Valószínűségszámítás Események

Valószínűségszámítás A valószínűségszámítás a matematika egyik ága, amely véletlen események vizsgálatával foglalkozik. A valószínűségszámítás nagyszámú véletlen kísérlet, tömegjelenség vizsgálatával foglalkozik. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Véletlen esemény Véletlen eseménynek nevezzük azt az eseményt, amelynek különböző kimenetelei lehetnek, és előre nem lehet tudni, hogy közülük melyik következik be. Véletlen kísérlet olyan véletlen esemény, amely akárhányszor megismételhető azonos körülmények között. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Elemi események Egy véletlen esemény egymást kölcsönösen kizáró lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Az eseménytér Egy véletlen esemény összes elemi eseményeinek halmazát eseménytérnek nevezzük. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példák Pénzérme feldobása – véletlen kísérlet: elemi események: fej (F) és írás (I) az eseménytér: Ω = {F,I}. Villámlás – véletlen esemény: elemi események: mikor következik be? az eseménytér: Ω = R+. Egy szabályos játékkocka egyszeri feldobása – véletlen kísérlet: eseménytér: Ω = {1,2,3,4,5,6}. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Esemény Az Ω eseménytér egy részhalmazát eseménynek nevezzük. A dobókockával páros számokat dobunk: A={2,4,6}. Két pénzérme egyidejű feldobásakor különböző oldalra esnek: B= {FI,IF} 1 3 5 Ω 2 4 6 A Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Feladatok Egy dobókockával kétszer gurítunk egymás után. Írd fel azt az eseményt, amely során a gurítások során kapott számok összege 7-től nagyobb. Egy dobókockát gurítunk, majd utána feldobunk egy pénzérmét. Írd fel azt az eseményt, hogy a dobókocával 4-től kiseb számot dobtunk és a pénzérme az írásra esett. Egy dobozban 3 piros és 4 fehér golyó található. Ha véletlenszerűen egyszerre kihúzunk három golyót, hogyan szól az az esemény, hogy pontosan egy fehér golyót húztunk ki? Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A biztos és a lehetetlen esemény Biztos eseménynek nevezzük azt az eseményt, amely biztosan bekövetkezik: A=Ω. Lehetetlen eseménynek nevezzük azt az eseményt, amely semmilyen körülmények között sem következik be: A=Ø. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A valószínűség Feltételezzük, hogy minden elemi esemény azonos eséllyel következik be. Az Ω eseménytér elemi eseményeinek számát az esemény lehetséges kimeneteleinek számának nevezzük (n). Az A eseményt alkotó elemi események számát a kedvező esetek számának nevezzük (m). Az A esemény valószínűsége a kedvező esetek számának és a lehetséges esetek számának hányadosa: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példák és feladatok Pénzérmét dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy fejet dobtunk? Mekkora a valószínűsége, hogy egy szabályos kocka dobásánál 6-ost dobunk? Mekkora a valószínűsége, hogy egy kocka dobásakor páros számot dobunk?

Feladatok A dobozban 12 fehér, 7 kék és 6 piros golyó található. Mekkora a valószínűsége, hogy: Egy pirosat húzunk ki? Két pirosat húzunk ki? Egy pirosat, egy kéket és egy fehéret húzunk ki? Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Feladatok Az A esemény valószínűsége 0,375, miközben az összes esetek száma 40. Mekkora lehet a kedvező esetek száma? A céllövészeten a találat valószínűsége 0,90. Körülbelül hányszor találtak célba, ha a 140-szer próbálkoztak? Az 52 lapos francia kártyacsomagból véletlenszerűen kihúzunk 2 kártyát. Mekkora a valószínűsége, hogy 9-est és dámát húzunk ki? Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Az események szorzata Az A és B események A·B szorzata az az esemény melynek során mint az A, mint a B esemény bekövetkezik. Ω A·B A és B Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példák Írd fel azt az eseményt, amely akkor következik be, amikor két kockát gurítva a kapott számok összege 2-vel és 3-mal osztható. A dobozban 1-től 36-ig számozott cédulák találhatóak. Ha egy cédulát kihúzunk, melyik az az esemény, amely szerint a rajta levő szám 20-tól kisebb és 3-mal osztható. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Független események szorzatának valószínűsége Az A és B eseményeket egymástól függetlennek tekintjük, ha az egyik bekövetkezése nincs hatással a másik bekövetkezésére. Ha A és B egymástól független események, akkor: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példák Mekkora a valószínűsége annak az eseménynek, amikor két kockát gurítva a kapott számok összege 2-vel és 3-mal osztható? A dobozban 1-től 36-ig számozott cédulák találhatóak. Ha egy cédulát kihúzunk, mekkora a valószínűsége annak az eseménynek, amely szerint a rajta levő szám 20-tól kisebb és 3-mal osztható. Két céllövő ugyanarra a céltáblára céloz. Az egyik p1 = 0,89, a másik p2 = 0,92 valószínűséggel érnek el találatot. Mekkora a valószínűsége annak, hogy mindketten eltalálják a célt? Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Az események összege Az A és B események A+B összege az az esemény melynek során az A, vagy a B esemény bekövetkezik. Ω A+B A vagy B Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példák Feldobunk egy kockát. Legyenek A, B, C, D a következő események: A: páros számot dobtunk; B: legfeljebb 3-ast dobtunk; C: legalább 3-ast dobtunk; D: páratlan számot dobtunk. Határozzuk meg a következő eseményeket: A+B, B+C, A+D, A·B, B·C, A·D. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példák Egy szobában 3 különböző lámpa van. Jelentse A azt az eseményt, hogy a mennyezeti lámpa kiég, B azt, hogy az állólámpa kiég és C azt, hogy az olvasólámpa kiég. Írjuk fel az A, B, C eseményekkel a következőket: Mindegyik lámpa kiég. Egyik lámpa sem ég ki. Egy lámpa kiég. Pontosan egy lámpa ég ki. Van olyan lámpa, amelyik világít. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Az események összegének valószínűsége Mekkora a valószínűsége, hogy két dobókockával gurítva, a kapott számok összege 3-mal vagy 5-tel osztható szám lesz? A={12,15,21,24,33,36,42,45,51,54,63,66} B={14,23,32,41,46,55,64} A+B={12,14,15,21,23,24,32,33,36,41,42,45,46,51,54,55,63,64,66} ?

