Vektorterek Definíció. Legyen V Abel-csoport, F test, továbbá  : F  V  V egy külső művelet művelet , ahol (a, v)  melletti képe av . V vektortér F felett, ha teljesülnek a következők: (1) a(v+w) = av+aw , a  F és v,w  V. (2) (a+b) v = av+bv , a,b  F és v V. (3) (ab) v = a(bv) , a,b  F és v V. (4) 1 v = v , minden v V. -1-

V F V elemei : vektorok. F elemei : skalárok.  : F  V  V : skalár szorzás. (1) –nél mindkét + V –beli. (2) –nél az első + F –beli , a második V –beli. A két 0 elemet nem különböztetjük meg. V F skalárok vektorok -2-

T.1. tétel (vektortér tulajdonságai) Legyen V vektortér F felett, a, b  F és u, w  V, ekkor : (1) a 0 = 0 v = 0 . (2) (– a ) v = – (a  v) = a(– v ). (3) (– a )(– v) = a  v . (4) (–1) v = – v . (5) a(v – w) = av – aw . (6) (a – b) v = av – bv . (7) av = 0  a = 0 vagy v = 0 . -3-

Bizonyítás. (1) a0 = a(0 + 0) = a0 + a0 V –beli + reguláris  a0 = 0 . Hasonlóan: 0v = (0 + 0)v = 0v + 0v  0v = 0 . (2) (a + (– a )) v = 0v = 0 = av + (–a)v .  –(av) = (–a)v . Hasonlóan: –(av) = a(–v) . (3) (2)  (–a) (–v) = –(a (–v)) = –(–(a v)) = av . (4) (–1) v = –(1 v) = –v . -4-

= av + (–(aw)) = av – aw . (5) a(v – w) = a(v +(– w)) = av + a(–w) = = av + (–(aw)) = av – aw . (6) Hasonlóan, mint (5) . (7) Ha av = 0 és a  0  a-1  (av ) = (a-1a)v = 1  v = v = 0. (1)  Ha a = 0 vagy v = 0  av = 0 . -5-

Definíció. Legyen V vektortér F felett továbbá S  V . Ha a vektor összeadás megszorításával S – re és skalár szorzás megszorításával F  S –re S vektorteret alkot F felett, akkor S altere V –nek . V vektortér triviális alterei: V és { 0 } . Észrevétel. S altere V –nek  S zárt a vektor összeadásra és skalár szorzásra nézve . -6-

Következmény. Egy V vektortér tetszőleges altereinek „metszete” is altere V –nek . Ezek szerint képezhetjük az összes S –et tartalmazó altér metszetét  létezik a legszűkebb altér, mely tartalmazza S –t , S által generált altér. Definíció. Egy vektortér végesen generált, ha véges halmaz által generált. -7-

Ha S = { v } , ahol v  V , akkor Fv = { av  a  F } az S által generált altér. Ha V1 , ..., Vn alterei V –nek , akkor a legszűkebb V –beli altér, amely tartalmazz őket: V1 + ...+ Vn = { v1 + ...+ vn vi  V i } .  Ha S = { v1 , ..., vn } , akkor az S által generált altér: Fv1 + ...+ Fvn -8-

Példa. 1. Az Abel-csoport (V ; +) : V = Rn + : (a1, ..., an ) + (b1, ..., bn ) = (a1 + b1, ..., an + bn ) 2. A test : F = R 3. A skalárszorzás (művelet F V  V ): a  (a1, ..., an ) = (aa1, ..., aan ) Rn végesen generált, hiszen Rn = R(1, 0, 0, ..., 0 ) + R(0, 1, 0, ..., 0 ) + ... + + R(0, 0, 0, ..., 1 ) -9-

Bizonyítható :  V  { 0 } vektortérhez  v1 , ..., vn  V : V  eleme egyértelműen írható fel ilyen alakban: a1v1 + ...+ anvn V vektortér { v1 , ..., vn } nemüres részhalmaza lineárisan független, ha -10-

