2005. Információelmélet Nagy Szilvia 8. Hamming-kódok

Széchenyi István Egyetem 2 Hamming-kódok A Hamming-kódok olyan perfekt kódok, amelyek egy egyszerű hibát képesek kijavítani. Megközelítés: adott n  k paritásszegmens- hosszhoz megtalálni a maximális k üzenethosszt, amelyre a kód egy hibát még tud javítani (azaz amelyre a kódtávolság még 2-nél nem kisebb). Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 3 Bináris Hamming-kód Bináris Hamming-kódok esetén mind a tömörített üzenet, mind a kódszavak csak 0-kból és 1-esekből állnak: b  {0,1} k, c  {0,1} n. A csatorna által a v -ben létrehozott (egyetlen) hiba csak 1 nagyságú lehet, csak a pozíciója kérdéses. Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 4 Bináris Hamming-kód Legyen a paritásmátrix Egy hiba esetén Δ c egyetlen 1-est (és n  k  1 db nullát) tartalmaz, ha az az egyetlen 1-es az i-edik helyen van, Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 5 Írjuk egymás alá az összes lehetséges nem nulla szindrómát – az összes nem csupa nullából álló n  k hosszúságú vektort: Az így kapott H T paritásmátrixszal szorozzunk meg egy vektort, A kapott szindrómát keressük meg H T - ben: ahányadik sorban az van, annyiadik helyen hibázott a csatorna. Arra a helyre ellentétes bitet írunk, és a vektort kijavítottuk. Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Bináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 6 H T oszlopainak száma n  k, az összes lehetséges n  k hosszú, 0-kból és 1-ekbők álló vektorok száma: Ebből egy tiszta nullából áll, így a H T sorainak száma: Néhány össze- tartozó n és k érték: nknkn=2 n  k  1 k Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Bináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 7 Nézzük az n=15, k=11 esetet, ha a kód szisz- tematikus. A H T oszlopainak száma 4, a 4 hosszúságú, 0-ból és 1-ből álló vektorok: egységmátrixot alkotnak, ők lesznek H T alsó 4 sora a tiszta 0 vektor nem kell. A többi vektort tetszőleges sorrendben felírva megkapjuk H T felső n−k sorát Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Bináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 8 A H T felső n−k sorát meghagyjuk, ez P ’. P ’ ellentettje – P – önmaga. Eléírjuk az egységmátrixot és megkapjuk G -t: Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Bináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 9 Legyen a k=11 hosszú üzenet: b =( ). A hozzárendelt c kódszó: c üzenetszegmense c paritásszegmense Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Bináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 10 Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Tegyük fel, hogy a 8. helyen hibázott a csatorna, a kapott vektor helyett A szindrómája ( H T -vel vett szorzata): Információelmélet – Hamming-kódok Bináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 11 Tegyük fel, hogy a 8. helyen hibázott a csatorna, a kapott vektor helyett A szindrómája ( H T -vel vett szorzata): dekódolt üzenet 8. sor8. helyen van a hiba ezt a bitet kell kicserélni a paritás- szegmenst el kell hagyni Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Bináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 12 Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Tegyük fel, hogy a 8. és 12. helyen hibázott a csatorna, a kapott vektor helyett A szindrómája ( H T -vel vett szorzata): Információelmélet – Hamming-kódok Bináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 13 Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód eszerint a 13. helyen van a hiba, ott javítva rossz üzenetet kapunk a Hamming-kód egynél több hiba javítására nem alkalmas, nem is módosítható úgy, hogy alkalmas legyen Információelmélet – Hamming-kódok Bináris Hamming-kód Tegyük fel, hogy a 8. és 12. helyen hibázott a csatorna, a kapott vektor helyett A szindrómája ( H T -vel vett szorzata):