Az események összegének valószínűsége Mekkora a valószínűsége, hogy egy dobozból, amelyben 20 darab 1-től 20-ig számozott golyó van, egy olyan golyót húzunk ki, amelyen levő szám 3-mal vagy 5-tel osztható? A={3,6,9,12,15,18} B={5,10,15,20} A+B={3,5,6,9,10,12,15,18,20}

Az események összegének valószínűsége Ω A+B • Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példák Két céllövő ugyanarra a célra céloz. Az egyik p1 = 0,89, a másik p2 = 0,92 valószínűséggel érnek el találatot. Mekkora a valószínűsége annak, hogy legalább az egyik eltalálja a célt? A dobozban 60 cédula található, 1-től 60-ig számozva. Véletlenszerűen kihúzunk egy cédulát. Mekkora a valószínűsége, hogy 3-mal vagy 4-gyel osztható számot húztunk ki? Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példák Két kockát dobtunk, és vizsgáljuk a dobott számok összegét. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a dobott számok összege páros vagy 3-mal osztható. A 32 lapos kártyacsomagból kihúzunk egy kártyát. Mekkora a valószínűsége, hogy a kihúzott kártya 10-es vagy piros lesz? Két egymástól független esemény valószínűsége p(A) = 0,63 és p(B) = 0,53. Határozd meg a p(A·B) és p(A+B) valószínűségeket. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példák A kétszámjegyű számok közül véletlenszerűen kiválasztunk egy számot. Mekkora a valószínűsége, hogy 2-vel, 3-mal vagy 5-tel osztható. Három céllövő ugyanarra a céltáblára céloz. Mekkora a valószínűsége, hogy legalább az egyik eltalálja a célt, ha a három céllövő találatának valószínűsége egyenként: p1 = 0,81, p2 = 0,85 és p3 = 0,93. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Az ellentett esemény Az A esemény komplementere (ellentettje) az esemény, amely pontosan akkor következik be, amikor A nem következik be. Jelölés: Az ellentett esemény valószínűsége: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példák Mekkora a valószínűsége, hogy a kocka nem fog 2-re esni? Két kockát dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy nem kapunk 4-től nagyobb összeget? A dobozban 3 fehér, 4 piros és 5 zöld golyó található. Mekkora a valószínűsége, hogy nem fogunk zöldet kihúzni? Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példák Két kockát dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy nem dobunk 7-es összeget? Két kockát dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy összegül 7-est, vagy nem páratlant dobunk? Ha az egyik céllövő p1=0,83, a másik pedig p2=0,88 valószínűséggel találja el a célt, mekkora a valószínűsége annak, hogy mindketten mellé lőnek? Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A visszatevéses mintavétel Példa: Egy dobozban 10 darab 1 dináros és 5 darab 2 dináros található. Egymás után kihúzunk 5 pénzérmét úgy, hogy a kihúzottat visszatesszük. Mekkora a valószínűsége, hogy közöttük 2 darab 1 dináros és 3 darab 2 dináros lesz? Az 1 dináros kihúzásának a valószínűsége: A 2 dináros kihúzásának a valószínűsége: Kedvező esetek: 11222 minden permutációja, összesen: A feladat megoldása:

Visszatevéses mintavétel Ha egy kísérletet azonos körülmények között n-szer végezünk el, annak a valószínűsége, hogy egy p valószínűségű esemény pontosan k-szor következzen be: Binomiális eloszlás.