Az informatika logikai alapjai INCK401 Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2014/2015. I. félév 2. gyakorlat

6. Két halmaz Descartes (direkt) - szorzata Azoknak a rendezett pároknak a halmazát, amelyeknek az első komponense az A-nak, a második komponense a B-nek eleme, az A és a B halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Jele: A x B A x B = { (x;y) | x ∈ A és y ∈ B } Ha |A|=n és |B|=m, akkor |A x B|=n*m Fontos művelet!

Descartes-szorzat Példa: A = {1; 2} B = {1; 3} A x B = {(1;1); (1;3); (2;1); (2;3)} 11. feladat: A = {1; 4} B = {2; 3; 4} A x B = ? 12. feladat: A = {1; 4; 7} Melyek elemei AxB-nek? (1;3) (7;2) (3;4) (4;4) (3;7) (4;1) (4;7) (2;7) (2;1) (7;4) (2;3) (1;4) Add meg a hiányzó elemeket! B x A = ?

6+1. n db halmaz Descartes (direkt) - szorzata Azoknak a rendezett elem-n-eseknek a halmazát, amelyeknek az első komponense az A1-nek, a második komponense a A2-nek, …, és az n-dik komponense az An-nek eleme, az A1, A2, …An halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Jele: A1 x A2 x … x An A1 x A2 x … x An = { (a1,a2,…,an) | a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, …, an ∈ An }

Halmazműveletek főbb azonosságai Két halmaz egyenlő, ha ugyanazok az elemeik. Kommutatív Asszociatív Disztributív Idempotens De-Morgan Stb… Ezt csak említem, nem fog kelleni.

2. Relációk Definíció: Az A és B halmazok Descartes- szorzatának egy R ⊆ AxB részhalmazát az A és B halmazok közötti (binér) relációnak nevezzük. Ha (a,b) ∈ R, akkor azt mondjuk, hogy „az a elem R relációban van b-vel”; aRb A=B esetén A-n értelmezett relációnak mondjuk.

2. Relációk Definíció: Az A halmazon értelmezett R ⊆ AxA relációt Ekvivalenciarelációnak nevezzük, ha R Reflexív (∀a ∈ A: aRa) Szimmetrikus (∀a, b ∈ A: ha aRb, akkor bRa) Tranzitív (∀a, b, c ∈ A: ha aRb és bRc, akkor aRc) Példa: = (feladat ellenőrizni)

2. Relációk Definíció: Az A halmazon értelmezett R ⊆ AxA relációt Féligrendezési relációnak nevezzük, ha R Reflexív Antiszimmetrikus (∀a, b ∈ A: ha aRb és bRa, akkor a=b) Tranzitív Példa: részhalmaz (feladat ellenőrizni)

2. Relációk Definíció: Az A halmazon értelmezett R ⊆ AxA relációt Rendezésnek nevezzük, ha R Féligrendezés és Minden a, b eleme A esetén: aRb vagy bRa Példa: A=R, ≤ (feladat ellenőrizni)

Példák, feladatok Legyen A a sík összes egyeneseinek halmaza! Ekvivalenciareláció-e az A halmazon a párhuzamosság? Melyek az ekvivalenciaosztályok? 13. Legyen A a sík összes egyeneseinek halmaza! Ekvivalenciareláció-e az A halmazon a merőlegesség? 14. Legyen R={(a;a); (a;b); (a;c)} az {a;b;c} halmazon értelmezett reláció! Minimum hány elemmel kell kiegészíteni az R halmazt, hogy az reflexív legyen? szimmetrikus legyen?

3. Függvények Definíció: Egy R ⊆ AxB relációt függvénynek nevezzük, ha abból, hogy (a,b)∈R és (a,c)∈R következik, hogy b=c. Bármely adott dologhoz legfeljebb egy dolgot rendelünk hozzá.

3. Függvények, mint egyértelmű hozzárendelések A hozzárendelések között vannak olyanok, amelyek az egyik halmaz minden eleméhez a másik halmaznak pontosan egy elemét rendelik hozzá. Ezek az egyértelmű hozzárendelések. Az egyértelmű hozzárendeléseket függvényeknek nevezzük. A függvényeket kisbetűkkel jelöljük: f,g,h, … stb. Azokat a függvényeket, amelyek mindkét irányban egyértelműek („megfordíthatóak”), kölcsönösen egyértelmű függvényeknek nevezzük.

3. Függvények A függvényt megadhatjuk táblázattal grafikonnal nyíl-diagrammal képlettel vagy egyéb utasítással Azt a halmazt, amelynek az elemeihez hozzárendeljük a másik halmaz elemeit, alaphalmaznak, a másik halmazt, amelybe a hozzárendelt elemek tartoznak, képhalmaznak nevezzük. A hozzárendelési szabály (utasítás) adja meg a függvényt, amely szerint az alaphalmaz elemeihez egyértelműen hozzárendeljük a képhalmaz elemeit.

Értelmezési tartomány - ÉT Az alaphalmaz azon elemeinek a halmaza, amelyekre a hozzárendelési szabály érvényes. Ez lehet maga az alaphalmaz is. Az értelmezési tartomány elemeit szokás változóknak is nevezni.

Értékkészlet - ÉK A képhalmaz azon elemeinek a halmaza, amely értékeket a függvény felvesz. Ez lehet a teljes képhalmaz is. Elemei a függvényértékek.

Tulajdonságok injektív: ha különböző elemekhez különbözőket rendel hozzá (pl. log, exp) szürjektív: minden elem előáll képelemként bijektív (kölcsönösen egyértelmű): ha injektív és szürjektív

Példák, feladatok f: R → R, x → 2x g: R → R , x → x2 stb…

Induktív definíció Egy sajátos és nagyon megbízható definíciós módszer. Elsősorban halmazok és függvények definiálására használható. A definíció két fő részből áll: A bázis megadása A szabály, vagy szabályok megadása

Példák Természetes számok halmaza: Pozitív páratlan számok halmaza :=P Bázis: a 0 egy természetes szám Bővítési szabály: ha a egy természetes szám, akkor a+1 is egy természetes szám Pozitív páratlan számok halmaza :=P Bázis: az 1 eleme P-nek Bővítési szabály: ha a eleme P-nek, akkor a+2 is eleme P-nek

Példák Öttel osztva kettő maradékot adó számok halmaza :=K Bázis: 2 eleme K-nak Bővítési szabály: ha a eleme K-nak, akkor a+5 eleme K- nak Hárommal osztható egész számok halmaza:=H Bázis: 3 eleme H-nak Bővítési szabályok: ha a eleme K-nak, akkor a+3 eleme K-nak ha b eleme K-nak, akkor b-3 eleme K-nak

Példák Faktoriális függvény (f) Bázis: Bővítési szabály: (0;1) eleme f-nek „(1;1) eleme f-nek” Bővítési szabály: ha (a;b) eleme f-nek, akkor (a+1; b*(a+1)) eleme f-nek (0;1); (1;1); (2;2); (3;6); (4;24); (5;120);…

Segédletek logikából Dr. Várterész Magda: Halmazokhoz: http://www.math.klte.hu/~kovacsa/Halmaz.pdf Dr. Mihálydeák Tamás: http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/Logika_html_2011_11_15.zip http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/Logika_my_twt-treeview.html http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/Inf_log_ea_06_07_1.pdf Dr. Várterész Magda: http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika/Logikafo.pdf http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika_peldatar/matlog.pdf http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika_peldatar/megoldas.pdf Lengyel Zoltán: http://www.inf.unideb.hu/~lengyelz/docs/logika.pdf