Széchenyi István Egyetem 14 Nézzük az n=7, k=4 esetet, szisztematikus kódra. A H T paritásmátrix oszlopainak száma 3, a 3 hosszúságú, 0-ból és 1-ből álló vektorok: egységmátrixot alkotnak, ők lesznek H T alsó 3 sora a tiszta 0 vektor nem kell. A többi vektort tetszőleges (itt csökkenő) sorrendben felírva megkapjuk H T felső n−k sorát Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Bináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 15 A H T felső n−k sorát meghagyjuk, eléírjuk az egységmátrixot és megkapjuk G-t: Legyen a vett (csatornakódolt és torzult) üzenet és Mik lehettek az eredeti (tömörített) üzenetek, mivé dekódolja a vevő őket? Hányadik pozícióban rontott a csatorna? ( Emlékeztetőül a paritásmátrix: ) Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Bináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 16 Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Ellenőrizük, hogy G  H T = 0 : Információelmélet – Hamming-kódok Bináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 17 Egy számokból álló GF(N)={0, 1, …, N−1} halmaz véges test, vagy Galois-test, ha értelmezve van a t és u  V elemei között egy összeadás ( t + u  GF(N) ) és egy szorzás ( t  u  GF(N) ) amelyekre: 1.) a)t + u = u + t (az összeadás kommutatív) b)ha s  GF(N), ( s + t )+ u = s + ( t + u ) (asszociatív) c)  0, melyre  t  GF(N): t + 0 = t d)  t  GF(N)-re  −t, melyre t + (−t ) = 0 Matematikai kitérő – Véges testekről Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 18 Egy számokból álló GF(N)={0, 1, …, N−1} halmaz véges test, vagy Galois-test, ha értelmezve van a t és u  V elemei között egy összeadás ( t + u  GF(N) ) és egy szorzás ( t  u  GF(N) ) amelyekre: 2.) a)t  u = u  t (a szorzás kommutatív) b)ha s  GF(N), ( s  t )  u = s  ( t  u ) (asszociatív) c)  1, melyre  t  GF(N): t  1 = t d)  t  GF(N)-re  t −1, melyre t  ( t −1 ) = 1 Matematikai kitérő – Véges testekről Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 19 Egy számokból álló GF(N)={0, 1, …, N−1} halmaz véges test, vagy Galois-test, ha értelmezve van a t és u  V elemei között egy összeadás ( t + u  GF(N) ) és egy szorzás ( t  u  GF(N) ) amelyekre: 3.) a)ha s  GF(N), s  ( t + u ) = s  t + s  u (+ és  disztributív) b)  t  GF(N): t  0 = 0. Matematikai kitérő – Véges testekről Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 20 Példa: a {0,1} halmaz a következő szorzó és összeadó táblával: Ez a hagyományos összeadás és szorzás azzal a kitétellel, hogy ha az eredmény kivezetne a halmazból, akkor a 2-vel való osztás utáni maradékát vesszük  Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Matematikai kitérő – Véges testekről

Széchenyi István Egyetem 21 Legyen GF(5)={0, 1, 2, 3, 4} elemei között értelmezett összeadás és szorzás a szokásos számok közötti összeadás és szorzás azzal a megkötéssel, hogy ha az eredmény kivezetne a halmazból, akkor annak 5-tel való osztása utáni maradékát vesszük eredménynek (moduló 5 összeadás és szorzás) 1.) a) t + u = u + t b)ha s  GF(N), ( s + t )+ u = s + ( t + u ) c)  0, melyre  t  GF(N): t + 0 = t d)  t  GF(N)-re  −t, melyre t + (−t ) = 0 Ezek teljesülése egyértelmű: a modulo 5 osztás és az összeadás felcserélhető a nullelem a 0 Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Matematikai kitérő – Véges testekről

Széchenyi István Egyetem 22 Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód 1.) d)  t  GF(N)-re  −t, melyre t + (−t ) = 0 nem véges testek esetén egy szám ellentettje negatív lenne. Vegyük ennek 5-tel való osztása után keletkező maradékot, ez lesz a szám ellentettje: szám01234 ellentett05−1=45−2=35−3=25−4=1 Információelmélet – Hamming-kódok Matematikai kitérő – Véges testekről

