Slides for Quantum Computing and Communications – An Engineering Approach Chapter 7 Searching in an Unsorted Database Sándor Imre Ferenc Balázs

"Man - a being in search of meaning." Plato Searching in an Unsorted Database Prof. Sandor Imre

Objectives Finding a certain entry in a database N items of size. The DB is unsorted. The DB contains M copy of the requested entry. Best classical solution: N question. How can be exploited quantum phenomena ? x = ?

General model of quantum algorithms InitializationParallelization Amplitude ampl. Measu- rement Classical input Classical output Quantum output Quantum input

Grover operator

T = H

Grover operator

Geometrical interpretation

Required number of iterations

Error analysis

Calculation of M can be traced back to phase estimation on the Grover operator. Quantum counting – special phase estimation

Grover algorithm in practice

Summary Quantum computing has two faces: –New possibilities –New restrictions Searching in an unsorted database can be performed more efficiently in a quantum way: O(N ½ ). The structure of the Grover algorithm is according to the usual receipt, except amplitude amplification, which is iterative instead of a single step. Quantum counting proves to be useful if M is unknown. Forthcoming issues: Problems with the basic Grover algorithm –No guaranteed zero error probability. –Fixed initialization of the index register. –Searching only for equality.

Általánosított Grover-algoritmus 2-dimenziós bázis a V térben: Általánosított Grover-operátor: Egyes speciális állapotok nem képezhetők le.

Meghatározandó paraméterek és nem ismert!

Általánosított Grover-operátor Q alakja a V 2-dimenziós térben Q sajátértékei: Feltétel: legyen az, térben. Q megőrzi a teret.

Lépésszám Illesztési feltétel: lépésszám

Optimális lépésszám Az 1 valószínűségű találathoz szükséges lépésszám:

Beállítások Fázisbecslés O(ld 3 (N)) := a létrehozásához szükséges kapuk összessége := a felhasználó indító klasszikus állapota

A 2 dimenzióra le nem képezhető állapotok kezelése A 2-dimenziós bázis Adatbázis triviális egzisztencia tesztelés. Minden jelöletlen állapot amplitúdója 0 mérés 1 valószínűségű találattal. Minden jelölt állapot amplitúdója 0 a keresés nem vezet eredményre, ismétlés egyenletes amplitúdó eloszlással.

Kvantum egzisztencia tesztelés Cél: annak eldöntése, hogy a keresett elem egyáltalán előfordul-e az adatbázisban? Klasszikus bonyolultság: O(N). Speciális fázisbecslés a Grover-operátoron. Fázisbecslés: –Unitér operátor sajátértéke: –Fázis: –Fázistényező közelítése:

Kvantum fázisbecslés komplexitás: Kvantum bizonytalanság Klasszikus bizonytalanság p qbit

Kvantum bizonytalanság

Kvantum egzisztencia tesztelés Klasszikus bizonytalanság (Worst case eset): Komplexitás:

Kvantum egzisztencia tesztelés Hiba, ha az n/2 MSB biten 0-tól eltérő érték van.

Kvantum egzisztencia tesztelés Kvantum bizonytalanság: Komplexitás: p

Kvantum bizonytalanság

Kvantum szélsőérték keresés Klasszikus rendezetlen adatbázis Rendezés + Logaritmusos keresés A rendezés nem mindig tehető meg! A klasszikus logaritmusos keresés kombinálása kvantum egzisztencia teszteléssel

Kvantum szélsőérték keresés Adatbázis (függvény!): Feladat: A kereső algoritmus: Grover kereséssel: Komplexitás:

Questions?