Lineáris algebra

Definíció: m sorba és n oszlopba rendezett számok táblázatát mxn-es mátrixnak nevezzük. Jelölés: Definíció: Két mátrix egyenlő, ha elemeik rendre megegyeznek. Definíció: Az A mátrix transzponáltja ha Definíció: A négyzetes mátrix, ha sorainak és oszlopainak száma megegyezik.

Definíció: E négyzetes mátrix egységmátrix, ha Definíció: Permutáló mátrix minden sorában és oszlopában pontosan egy 1 áll, a többi eleme 0. Definíció: Összegző mátrix soraiban oszlopaiban annyi 1 áll, amennyit összegezni akarunk, a többi elem 0. Megjegyzés: mátrix egy szám, így a mátrix a számok általánosításának tekinthető. Definíció: Speciális mátrix oszlopvektor pedig sorvektor Kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés állítható fel a szám n-esek és az n elemű oszlopvektorok között.

Speciális vektorok: vektor egységvektorok vektor

Műveletek vektorokkal: skalárral való szorzás - - vektorok lineáris kombinációja - vektorok közötti relációk Definíció: Elemek egy halmaza lineáris teret alkot, ha értelmezett az elemek között az összeadás, a számmal való szorzás művelete, ezekre a műveletekre vonatkozóan zárt a rendszer, továbbá teljesülnek az asszociativitás, kommutativitás, disztributivitás szabályai, valamint van egységelem és inverz az összeadásra nézve. A rendezett szám n-esek lineáris teret alkotnak.

Műveletek mátrixokkal: - - - Műveleti tulajdonságok Az mxn-es mátrixok lineáris teret alkotnak. Mátrixok szorzása: Definíció: Megjegyzés: A szorzás csak akkor végezhető el, ha A mátrix oszlopainak száma megegyezik B mátrix sorainak számával.

A mátrixszorzás tulajdonságai: - A mátrixszorzás nem kommutatív - A mátrixszorzás asszociatív - A mátrixszorzás disztributív. Mátrix inverze: Definíció: Az mátrix inverze az mátrix, ha ahol E a tér egységmátrixa.

Determinánsok Definíció: Minden négyzetes mátrixhoz hozzárendelünk egy valós számot, melyet a mátrix determinánsának nevezünk , az alábbi szabályok szerint: - - ahol előjeles aldetermináns

Megjegyzés: előjeles aldetermináns A determináns tulajdonságai: - Ha a mátrix egy sorának, vagy egy oszlopának az elemei nullák, a mátrix determinánsa 0. - Ha a mátrix két sorának, vagy oszlopának elemei rendre megegyeznek, a mátrix determinánsa 0. - A mátrix determinánsának értéke nem változik, ha hozzáadjuk a mátrix egy sorához, vagy oszlopához rendre a többi sorának vagy oszlopának lineáris kombinációját. - A mátrix és transzponáltjának determinánsa megegyezik. - Ha a mátrix egy sorát vagy egy oszlopát megszorozzuk egy r valós számmal, a determinánsa is r-szeresére változik. - Ha felcseréljük a mátrix két szomszédos sorát vagy oszlopát, determinánsa (-1)-szeresére változik. - A mátrix determinánsa független attól, hogy melyik sora vagy oszlopa szerint fejtjük ki.

A mátrix inverzének meghatározása Tétel: Az A mátrixnak akkor és csak akkor van inverz mátrixa, ha determinánsa nem 0 és ekkor ahol jelöli a mátrix előjeles aldeterminánsai által alkotott mátrix transzponáltját. Megjegyzés Az inverz mátrix meghatározható a permutáló mátrixok és összegző, számmal szorzó mátrixok segítségével is.

Mátrix sajátértéke, sajátvektora Definíció: Legyen A egy négyzetes mátrix. Az A mátrix sajátértékének nevezzük az összes olyan valós számot, melyhez létezik hogy A sajátértékhez tartozó vektort az A mátrix sajátvektorának nevezzük. Tétel: Legyen az A mátrix típusú mátrix. A valós szám akkor és csak akkor sajátértéke az A mátrixnak, ha a mátrixnak nincs inverze.( az egységmátrix) Definíció: A polinomot az A mátrix karakterisztikus polinomjának nevezzük. Tétel: Az A mátrix sajátértékei az A mátrix karakterisztikus polinomjának gyökei

Vektorrendszerek lineáris függetlensége,összefüggősége A továbbiakban elemeivel, azaz a rendezett szám n-esekkel foglalkozunk. Definíció: A vektort a vektorok lineáris kombinációjának nevezzük, ahol valós számok. Definíció: Az vektorrendszer lineárisan független, ha lineáris kombinációjuk a vektort csak triviális módon állítja elő, azaz ha a kombinációban szereplő valamennyi együttható 0. Megjegyzés A nem független vektorrendszert összefüggőnek mondjuk.

