Dr. Bánkuti Gyöngyi Klingné Takács Anna OPERÁCIÓKUTATÁS Dr. Bánkuti Gyöngyi Klingné Takács Anna

Az operációkutatás tárgya Adott feltételek között optimális döntések meghatározását vizsgáló tudományág. Az ipari termelés optimális szerkezetének kialakításában jelentős szerepet kap. Eszközei: a lineáris programozás, a dinamikus programozás, a játékelmélet.

Az operációkutatás név eredete NEM SZAKMAI MATEMATIKAI TERÜLET NEVE HANEM: A II. világháborúban az USA-ban a katonai műveleteket (operációkat) segítő csoportokban dolgoztak matematikusok A háború után a ezen kutatók az iparban helyezkedtek el de az elnevezés megmaradt

A gazdasági folyamatok modellezésének lépései

Példa probléma Egy mezőgazdasági kistermelő 40 ha földön gazdálkodik. Úgy döntött, hogy repcét és kukoricát akar termelni, de repcét legfeljebb csak 30 hektáron. 120 000 Ft-ja van vetőmagra. A repcemag 1 000 Ft-ba, a vetőkukorica 4 000 Ft-ba kerül hektáronként. Repcén 40 000 kukoricán 100 000 Ft/ha a várható haszon. Hogyan vesse be a földjét, hogy a legmagasabb hasznot érje el?

A probléma modellje: korlátozó feltételek: célfüggvény A változók jelentése: x1 - repcevetési terület hektárban x2 - kukoricavetési terület hektárban korlátozó feltételek: célfüggvény

Lineáris programozás A lineáris programozás alapfeladata (normálfeladat) Invariáns alak: Kanonikus alak: Elnevezések: x komponensei: xi – döntési változók xi -  0 előjel korlát A . x  b - korlátozó (kényszer) feltételek, feltételi egyenletrendszer z - célfüggvény

Lineáris programozás Invariáns alak: Kanonikus alak: A kanonikus alakra hozás célja, hogy a lineáris algebrában tanult egyenlet-megoldási módszerrel (Szimplex algoritmus) megoldható alakra hozzuk a problémát

A probléma megoldásához válasszuk a normál szimplex módszert! Megengedhető (lehetséges, megvalósítható) megoldás:= olyan pozitív x melynek komponenseit a feltételi egyenletekbe helyettesítve azok mindegyike teljesül: L – Megengedhető megoldások halmaza L – konvex halmaz Triviális megengedhető megoldás: [x1,x2,x3] = [0,0,0]

Lineáris programozás Invariáns alak: Kanonikus alak: Kanonikus alak Szimplex táblája (induló tábla):

Lineáris programozás Induló tábla: Az egység mátrix rész elhagyható mert ezen vektorok megegyeznek az ei egységvektorokkal melyek már induláskor benne vannak a bázisban. A -z oszlopa azonos okból elhagyható mert em+1 = - z . (Ráadásul célfüggvény sorától eltekintve minden elem nulla – azaz transzformációkor sosem fog változni ez az oszlop) Induló tábla:

Lineáris programozás Induló tábla: Ezért a csökkentett méretű szimplex táblával dolgozunk a továbbiakban. A szokásos jelöléseknek megfelelően ei helyett ui-t írva. Induló tábla:

Módosított „normál szimplex” módszer Mivel b-ben minden táblában csak pozitív szám állhat és a célfüggvényt növelni kívánjuk. Csak „megengedhető bázistranszformáció” hajtható végre: generáló elem csak pozitív szám lehet (b + miatt) pozitív (maximális) célfüggvény együttható felett (z max miatt) a „legszűkebb” keresztmetszetnél (b + miatt)  + Min.! 

Szimplex módszer menete: Kiválasztjuk a célfüggvény sorából valamely (maximális) együtthatót és ennek oszlopában a „legszűkebb keresztmetszetnél választjuk a generáló elemet („pivot elem”) + Min.! 

A bázis csere végrehajtása A megfelelő ui-k és xi-k cserélődnek - generáló elem helyére a reciproka kerül - sorában osztunk a generáló elemmel - oszlopában a generáló elem (-1) szeresével osztunk - új elem = régi elem – (sorelem x oszlopelem) generáló elem - a következő bázis cserénél a célfüggvény sorában pozitív elemet kell keresni és a fölött kell a generáló elemet választani - az eljárás addig tart, amíg van pozitív elem a célfüggvény sorában

Grafikus megoldás:

Szimplex táblázattal: Induló tábl. x1 x2 u1 u2 u3 b 1 40 30 4 120 -z 100 Egységmátrix megjelenése ( később nem fogjuk kiírni) Generáló elem

A további szimplex táblázatok III. u1 u3 b x1 u2 x2 -z -20 -3200 II. x1 u3 b u1 10 u2 1 30 x2 -z 15 -3000 1/4 1/4

A kapott eredmények értelmezése A táblázatból kiolvasható bázis megoldás: III. u1 u3 b x1 u2 x2 -z -20 -3200 -1/3 Azt jelenti, hogy a kistermelő a területének 1/3 részét repcével, 2/3részét kukoricával kell bevetnie, a maximális haszna ekkor z = 3200 Ft. (Mj.: –z = - 3200 Z = + 3200) 1/3 1/3

A további szimplex táblázatok II. x1 u3 b u1 10 u2 1 30 x2 -z 15 -25 -3000 III. u1 u3 b x1 u2 x2 -z -20 -3200 1/4 -1/3 1/3 1/4 1/4 1/3