Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc ÉLŐJÁTÉK/1: ÉN+A DERIVE: Nélküle? Vele? (heé, hé, bra, emo, der,1xű) 1.) BME, angol képzés (siker) 2.) BGF, TASSO1: lineáris algebrai feladatok megoldása („első BT-m”) 3.) BGF, TASSO2: GázMat tanulást segítő program fejlesztés: „Elég 1 perc a kudarchoz”, lásd az alantast: HéMaxAlak.dfw beolvasása után #28 Határérték(x^4/(1+x^3), [-inf,inf], [-1]) #29 Extrémum(x^4/(1+x^3), [-inf,inf], [-1], []) #30 Konvexitás(x^4/(1+x^3), [-inf,inf], [-1], []) 3)Érintő PINT HINT ÖDE HÉ EX KV 2) So_Sajat.mth LinearAlgebra.Mth LinaSom.dfw LinaGaussJordan1.dfw LinaTransz1.dfw LinaTransz2.dfw

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc ÉLŐJÁTÉK/2: ÉN + az EXCELTRANSZ: a „győztes” transzformációs eszköz, l sor SorMűveletek 10R1→ Sorműveletek elvégzése → 14. sort szorozza 10-el. 14. sor SorMűveletek R2, 15. sor SorMűveletek R1→ Sorműveletek elvégzése → 14.sor és 15.sor felcserélődik. 15. sor SorMűveletek R2-3R1 → Sorműveletek elvégzése → 15. sorhoz a 14. sor (-3)szorosa adódik. Mj. Hasonló sorműveletek szimultán is végezhetőek.

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc Logisztikusan a „káoszig”, valamint Barreto „kitűnőségéről” Diaszámok alakulása: 40 ↓ 26 ↑ 26+2 ↑ =33. A teljes helye: KKK? a DERIVE a TIÉD! DERIVE program+Kézikönyv+egyebek Letöltési helye: / KKK / Bejelentkezés: kkfk \ felhasználó jelszó SZERVEZETI EGYSÉGEK / OKTATÁSI SZERVEZETI EGYSÉGEK / MÓDSZERTANI INTÉZETI TANSZÉKI OSZTÁLY / DOKUMENTUMTÁR / DERIVE stb.

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc #55: InputMode := Word {menüről} {ODE1Simple.mth beolvasása menüről } > ODE1(x’ = kx(a - x), t = t0, y = x0) {parancssorból egyszerűsítéssel} 1) Folytonos idejű logisztikus egyenlet(ek) és megoldás(uk) (1.1), d.e. folytonos idejű logisztikus egyenlet, k.é.p. problémájának megoldása logisztikus függvény, ahol Kézzel? F1), megoldása DERIVE 6.1-el: {Megoldás menüről x-re nézve:} {utóbbit -vel osztva:}, megoldása, ahol

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc F2) A,,, megoldása MapleV.5-tel: Mo: > de:=diff(x(t),t)=k*x(t)*(a-x(t)); > dsolve(de,x(t)); dsolve({de,x(t0)=x0},x(t)); > simplify(%,exp); # a simplify(%,exp) exponenciális típusú egyszerűsítést végez, ahol _C1=c tetsz. k.é.p. megoldása,,

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc F4) k=0.5, a=4 -re, x(0) = 1, 2.5, 6, 0, 4 grafikus megoldása > restart: a:=4: k:=0.5: with(DEtools): Eq:=diff(x(t),t)=k*x(t)*(a-x(t)); # egy. > Points:={[0,1],[0,2.5],[0,6],[0,0],[0,4]}: # k.f. > DEplot(Eq,x(t),t=0..2.5,Points,x=-1..6, arrows=slim,linecolour=blue); #mo., ábra Az x(t)=a e.h. aszimptotikusan stabilis az x(t)=0 e.h. helyzet instabilis. - stab. -, úgy a.st. DEplot összevetése dsolve és display-el.

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc F4) Igazoljuk „elemi módon”, hogy a kezdeti érték probléma rögzített tetszőleges értékére egyértelműen megoldható megfelelő intervallumon és a megoldás: ahol Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az -n a következő esetekben: (x(t) a logisztikus függvény), (e.h.), (e.h.) F5) logisztikus függvény ábrája:

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc Mivel és, így -ben -nek maximuma van. Állítás. Ha tetszőleges, akkor egyetlen Inflexiós pontja: ahol és Ugyanakkor -nek a helyen abszolút maximuma van és ez Igazoljuk előző állításainkat a Maple program felhasználásával. > restart: x:=a*x0/(x0+(a-x0)*exp(-k*a*(t-t0))): xd:=diff(x,t): # > xdd:=diff(x,t,t): xddd:=diff(x,t,t,t): solve(xdd=0,t): tinf:=expand(%); # > xinf:=subs(t=tinf,x):xinf:=simplify(xinf,ln); # > simplify(subs(t=tinf,xddd)); # > subst(t=tinf,xd); # Mivel és, így valóban inflexiós pont.

