz Fékezési sugárzás (Bremsstrahlung) folytonos (mindenféle frekvenciát tartalmazó) sugárzás Karakterisztikus sugárzási tüskék Fékezési sugárzás

Röntgen-cső

Fourier-sorok (egy kis emlékeztető) Joseph Fourier ( )

Euler-formula Leonhard Euler ( )

Fourier-transzformáció Fourier-sor kiterjesztése (periódus) + Euler-formula Eredmény: (integrál-transzformáció) (FT) Inverz (IFT):

Fourier-transzformáció - változatok Diszkrét FT – IDFT: Fast FT (FFT) – IFFT: Számos algoritmus (a cél flexibilitás és performancia): pl. Cooley–Tukey algorithm Trigonometriai változatok: DST-IDST, DCT-IDCT Alkalmazások: pl. konvolúció Többdimenziós változatok

A DCT és alkalmazása Számítása: A kernelfüggvények 2D-ben: Joint Photographic Experts Group (JPEG v. JPG)

Érdekesség (szférikus harmonikusok) Laplace-egyenlet és megoldása Tömegvonzás esetén a gravitációs potenciálra (geoid):

Legendre-polinomok (példák)

További harmonikusok Asszociált Legendre-polinomok (pl.)

Zernike-polinomok Számításuk Kóma! Asztigmatizmus!

A Hough-transzformáció

A Radon-transzformáció (2D)

A transzformáció eredménye Egy pont transzformáltja Egy egyenes transzformáltja Sinogram

Egy műholdképes példa

A Radon- és Fourier- transzformációk kapcsolata

Központi Szelet Tétel (Central/Fourier Slice Theorem) Fourier alapú Radon invertálási technika alapja Fourier-transzformáció és Radon-transzformáció közötti matematikai kapcsolat leírása: Radon-transzformáció 1D Fourier- transzformáció 2D Fourier- transzformáció

A Radon-transzformált inverze J.Radon eredeti képlete szerint: Visszavetítés (back-projection): ( ) Hilbert-transzformáció

Szűrt visszavetítés (Filtered Back-Projection) A formula: Gyakorlatban: „szűrés” approximáció

A szűrésről A zajok elnyomása érdekében aluláteresztő szűrés kell Ismertebb szűrők (az orvosi képfeldolgozásban): Ramachandran and Lakshminarayanan (Ram-Lak) Shepp-Logan Aluláteresztő cos-szűrő

A fantomok (phantom) Teszt-kép a számítási algoritmusok vizsgálatára Fejfantom: analógia a csont, az agy, a tumor megjelenésére Legismertebb számítási fantom a Shepp-Logan Eredeti fantom Rekonstruált fantom

Felhasznált irodalom Freeman, T.G. (2010):The Mathematics of Medical Imaging, A Beginner’s Guide, Springer Holics László (szerk, 1986): Fizika, Műszaki Könyvkiadó, Budapest Horváth Ferenc (szerk, 1994): A radiológia alapfogalmai, Medicina, Budapest Iniewski, K. (Ed, 2009): Medical imaging, Principles, Detectors and Electronics, Wiley Kári Béla (szerk): Elektronikus oktatási anyag kialakítása az élő szervezet strukturális összetevőinek és biokémiai folyamatainak képalkotó elemzésére Völgyesi Lajos: Fizikai geodézia és gravimetria, BME jegyzet Wikipédia