Definíció. V vektortér nemüres { v1 , ..., vn } részhalmaza a V bázisa , ha lineárisan független és generálja V –t . A példában bázis: { (1, 0, 0, ..., 0 ), (0, 1, 0, ..., 0 ), ...,(0, 0, 0, ..., 1 ) } T.2. tétel (vektortér bázisa) Tetszőleges végesen generált V  { 0 } vektortérnek létezik bázisa és V bármely bázisának ugyanannyi eleme van. Definíció. Egy végesen generált V  { 0 } vektortér valamely bázisának elemszáma V dimenziója (dim(V)) . Továbbá dim( { 0 } ) = 0 . -11-

Testbővítések Definíció. Legyen F tetszőleges test. K az F részteste, ha K  F és K maga is testet alkot az F műveleteivel. Jelölés F : K Ekkor F a K test bővítése. Ha K  F , akkor K valódi részteste F –nek , illetve F valódi bővítése K –nak . -12-

T.3. tétel (test karakterisztikája) Legyen F test és K részteste F –nek, ekkor F és K karakterisztikája megegyezik. Véges test karakterisztikája prímszám. Bizonyítás. Triviális, hiszen a testek legalább kételemű gyűrűk. Definíció. Egy test prímtest, ha nincs valódi részteste. Résztestek metszete résztest  F test összes résztestének metszete résztest F –ben  a legszűkebb résztest F –ben  nincs valódi részteste  prímtest . -13-

Definíció. Ha K az F –nek a legszűkebb részteste, akkor K az F prím részteste (prímteste). jelölés K = Fp Észrevételek. – Test prím részteste prímtest. – Ha F a K test bővítése, akkor prím résztesteik megegyeznek . -14-

T.4. tétel (prím résztestek) Tetszőleges F test prím részteste izomorf Zp –vel, ha char(F) = p Q –val, ha char(F) = 0 . Bizonyítás. p prímszám  Zp prímtest. 0, e  Fp . char(F) = p : (Fp, +) elemei : en alakúak, azaz Fp = { 0 = e0, e1, ..., ep-1 } . izomorfizmus Zp = { 0 = 10, 11, ..., 1p-1 } . -15-

R is test  R résztest F –ben. char(F) = 0 : Legyen ahol ke = e + e + ... + e . Tudjuk Izomorfizmus Q és R között. R is test  R résztest F –ben. Továbbá : e  Fp  R elemei Fp –ben vannak.  R  Fp . Fp a legszűkebb résztest F –ben  Fp = R  Fp is izomorf Q –val . -16-

 igazak a következő összefüggések : Megjegyzés. Az előző tétel értelmében minden p karakterisztikájú test Zp bővítése, és minden nullkarakterisztikájú test Q bővítése. T.5. tétel (testbővítés vektortér) Ha K részteste F –nek, akkor F K feletti vektortér. Bizonyítás. Most K elemei egyúttal F elemei is, tehát a skalár szorzás az F –beli multiplikatív művelet.  igazak a következő összefüggések : (1) a(v+w) = av+aw , a  K és v,w  F. (2) (a+b) v = av+bv , a,b  K és v F. (3) (ab) v = a(bv) , a,b  K és v F. (4) 1 v = v , minden v F. -17-

Definíció. Legyen egy K részteste, M egy részhalmaza F –nek . K(M) a K test M halmazzal való bővítése, ha F –nek a legszűkebb részteste, mely tartalmazza K –t és M –et is. Ha M = { α } alakú, valamely α  F –re , akkor K(α) egyszerű bővítés az α bővítő elemmel. Definíció. Legyen egy K részteste F –nek, és α  F . Ha α gyöke egy nem nulla K feletti polinomnak, akkor α algebrai elem K felett . F algebrai bővítése K –nak, ha F minden eleme algebrai K felett. -18-