Állítás: -ben vektorok lineárisan függetlenek. Állítás: Lineárisan független rendszerben a vektor nem szerepelhet. Állítás: Lineárisan független rendszer részrendszere is lineárisan független. Állítás: Lineárisan összefüggő rendszerben legalább egy vektor kifejezhető a többi lineáris kombinációjaként. Állítás: Ha az vektorrendszerben egy vektor kifejezhető a többi lineáris kombinációjaként, a vektorrendszer összefüggő.

Definíció: Az vektorrendszer rangja az a szám, amely megegyezik a rendszer maximális elemszámú lineárisan független elemeinek számával. Példa: Az lineáris tér rangja n, mivel lineárisan függetlenek és a tér bármely vektora felírható ezek lineáris kombinációjaként. Tétel: Ha az vektorrendszer rangja r, akkor a rendszer minden vektora egyértelműen állítható elő a rendszer bármely r elemből álló lineárisan független elemeinek lineáris kombinációjaként.

Definíció: A lineáris térben felvehető lineárisan független vektorok maximális számát a lineáris tér dimenziójának nevezzük. Megjegyzés - Ha n lineárisan független vektor létezik, de minden n+1 elemű lineáris vektorrendszer összefüggő, akkor a tér dimenziója n. Példa dimenziója n . Definíció: Egy n dimenziós térben n elemű lineárisan független vektorrendszert bázisnak nevezünk. Egy lineáris térben több bázis is lehet. Tétel: A lineáris tér minden eleme egyértelműen állítható elő báziselemek lineáris kombinációjaként. Definíció: Írjuk fel a lineáris tér elemeit egy adott bázis elemeinek lineáris kombinációjaként. A felírásban szereplő együtthatók a térelemek koordinátái az adott bázisra vonatkozóan. - A koordináták tehát bázisfüggők.

Lineáris egyenletrendszerek Tekintsük az alábbi n ismeretlent tartalmazó m egyenletből álló egyenletrendszert ahol és . A nevezett egyenletrendszert lineáris egyenletrendszernek nevezzük. Ha minden i-re, akkor az egyenletrendszer homogén, különben inhomogén lineáris egyenletrendszerről beszélünk.

Az egyenletrendszer együtthatóiból álló mátrixot együttható mátrixnak nevezzük. Bevezetve az ismeretleneket tartalmazó oszlopvektort és a jobb oldalon szereplő konstansok alkotta oszlopvektort a lineáris egyenletrendszer az alábbi mátrixos formában írható.

Amint az könnyen igazolható a lineáris egyenletrendszer felírható még az együttható mátrix oszlopai által meghatározott oszlopvektorok lineáris kombinációjaként is: Bevezetve: ….. az egyenletrendszer alakba írható.

Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss eliminációval A gauss elimináció módszere egy igen hatékony algoritmus lineáris egyenletrendszerek megoldására, különösen ha sok egyenletünk van, sok ismeretlennel. A módszer azon alapszik, hogy az úgynevezett háromszög típusú lineáris egyenletrendszereket igen könnyű megoldani, amint azt a következő példán keresztül könnyen láthatjuk: Az együtthatókat táblázatba rendezve: Példa: ( Az adott típusú egyenletrendszert nevezzük háromszög típusú egyenletrendszernek.) Megoldás: t=………… z=………… y=………….. x=………….

A Gauss módszer elve Az egyenlő együtthatók elve alapján az eredeti egyenletrendszert egy vele ekvivalens háromszög típusú egyenletrendszerrel helyettesítjük, majd az így kapott egyszerűbb egyenletrendszernek határozzuk meg a megoldásait. Feladat: Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert: Az egyenletrendszer együtthatóit táblázatba írva:

x + y + 3z + 4t = 3 - y - 3z -12t =10 - y - 8z - 8t = 6 S’: - y -10z – 16t =14