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc ) Diffúziós modell, mint speciális folytonos idejű logisztikus egyenlet A tipikus diffúziós modell (2.1) ahol ─ N(t) a t időpontig egy innovációt ténylegesen elfogadók száma ─ m a potenciális elfogadók maximális száma ─ g(t) a diffúziós együttható ─ dN(t)/dt a a diffúzió terjedési sebessége Szokásos feltétel: Könnyen igazolható, hogy a (2.1) diffúziós modell az (2.2) alakba írható át, ahol F(t)=N(t)/m, a>0, b>0, m>0 és (2.2) az (1.1) szerint vizsgálható, továbbá eredményei visszaszállnak (2.1)-re: N’(t) (penetrációs ráta) maximuma N’(tinf)=(a+b)2m/ (4ab), 0 tinf-re konkáv;

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc Egyváltozós fázisgörbe

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc ) A folytonos idejű logisztikus egyenlet alkalmazása népesség becslésére egy populációs modellben UK népessége 1781-től 1931-ig (millió fő ) Malthus modell: dp/dt=a*p, p(0)=13 Logisztikus növekedési modell: (4.1) (4.2)

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc > eq1:=24.135=13*a/(13*b+(a-13*b)*exp(-50*a)): > eq2:=34.934=13*a/(13*b+(a-13*b)*exp(-100*a)): > fsolve({eq1,eq2},{a,b},{a= ,b= }); {a = , b = }

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc Ezek szerint az UK népessége 1781-től 1931-ben (millió főben )

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc /I. Diszkrét dinamikus rendszerekről. Stabilitás, pókháló diagram, stb. 1. def. elsőrendű diszkrét autonóm dinamikus rendszer 2. def. Ha akkor egyensúlyi helyzet def. Az egyensúlyi helyzet lehet stabilis, taszító, aszimptotikusan stabilis, ha..

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc /II. elsőrendű lin. egyenlet vizsgálata pókháló diagrammal vonzó e.h. taszító e.h.

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc /III. elsőrendű lin. egyenlet vizsgálata pókháló diagrammal

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc megoldása: 4/IV. elsőrendű lin. egyenlet vizsgálata pókháló diagrammal Néhány egyszerű elsőrendű differencia-egyenlet analitikus megoldása: Az és -re az egyetlen egyensúlyi pont. az egyetlen egyensúlyi pont.

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc /V. A logisztikus egyenlet diszkrét változata ábrázolása táblázatkezelővel mo. ábrája, ha ábrája ellenében y 0 ↔ $C$7 :0.01, 0.2, 0.3 a ↔ $C$5 b ↔ $C$6 értékeit változtatva a logisztikus görbe di- namikusan változik. ↔

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc /VI. Lineáris rekurzív egyenlet megoldásának ábrázolása Maple-lel megoldása -ra a cobweb eljárással: > f:=y-> *y; Egyensúlyi helyzet: > cobweb(f,1,20,0,5);

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc /VII. Diszkrét logisztikus egyenlet megoldásának ábrázolása Maple-lel megoldása -ra a definíció alapján: > restart: > t:='t': y:='y': Digits:=4: # Változók törlése, pontosság 4 jegyre állítása > y:=proc(t) option remember; *y(t-1) end: # y(t) definiálása > y(0):=1: # y 0 megadása > data:=[seq([t,y(t)],t=0..20)]:# (t,y(t)) pontpárok előáll. > plot(data,colour=black,thickness=2); # ábrázolás > data; [[0, 1], [ 1, 3.875], [ 2, 2.078], [ 3, 3.201], [ 4, 2.499], [ 5, 2.938], [ 6, 2.664], [ 7, 2.835], [ 8, 2.728], [ 9, 2.795], [10, 2.753], [11, 2.779], [12, 2.763], [13, 2.773], [14, 2.767], [15, 2.771], [16, 2.768], [17, 2.770], [18, 2.769], [19, 2.769], [20, 2.769]] Egyensúlyi helyzet:

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc /VIII Elaydi a diszkrét dinamikai rendszer egyensúlyi helyzetei stabilitásáról Stabilitási tétel: Jelölje az (6.1) dinamikai rendszer egy egyensúlyi pontját, ahol az f folytonosan differenciálható -ban. Ekkor ÁI. Ha akkor aszimptotikusan stabilis (vonzó) fixpont. (6.2) ÁII. Ha akkor instabilis és taszító fixpont. (6.3) ÁIII.-IV. -re további 5 i=1,2,3 -tól függő elégséges feltételt ad. Feladat. Vizsgáljuk Elaydi-val az alábbi diszkrét logisztikus rendszer stabilitását! (6.4) Az megoldásai az egyensúlyi helyzetek. Instabilis, taszító fixpont; a. stabilis, vonzó fixpont.