Széchenyi István Egyetem 23 Legyen GF(5)={0, 1, 2, 3, 4} elemei között értelmezett összeadás és szorzás a szokásos számok közötti összeadás és szorzás azzal a megkötéssel, hogy ha az eredmény kivezetne a halmazból, akkor annak 5-tel való osztása utáni maradékát vesszük eredménynek (moduló 5 összeadás és szorzás) 2.) a) t  u = u  t b) ha s  GF(N), ( s  t )  u = s  ( t  u ) c)  1, melyre  t  GF(N): t  1 = t d)  t  GF(N)-re  t −1, melyre t  ( t −1 ) = 1 az egységelem az 1 Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Matematikai kitérő – Véges testekről Ezek teljesülése egyértelmű: a modulo 5 osztás és a szorzás felcserélhető

Széchenyi István Egyetem 24 Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód 2.) d)  t  GF(N)-re  t −1, melyre t  ( t −1 ) = 1 nem véges testek esetén egy szám inverze tört lenne. Az 5 prímszám, sem 2, sem 3, sem pedig 4 nem osztója, ha ezek közül kettőt összeszorzunk, nem kaphatunk 0 maradékot. A szorzótáblájuk: 2 inverze 3, 3-é 2, 4-é pedig önmaga. (1 inverze eleve önmaga)  2=4≡4 mod52  3=6≡ 1 mod52  4=8≡3 mod5 3 3  2=6≡ 1 mod53  3=9≡4 mod53  4=12≡2 mod5 4 4  2=8≡3 mod54  3=12≡2 mod54  4=16≡ 1 mod5 Információelmélet – Hamming-kódok Matematikai kitérő – Véges testekről

Széchenyi István Egyetem 25 Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód 2.) d)  t  GF(N)-re  t −1, melyre t  ( t −1 ) = 1 nem véges testek esetén egy szám inverze tört lenne. Az 5 prímszám, sem 2, sem 3, sem pedig 4 nem osztója, ha ezek közül kettőt összeszorzunk, nem kaphatunk 0 maradékot. A szorzótáblájuk:  2=4≡4 mod52  3=6≡ 1 mod52  4=8≡3 mod5 3 3  2=6≡ 1 mod53  3=9≡4 mod53  4=12≡2 mod5 4 4  2=8≡3 mod54  3=12≡2 mod54  4=16≡ 1 mod5 Információelmélet – Hamming-kódok Matematikai kitérő – Véges testekről Egy t szám inverze a GF (5) véges testen belül az az elem amellyel összeszorozva az eredmény 5-tel osztva 1 maradékot ad.

Széchenyi István Egyetem 26 Legyen GF(5)={0, 1, 2, 3, 4} elemei között értelmezett összeadás és szorzás a szokásos számok közötti összeadás és szorzás azzal a megkötéssel, hogy ha az eredmény kivezetne a halmazból, akkor annak 5-tel való osztása utáni maradékát vesszük eredménynek (moduló 5 összeadás és szorzás) 3.) a)ha s  GF(N), s  ( t + u ) = s  t + s  u b)  t  GF(N): t  0 = 0. Ez a két feltétel is teljesül. Például: 3  (2+1)=9≡4 mod 5 3  2+3  1=9≡4 mod 5 Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Matematikai kitérő – Véges testekről

Széchenyi István Egyetem 27 Az iménti eljárás általánosítható tetszőleges N prímszámra : Legyen GF(N)={0, 1, …, N−1} elemei között értelmezett összeadás és szorzás a szokásos számok közötti összeadás és szorzás azzal a megkötéssel, hogy ha az eredmény kivezetne a halmazból, akkor annak N-nel való osztása utáni maradékát vesszük eredménynek (moduló N összeadás és szorzás). A véges számtest feltételei közül az ellentett és az inverz létezését kivéve mindegyik triviálisan teljesül. Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Matematikai kitérő – Véges testekről

Széchenyi István Egyetem 28 Inverz és ellentett elemet az 5-ös esethez hasonlóan: −t = N − t A t −1 : t  GF(N)={t  0 + t  1 + t  2 + …+ +t  (N −1)} számok mindegyike más és más, így közülük az egyik biztosan 1 (az t inverze, amelyikkel összeszorozva az 1-et adja). Indoklás: Legyen s ≠ u, s, u  GF(N). Ha t  s = t  u, akkor így s −u = 0, ami ellentmond a kezdőfeltételnek. (vagy t=0, de az nem érdekes) Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Matematikai kitérő – Véges testekről