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc /IX Káosz és bifurkáció az alábbi logisztikus egyenlet kapcsán, ahol és {1. példa} (4.1) Azt a paraméterértéket, amelyben egy nemlineáris rendszer viselkedése radikáli- san megváltozik, bifurkációs értéknek hívják. A viselkedés aperiodikus, kaotikus. Megjegyzés1. A lineáris rendszer nem kaotikus. Megjegyzés2 ahol m=0,1,2,… tetszőleges.a) Legyen Ekkor a (4.1)-beli ábrája -ra: A)Ábra. A megoldás pályája nagyon gyorsan beáll egy 2 periódusú pályára.

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc Ha akkor kezdetben van ugyan némi kaotikus viselkedés, de utána a rendszer egy 3 periódusú pályára áll. (Átmeneti káosz.) 4/IX Káosz és bifurkáció az alábbi logisztikus egyenlet kapcsán, ahol és {2. példa} (4.1) Hommes példája tranziens káoszra:

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc Egyáltalán nem mutat periodikus jelleget, más szóval aperiodikus vagy kaotikus egyensúlyi helyzetei 4/IX Káosz és bifurkáció az alábbi logisztikus egyenlet kapcsán, ahol és {3. példa} (4.1)

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc /XI logisztikus egyenlet összefoglaló táblázata: Le í r á s é rt é keMegjegyz é sek Stabilit á s v á lt á s 1 Első bifurk á ci ó s pont Az egyens ú lyi pont instabill á v á lik (2- ciklus l é p be) 3 M á sodik bifurk á ci ó s pont pl. 2-ciklus instabill á lesz (4-ciklus l é p fel) ciklus instabill á lesz (8-ciklus l é p fel) A 2-ciklusok felső hat á ra (k á osz indul) 3.57 Az első p á ratlan-ciklus megjelen é se peri ó dus ú ciklus megjelen é se Kaotikus tartom á ny v é ge 4

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc /XII Példák logisztikus egyenlet pókháló diagramjaira 2-ciklus stabil 3-ciklus korlátos befedés „teljes” befedés

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc /XIII További példák log. egyenlet kaotikus viselkedésére A -nél valamivel nagyobb értékre a rendszer kaotikus viselkedést mutat: nincsenek szabályos ciklusok és egymáshoz közel induló megoldások is divergálnak egymástól mintegy tíz periódus után.

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc /XIV További példák log. egyenlet kaotikus viselkedésére Baumol és Benhabib (1989-es) példája: A rendszer kaotikus, de nem teljesen random, hirtelen változások jellemzik, és bár majdnem vízszintes lesz, utána újra oszcillálni kezd.

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc /1 Humberto Barreto: Intermediate Microeconomics with Excel (600o./57m.f. / 123lap)

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc /2 Humberto Barreto: Intermediate Microeconomics with Excel (600o. / 57mf / 123lap) Költségvetés korlátokkal (BudgetConstraint Hun 07).xls Bevezetés / Tulajdonságok / Módosítások / Kvótázá / Szubvenciók / Kérdés&Válasz

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc /3 Humberto Barreto: Intermediate Microeconomics with Excel (600o. / 57mf / 123lap) Költségvetés korlátokkal (BudgetConstraint Hun 07).xls Bevezetés / Tulajdonságok / Módosítások / Kvótázá / Szubvenciók / Kérdés&Válasz

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc /4 Humberto Barreto: Intermediate Microeconomics with Excel (600o. /57mf / 123 lap) Költségvetés korlátokkal (BudgetConstraint Hun 07).xls Bevezetés / Tulajdonságok / Módosítások / Kvótázás / Szubvenciók / Kérdés&Válasz

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc /5 Humberto Barreto: Intermediate Microeconomics with Excel (600.o. / 57mf/ 123lap) Költségvetés korlátokkal (BudgetConstraint Hun 07).xls Bevezetés / Tulajdonságok / Módosítások / Kvótázás / Szubvenciók / Kérdés&Válasz

Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, márc Irodalomjegyzék: 1) Ronald Shone: An Introduction to Economic Dynamics, 2001, Cambridge University Press. (237 oldal fejezetenként 5 gyakorló feladattal és a web-en fejezetenként 10 feladat a diákoknak, további tíz az oktatóknak, összesen mintegy 250 feladat és a megoldásuk is meg van adva Microsoft Excelben is.) 2) Л. С. Понтрягин: Обыкновенные дифференциалъные уравнения, 1965, Издателъство Наука, Москва 3) Ronald Shone: Economic Dynamics Phase Diagrams and Their Economic Application, second edition, 2002, (724 oldal, a Maple 6 és Mathematica 4 alkalmazások forrásszinten elérhetők a web-en.) 4) Humberto Barreto: Intermediate Microeconomics with Microsoft Excel, 2009, Cambridge University Press. (594 oldal, az Excel fájlok elérhetőek a Web-en.) 5) Kurt Jechlitschka, Dieter Kirschke and Gerald Schwarz: Microeconomics using Excel: Integrating Economic Theory, Policy Analysis and Spreadsheet Modelling, 2007, Routledge (240 oldal) Gracias Humberto (nacido en Cuba); thanks Ronald Shone; спасибо С.А.Ломов; danke Kurt Jechlitschka; köszönet Kary Atida magát tartó Köszönöm megtisztelő figyelmüket!