Széchenyi István Egyetem 29 Egy t  GF(N) elem hatványait is lehet értelmezni, mint önmagával vett szorzatait: Rekurzív definícióval t n-edik hatványa: adott t 1 =t amíg i < n t i + 1 = t i  t. Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Matematikai kitérő – Véges testekről

Széchenyi István Egyetem 30 A t  GF(N) elem rend je Az 1 rendje 1, a 0-nak nincs rendje. Az a t  GF(N) elem, amelyre t első N−1 hatványa mind különböző a véges test primitívelem e. Minden s  GF(N) előáll a primitívelem hatványaként. Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Matematikai kitérő – Véges testekről

Széchenyi István Egyetem 31 Nézzük meg a GF(5) elemeinek hatványait, rendjeit és azt, hogy hogyan állnak elő a primitívelemből: tt 2 t 3 t 4 rend primitívelem (3) hányadik hatványa ≡4 mod5 8≡3 mod5 16≡1 mod ≡4 mod5 27≡2 mod5 81≡1 mod ≡1 mod5 64≡4 mod5 256≡1 mod5 22 Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Matematikai kitérő – Véges testekről mindkettő lehet primitívelem, a 3-at választjuk.

Széchenyi István Egyetem 32 Nézzük a GF(7) elemeinek szorzótábláját, inverzeit, hatványait, rendjeit és azt, hogy hogy állnak elő a primitívelemből: inverz  ≡110≡312≡ ≡212≡515≡118≡ ≡112≡516≡220≡624≡ ≡315≡120≡625≡430≡ ≡518≡424≡330≡236≡16 Minden „≡” jel modulo 7 ekvivalenciát jelent. Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Matematikai kitérő – Véges testekről

Széchenyi István Egyetem 33 Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód tt 2 t 3 t 4 t 5 t 6 rend5?5? ≡48≡116≡232≡464≡134 39≡227≡681≡4243≡5729≡ ≡264≡1256≡41024≡24096≡ ≡4125≡6625≡23125≡ ≡ ≡1216≡61296≡17776≡ ≡1 23 Információelmélet – Hamming-kódok Matematikai kitérő – Véges testekről Nézzük a GF(7) elemeinek szorzótábláját, inverzeit, hatványait, rendjeit és azt, hogy hogy állnak elő a primitívelemből: Minden „≡” jel modulo 7 ekvivalenciát jelent.

Széchenyi István Egyetem 34 Nembináris Hamming-kód Nembináris Hamming-kódok esetén mind a tömörített üzenet, mind a kódszavak csak 0-n és 1-esen kívül más egész számokat is tartalmaznak: b  {0, 1, …, N  1} k, c  {0, 1, …, N  1} n, ahol N prím. A csatorna által a v -ben létrehozott (egyetlen) hiba nem csak 1 nagyságú lehet, így a pozícióján kívül a nagyságát is ki kell találni. Írjuk fel a paritásmátrixot itt is alakban. Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 35 Egyetlen hiba esetén a Δ c hibavektor egyetlen nem nulla elemet (és n  k  1 db nullát) tartalmaz. Legyen a hiba nagysága Δc, és legyen az i-edik pozícióban. Ekkor a szindróma: Ha H T sorainak – h i -knek – első nem nulla eleme 1, akkor a szindróma első nem nulla eleme pont Δc lesz. Írjuk egymás alá az összes lehetséges olyan nem nulla, n  k hosszúságú vektort, amelynek az első nem nulla eleme 1: Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 36 Írjuk egymás alá az összes lehetséges olyan nem nulla, n  k hosszúságú vektort, amelynek az első nem nulla eleme 1: ha az így kapott H T paritásmátrixszal szorzunk meg egy vektort, a kapott szindróma első nem nulla eleme lesz a hiba nagysága (Δc). A szindrómát a hiba nagyságával elosztva kapott új vektort ( s /Δc) megkeressük H T - ben, ahányadik sorban az van, annyiadik helyen hibázott a csatorna. Azon a helyen a kapott hibanagysággal (Δc-vel) korrigálunk, és a vektort kijavítottuk. Információelmélet – Hamming-kódok Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 37 Az összes lehetséges olyan nem nulla, n  k hosszúságú vektort, amelynek az első nem nulla eleme 1 száma, azaz az n kódszóhossz: Átrendezve: a nem csupa nulla n  k hosszú vektorok száma az első nem nulla elem N  1- féle lehet, ebből nekünk egy felel meg (az 1-es) Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 38 A gömbpakolási korlát (Hamming-korlát) =1 hibára (r=N): a Hamming- kódok perfekt kódok Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 39 Legyen N=7, n  k =2 és a kód szisztematikus. Ekkor n=8, k=6. A H T oszlopainak száma 2, az olyan 2 hosszúságú vektorok, amelyeknek az első nem 0 eleme 1: egységmátrixot alkotnak, ők lesznek H T alsó 2 sora A többi vektort tetszőleges sorrendben felírva megkapjuk H T felső n−k sorát Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 40 H T felső hat sorának ellentetteiből álló P mátrix: Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 41 Eléírva a 6×6-os egységmátrixot megkapjuk a kód generátormátrixát. Legyen a kódolandó üzenet b = A kapott kódszó c = b ∙ G = Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 42 A csatorna hibázzon a negyedik pozícióban 3-at. Az üzenet ekkor helyett lesz. A kapott szindróma: Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 43 Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód A szindróma első nem nulla eleme 3, azzal osztva a kapott vektor (1 1). Ez a H T mátrix negyedik sora. A negyedik helyen levő számból levonunk 3-at, majd elhagyjuk a paritásszegmenst, így megkapjuk az eredeti üzenetet: ( ) -ot

Széchenyi István Egyetem 44 A csatorna hibázzon a nyolcadik pozícióban 5-öt. Az üzenet ekkor helyett lesz. A kapott szindróma: Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 45 A 8. helyen levő számból levonunk 5-öt. (Az 5 levonása ekviva- lens  5≡2 mod 7 hozzáadásával) Elhagyjuk a paritásszegmenst, így megkapjuk az eredeti üzenetet: ( ) -ot A szindróma első nem nulla eleme 5, azzal osztva a kapott vektor (0 1). Ez a H T mátrix nyolcadik sora. Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód A csatorna hibázzon a nyolcadik pozícióban 5-öt. Az üzenet ekkor helyett lesz. A kapott szindróma:

Széchenyi István Egyetem 46 egységmátrixot alkotnak, ők lesznek H T alsó 3 sora Legyen N=3, n  k =3 és a kód szisztematikus. Ekkor n=13, k=10. A H T oszlopainak száma 3, az olyan 3 hosz- szúságú vektorok, amelyeknek az első nem 0 eleme 1: A többi vektort tetszőleges sorrendben felírva megkapjuk H T felső n−k sorát Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 47 H T felső hat sorának ellentetteiből álló P mátrix: Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 48 A P mátrixból keletkezett G : Legyen a kódolni kívánt üzenet b = A kapott kódszó c = b ∙ G = Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 49 A csatorna hibázzon a negyedik pozícióban 2-t. Az üzenet ekkor helyett lesz, mivel 2+2=4≡1 mod 3. A kapott szindróma: Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

Széchenyi István Egyetem 50 A szindróma első nem nulla eleme 2, azzal osztva a kapott vektor: (1 0 2), mivel 1/2 = 1 ∙ 2  1 = 1 ∙ 2 (2∙2=4≡1 mod 3, így 2 inverze önmaga). Ez a H T mátrix negyedik sora. A negyedik helyen levő számból levonunk 2-t azaz hozzáadunk 3  2=1-et, majd elhagyjuk a paritásszegmenst, így megkapjuk az eredeti üzenetet. Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód Hamming- kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód