Gazdasági matematika II. AV_PNA202 Matematika II Gazdasági matematika II. AV_PNA202 Matematika II. AV_KMNA202, AV_TNA102 TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK, TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FELTÉTELES SZÉLSŐÉRTÉKSZÁMÍTÁSA

Többváltozós függvény fogalma Amikor egy X: a1,a2,...,an bázissal adott vektortérbeli vektorokat bázistranszformáció segítségével leképzünk egy Y:b1,b2,...,bk bázisvektorú térbe, akkor a leképezést végző A: XY függvényt többváltozós függvénynek nevezzük

Többváltozós függvény fogalma Mi csak az X=Rn , Y=R esettel fogunk foglalkozni (többváltozós valós függvény). Jelölése: f: D (Rn) R, vagy y = f(x1,x2,...,xn) ill. y = f(x) (itt x n elemű vektort jelent) Példa: f: R2 R,

2) Euklidészi tér Az x és y vektorok belső szorzata Rn –ben: n=2-re: (ez a középiskolában már megismert skaláris szorzat) A belső szorzattal ellátott Rn vektorteret n dimenziós Euklidészi térnek nevezzük. Segítségével definiálható: - egy vektor hossza : - két vektor távolsága : d(x,y) = x-y Az olyan teret, melyben két pont távolsága értelmezve van, metrikus térnek nevezzük.

3) Szélsőérték, határérték, folytonosság Az x0Rn pont r sugarú nyílt (gömb)környezete G(x0,r)= xRn   x-x0 r. Az f: D(Rn) R n változós valós függvénynek az x0D pontban helyi (lokális) maximuma van, ha az x0-nak valamely G(x0,r) környezetében f(x0)f(x) xDG(x0,r) Szigorú helyi maximum van x0-ban, ha xx0 esetén a  reláció áll fenn az előző egyenlőtlenségben.

Globális szigorú maximumról beszélünk, ha a fenti relációk nem csak x0 valamely környezetében, hanem az egész értelmezési tartományon fennállnak. Hasonlóképp értelmezhető a lokális / globális (szigorú) minimum is. Az f(x) n változós függvény határértéke az x0-ban y0, ha bármely lim m xm = x0 (ahol xm D\(x0)) sorozat esetén a függvényértékek f(xm) sorozata konvergál y0 -hoz. Jele: lim xx0 f(x) = y0

A folytonosság is az egyváltozós függvényeknél megismerthez hasonlóan vizsgálható. Az f(x) folytonos az x0D pontban, ha - x0 -ban értelmezve van, - létezik x0 -ban a határértéke és - a határérték megegyezik a helyettesítési értékkel.

4) Parciális derivált, derivált függvény, deriválási szabályok, magasabbrendű derivált függvények DEF.: Az f: D (Rn) R n változós valós függvény a(a1,...,an)D pontbeli xj változó szerinti parciális deriváltja a ha a határérték létezik. Az a pontbeli függvényérték változásának sebességét adja meg a j. változó irányában. Egyéb jelölések:

Az xj változó szerinti parciális derivált függvény olyan függvény, mely az f(x) n változós függvény értelmezési tartományából vett xD pontokhoz az (j=1,2,...,n) értékeket rendeli. Az f(x) függvény xj irányú változását jellemzi – a többi változó állandó értéken tartása mellett. Egy f(x) többváltozós függvény folytonosan deriválható egy D halmazon, ha annak minden aD belső pontjában léteznek a parciális deriváltak és a derivált függvények folytonosak.

Folytonosan deriválható parciális derivált függvények gyakorlati meghatározása: Az xj-n kívüli változók - átmenetileg - konstansok Deriválási szabályok: az egyváltozós függvényeknél megismert szabályokhoz hasonlók Például: Legyenek f(x), g(x) n változós, folytonosan deriválható függvények és cR. h(x) = c f(x) xj szerinti deriváltjai (j=1,2,…,n) h(x) = f(x)+g(x) xj szerinti deriváltjai (j=1,2,…,n)

A többváltozós függvény első- (másod-, A többváltozós függvény első- (másod-,...) rendű derivált függvényeinek parciális deriváltjait (amennyiben ezek léteznek) másod- (harmad) rendű parciális deriváltaknak nevezzük. Pl. f”xjxi(a) az f(x) függvény xi és xj változó szerinti másodrendű parciális deriváltja az a pontban: i=j esetén tiszta másodrendű parciális deriváltnak ij esetén vegyes másodrendű parciális deriváltnak nevezzük. Az f: D (Rn) R (kétszer folytonosan deriválható) n változós valós függvény vegyes másodrendű parciális derivált függvényei egyenlők: minden i,j=1,...,n, ij és xD -re.

Példa: Adjuk meg az alábbi függvény első és másodrendű parciális derivált függvényeit (jelölje x és y a két változót) f(x,y)=10-3x2+y2-4x3y+ln(x2y3) f’x(x,y)= -6x-12x2y+2/x f’y(x,y)=2y-4x3+3/y f”xx(x,y)=-6-24xy-2/x2 f”yx(x,y)=-12x2 f”xy(x,y)=-12x2 f”yy(x,y)=2-3/y2

5)Többváltozós függvény szélsőértékének meghatározása TÉTEL: A szélsőérték létezésének szükséges feltétele: Ha az f: D(Rn)R függvénynek az aD pontban lokális szélsőértéke van, és itt léteznek a parciális deriváltak, akkor ezek mindegyike nulla : j=1,...,n (1) (1)-ből viszont nem következik, hogy van a-ban szélsőérték. Ezért a parciális deriváltakból képzett homogén egyenletrendszer megoldásai adják a lehetséges szélsőérték helyeket, amelyek között lehetnek a tényleges szélsőérték helyek is.

A szélsőérték létezésének elégséges feltétele: A lehetséges szélsőérték helyek (Pl. a) behelyettesítésével készítsük el a i,j=1,2,…,n értékekkel a determinánst.

Ha az ezekből képzett D1=d11, D2= , ... sarokdeterminánsok előjele a vizsgált pontban Dk(a)0 minden k=1,2,...,n esetén, akkor a-ban minimum D10, D20, D30,... azaz váltakozó előjelűek az adott sorrendben, akkor a-ban maximuma van a függvénynek Egyéb esetekben további vizsgálatokra van szükség. A szélsőérték nagyságát a helyettesítési érték, f(a) adja.

Speciálisan a kétváltozós függvényekre az elégséges feltétel: D2>0 esetén biztosan van szélsőérték, mégpedig D1=d11= f ”x1 x1 > 0 esetén minimum D1=d11= f ”x1 x1 < 0 esetén maximum van. Ezzel egyenértékű: D2= f ”x1 x1 f ”x2 x2 –(f ”x1 x2 )2 > 0 esetén van szélsőérték mégpedig f ”x1 x1 > 0 esetén minimum f ”x1 x1 < 0 esetén maximum D2 < 0 esetén biztosan nincs szélsőérték D2 = 0 esetén további vizsgálat szükséges.

Példák 1) f(x,y,z)=x4-32x-2y3+8y+4z2+4yz szélsőértékének meghatározása Szükséges feltétel: f’x(x,y,z)=4x3-32=0 f’y(x,y,z)=-6y2+8+4z=0 f’z(x,y,z)=8z+4y=0 Az első egyenletből x=2 A harmadikból 4z=-2y, ezt a második egyenletbe helyettesítve -6y2-2y+8=0, ahonnan y1=-4/3, y2=1 z=-1/2y így z1=2/3, z2=-1/2 A lehetséges szélsőérték helyek: a1(2,-4/3,2/3), a2(2,1,-1/2)

Elégséges feltétel: f”xx(x,y,z)=12x2 f”xy(x,y,z)=0 f”xz(x,y,z)=0 f”yy(x,y,z)=-12y f”yz(x,y,z)=4 f”zz(x,y,z)=8 a1(2,-4/3,2/3)-re: D1=48 D2= D3= Mivel minden sarokdetermináns pozitív, minimum van az a1 helyen A minimum értéke f(2,-4/3,2/3)= -65 5/27 a2(2, 1, -1/2)-re: D1=48 D2= D2 nem lehet negatív, ezért az a2 helyen nincs szélsőérték

2) f(x,y)=x4+y4+1 szélsőértékének meghatározása Szükséges feltétel: f’x(x,y)=4x3=0 x=0 f’y(x,y)=4y3=0 y=0 Lehetséges szélsőérték hely: a(0,0) Elégséges feltétel: f”xx(x,x)=12x2 f”xy(x,y)=0 f”yy(y,y)=12y2 a(0,0): D1=0, D2=0 De itt van szélsőérték, mégpedig minimum. A minimum értéke f(0,0)=1

3.) V térfogatú téglatest formájú tároló milyen élhosszak mellett készíthető el a legolcsóbban, ha homlokzata „a”, egyéb oldalfalai „b”, teteje pedig „c” eFt-ba kerül négyzetméterenként? Jelentse x a homlokzat, y az oldallapok hosszát, z a magasságot. A költségfüggvény: K=axz+bxz+2byz+cxy (x,y,z>0) A térfogat V=xyz képletéből z-t kifejezve és a költségfüggvénybe írva K(x,y)=(a+b)V/y + 2bV/x + cxy K’x(x,y)= -2bV/x2 + cy=0 K’y(x,y)= -(a+b)V/y2 + cx=0 2bV=cyx2 (a+b)V=cxy2

A két egyenletet egymással osztva y=((a+b)/2b) x , majd Pl. V=30m3, a=2eFt/m2, b=1eFt/m2, c=5eFt/m2 esetén x=2m, y=3m, z=5m Könnyen ellenőrizhető a második deriváltakkal, hogy itt minimum van. K(x,y) megadja a minimum értékét.

1) A feltételek egyenlőségek Lagrange módszer Úgy keressük az f(x), xD(Rn) n-változós függvény szélsőértékét, hogy egyidejűleg a gi(x)=0 (i=1,2,...,m) formában adott egyenlőségek is teljesüljenek. Lagrange féle multiplikátorok módszere (szükséges feltétel): Ha az f(x) függvénynek feltételes szélsőértéke van az „a” pontban, akkor az f(x) függvényből, a gi(x)=0 feltételekből és a λi skalárokból (a Lagrange-multiplikátorokból) képzett F(x)= f(x)+ ∑i=1m λi gi (x) Lagrange függvény összes parciális deriváltja zérus lesz az „a”-ban: F’xi(a)=0 (i = 1,2,...,n)

Fordítva viszont nem igaz az állítás. Ezért az f(x) függvény feltételes szélsőérték helyeit az alábbi n+m egyenletből álló egyenletrendszer megoldásai között kell keresni: F’xi(x)= 0 (i = 1,2,...,n) gi(x) = 0 (i = 1,2,...,m) A kapott lehetséges szélsőérték helyek közül logikai/szakmai meggondolásokkal választjuk ki a tényleges szélsőérték helyeket. Ezeket az f függvénybe helyettesítve kapjuk a feltételes szélsőértékeket.

Példa: Határozzuk meg az f(x, y) = x + y függvény szélsőértékhelyét, ha x2 + y2 = 4. Megoldás. Felírjuk a Lagrange-függvényt: L(x, y, ) = x + y +  · (x2 + y2 − 4). Ezek után az elsőrendű parciális deriváltak: L’x = 1 + 2x, L’y = 1 + 2y, L’ = x2 + y2 − 4.

A deriváltakat egyenlővé tesszük nullával: 1 + 2x = 0, 1 + 2y = 0, x2 + y2 − 4 = 0. Szorozzuk meg az első egyenletet y-nal, a másodikat x-szel, majd vonjuk ki egymásból a két egyenletet. Az eredmény: x = y. Ezt helyettesítjük az utolsó egyenletbe. A másodfokú egyenlet megoldásaként a ( , ) és (− ,− ). A megfelelő szélsőértékek rendre: 2 és −2 .

Példák: Egy 36 dm2 területű, téglalap formájú lemezből maximális térfogatú, egyenes hasáb formájú etetőt készítünk. Milyenek legyenek a lemez oldalai? Mekkora szélességű sáv felhajtásával készíthető a kívánt etető? Jelölje x,y a lemez oldalait, z a felhajtás méretét! V(x,y,z)=(x-2z)(y-2z)z maximumát keressük xy-36=0 (xy=36) feltétel mellett A Lagrange függvény: F(x,y,z, λ)=(x-2z)(y-2z)z +λ(xy-36) Innen F’x(x,y,z)= yz-2z2+ λy=0 F’y(x,y,z)= (x-2z)z+ λx=0 F’z(x,y,z)= -2(yz-2z2)+(x-2z)(y-4z)=0 xy=36

Ebből a lehetséges szélsőértékhelyek (x,y,z>0 mellett): a1(6,6,3) és a2(6,6,1) a1(6,6,3) helyen a szélsőérték V(6,6,3)=0 dm3, ami a függvény feltételes minimuma, a2(6,6,1) helyen a szélsőérték V(6,6,1)=16 dm3, ami a függvény feltételes maximuma A feltétel, xy=36 mindkét esetben teljesül.

2. Az f(x1,x2,x3)=x12+3x1x2+2x22+4x1+0.5x32+12 függvénynek hol van szélsőértéke, ha a változókra adott feltételek x1+x2+x3=4 és x1-x3=2 Az egyszerűbb írás miatt használjuk x,y,z-t változókként! A Lagrange függvény: F(x,y,z,λ1,λ2)=x2+3xy+2y2+4x+0,5z2+12+λ1(x+y+z-4)+λ2(x-z-2) A 3+2 egyenletből álló homogén egyenletrendszer: F’x(x,y,z,λ1,λ2)=2x+3y+4+ λ1+λ2=0 F’y(x,y,z,λ1,λ2)=3x+4y+ λ1 =0 F’z(x,y,z,λ1,λ2)= z+ λ1 -λ2=0 g1(x,y,z)= x + y+ z-4 =0 g2(x,y,z)= x - z-2 =0 Az egyenletrendszer megoldása: a(4,-2, 2) Itt minimuma van a függvénynek: f(4,-2, 2)=30 A feltételek is teljesülnek.

2) A feltételek egyenlőtlenségek Induljunk ki az alábbi feladatból: mely termékekből mennyit termeljen egy vállalkozás a rendelkezésre álló erőforrások működtetésével, hogy a legnagyobb eredményt (árbevételt, jövedelmet) érje el. Az ehhez szükséges optimális termékszerkezetet keressük. Pl.: Két termék 1-1 darabjának előállításához szükséges erőforrások (nyersanyag, élő munka, gépi munka): az elsőhöz 3; 4; 2egység, a másodikhoz 2; 0; 4egység. Ezekből összesen felhasználható 18; 16; 24 egység(kapacitás). A termékeken a fajlagos jövedelmek 4 ill. 2 eFt/db. Hány darab készüljön a termékekből, hogy - a rendelkezésre álló kapacitásokat ne lépjük túl (feltételek) - az összes jövedelem maximális legyen (szélsőérték).

Jelölje x1, x2 a termékek mennyiségét A matematikai modell: - A korlátozó feltételek: x1, x2 0 egyik termék száma sem lehet negatív 3x1+2x2 18 nyersanyagra 4x1 16 élő munkára 2x1+4x2 24 gépi munkára - A függvény, melynek a szélsőértékét keressük: z=4x1+2x2=max célfüggvény Ezen feltételes szélsőérték feladatnál tehát úgy keressük az - un. cél - függvény szélsőértékét, hogy egyidejűleg az egyenlőtlenségek formájában adott feltételek is teljesüljenek.

Ha az alábbi jelöléseket használjuk: ahol - x a program vektor - A a technológiai mátrix (egységnyi termékhez szükséges erőforrás) - c a fajlagos eredmények vektora (Pl. egységnyi termék ára) -b a kapacitás ( a felhasználható erőforrások mértéke) akkor a matematikai modell az alábbi rövidebb formában is írható: Az ilyen feladatok a matematikai programozás tárgykörébe tartoznak.

Ha a változók mindenütt első fokon szerepelnek, akkor lineáris programozásról vagy LP feladatról beszélünk. Mi a következő esetekkel foglalkozunk: 2 változós LP feladat: megoldása grafikus módszerrel 2-nél több változós LP feladat: megoldás szimplex módszerrel

A. Grafikus módszer A megoldás lépései: Ábrázoljuk az x1, x2 tengelyű Descartes koordináta rendszerben a feltételeket. Írjuk az egyenlőtlenségeket tengelymetszetes alakba. A feltételek által kijelölt tartomány közös pontjai – ha léteznek – adják a lehetséges megoldások L halmazát.

Egy halmaz konvex, ha bármely két pontjával, az azokat összekötő szakasz pontjait is tartalmazza. L-nek ilyennek kell lenni. Extremális vagy sarokpontoknak nevezzük egy halmaz azon pontjait, melyek nem belső pontjai egyetlen, halmazban levő szakasznak sem (pl. ábránkon az O(0,0), A(4,0), P(4,3) pontok)

További lépések: Ábrázoljuk a célfüggvényt néhány értékénél, pl. 12, 16-nál! Mindig párhuzamos, de nagyobb függvényérték esetén az origótól távolabbi egyenest kapunk. Toljuk el egy kiválasztott célfüggvény képét az origótól legtávolabbi olyan távolságba, amikor még van közös pontja az L halmazzal. A kapott közös pont(ok) koordinátái, adják a feladat megoldását (a maximum helyet). A megoldás vektor koordinátáit a közös pontot meghatározó feltétel egyenletek egyenletrendszerként való megoldásával kapjuk.

A megoldások lehetséges száma egy, ha csak egy közös pont van végtelen sok, ha az eltolt célfüggvény egyenes egybeesik L valamely határoló egyenesével nincs megoldás, ha L üres halmaz, vagy nem korlátos konvex halmaz A célfüggvénybe helyettesítve számíthatjuk ki a célfüggvény maximumának értékét. Ellenőrizzük a kapacitások kihasználtsági szintjét!

Másik típus: minimum számítási feltételes szélsőérték Példa: Két takarmány fajlagos táplálóanyag tartalmát és ezekből egy állat napi szükségleteit (Pl. kJ-ban) a táblázat tartalmazza: Megnevezés Takarm.1 Takarm.2 Napi szüks. tápanyag.1 2 1 6 tápanyag.2 2 4 12 tápanyag.3 0 4 4 . Fajl.ktg(Ft/kg) 5 6 Mennyit adjunk az egyes takarmányokból, hogy - a napi szükséglet az egyes tápanyagokból biztosítva legyen - a takarmányozási költség a legkisebb legyen

A matematikai modell: A korlátozó feltételek: Egyik mennyiség sem lehet negatív x1,x2 0 Tápanyag1-re 2x1+x2 6 Tápanyag2-re 2x1 +4x2 12 Tápanyag3-ra 4x24 A függvény, melynek a szélsőértékét keressük: Célfüggvény z=5x1+6x2=min A feladat grafikus módszerrel megoldható, a megoldás az ábráról leolvasható.

B. Szimplex módszer A szimplex módszer a bázistranszformációt alkalmazva a változókhoz az extremális pontok koordinátáit rendeli olyan sorrendben, hogy a célfüggvény értéke ne csökkenjen. A feladat matematikai modellje: x,b 0 gazdasági feladatoknál teljesül! Ax  b z(x)=c’x=max Az ilyen feladat neve: normál feladat Ax  b -t egyenlőséggé alakítjuk  Ax+u = b, ahol u 0 Az u hiányváltozók (u=b-Ax) megadják az aktuális x program esetén még megmaradó erőforrásokat.

Először az induló szimplex táblát készítjük el: Ezen a táblán végezzük a bázistranszformációt. A tábla bal oldalán: A programba vont változók jelei: induláskor u, később x is A célfüggvény negatívjának jele A tábla jobb oldalán: A programban levő változók értékei A célfüggvény negatívjának értéke Induláskor: x=0, u=b, z=0 x’ u A b -z c’

A megoldás lépései: 1. generáló elemet választunk a legnagyobb célfüggvény együttható oszlopából (z gyorsan nőjön) maxcj aij j. oszlopból 2. generáló elem csak pozitív szám lehet: aij 0 3. szűk keresztmetszetnél választunk generáló elemet: mini bi / aij  i. sorbeli elem a j. oszlopból így nem használunk a meglevőnél többet a kapacitásokból 4. Elvégezzük az elemi bázistranszformációt (a bázisból kikerülő vektor koordinátáit is megadjuk az új bázisra) Az 1-4 lépéseket ismételjük, amíg van pozitív elem a célfüggvény sorában

5. Különben leolvassuk a megoldást: x: az optimális programban levő változók értéke u: a fel nem használt kapacitások értéke z: a célfüggvény optimális értéke

Példák: Oldjuk meg szimplex módszerrel a korábbi, grafikus módszerrel már megoldott feladatot! Figyeljük meg az egyes transzformációs lépésekhez tartozó extremális pontokat, a szélsőérték alakulását! x=0 → „O” pont u’=(18, 16, 24) z=0 x’=(4, 0) → „A” pont u’=(6, 0, 16) z=16 0. x1 x2 b u1 3 2 18 u2 4 16 u3 24 -z 1. u2 x2 b u1 -3/4 2 6 x1 1/4 4 u3 -1/2 16 -z -1 -16

2. u1 u2 b x2 -3/8 1/2 3 x1 1/4 4 u3 1 -2 -z -1/4 -1 -22 x’=(4, 3) → „P” pont u’=(0, 0, 4) z(4,3) =22 optimális tábla, maximum Szimplex módszer: zO<zA<zP

A rendelkezésre álló kapacitás ezen erőforrásokból 60 ill. 40 egység. 2) Négy növény termesztéséhez szükséges fajlagos (1 ha-ra eső) munkaerő és gép szükséglet 2; 2; 2; 0 ill. 0; 1; 0; 1 egység. A rendelkezésre álló kapacitás ezen erőforrásokból 60 ill. 40 egység. A növények fajlagos jövedelme 10; 10; 6; 4 eFt/ha. Milyen területen termeljük a növényeket, ha A munkaerő és gép kapacitásokat nem léphetjük túl Maximális jövedelmet szeretnénk elérni Az induló tábla: x=0 u’=(60, 40) z=0 0. x1 x2 x3 x4 b u1 2 60 u2 1 40 -z 16 20 6 4

Az első transzformáció után: x’=(30; 0; 0; 0) u’=(0; 40) z= 480 A második transzformáció után: x’=(30; 0; 0; 40) u’=(0; 0) z= 640 maximum A célfüggvény sorában nincs pozitív szám, a tábla optimális, a feltételek teljesülnek (100%-os erőforrás kihasználtság) a tábla belsejében a felesleges értékeket már nem számoltuk ki) 1. u1 x2 x3 x4 b x1 1/2 1 30 u2 40 -z -8 -6 -10 4 -480 0. u1 x2 x3 u2 b x1 30 x4 1 40 -z -8 -10 -4 -640

További példák 1. Elosztási feladatok xij  0 j xij = ti  0 (i= 1,…,m) i xij = rj  0 (j= 1,…,n) i ti = j rj i j cijxij = min Ide tartozik a klasszikus szállítási feladat: m számú Fi feladóhelyen ti mennyiségű homogén termék (pl. szén, tégla, cukorrépa, üres vasúti kocsi, stb) n számú Rj megrendelőnek rj mennyiségű igénye az adott termékből / szolgáltatásból a kínálat és a kereslet egyenlő Milyen minimális költség mellett lehet a feltételek mellett az igényeket kielégíteni, ha xij az i. feladótól a j. megrendelőhöz szállítandó mennyiség cij a fajlagos szállítási költség

x11+x12+x13+x14 =50 x21+x22+x23+x24 =40 x31+x32+x33+x34 =30 A matematikai modell: x11+x12+x13+x14 =50 x21+x22+x23+x24 =40 x31+x32+x33+x34 =30 x11 +x21 +x31 =40 x12 +x22 +x32 =10 x13 +x23 +x33 =60 x14 +x24 +x34 =10 600x11+400x12+ +100x34 =min

Az Excel megoldás:

2. Pénzügyi termékválaszték modell Egy cég egy negyedévben kétféle terméket állít elő három megmunkálógépen. Ismert a fajlagos gépigény, a gépkapacitás valamint a termékek egységára ill. termelési költsége. A termelés pénzügyi fedezetéhez felhasználható a cég saját 700 eFt-ja max 300 eFt banki kölcsön, 5%-os negyedévi kamatra Kérdések: Mennyit termeljen a termékekből és mennyi kölcsönt vegyen fel a cég, hogy a termelés hozama a lehető legnagyobb legyen? Mennyi a termelés összes pénzszükséglete?

Mat. modell: x1, x2, x3  0 a termékek , a felvett hitel 5 x1+3 x2  5000 3 x1+4 x2  4000 a gépkapacitásokra 2 x1+ x2  2000 x3  300 a bankhitel 1,0 x1 + 0,8x2  700 + x3 a költség és fedezete 1,4 x1+1,1x2 - (1,0 x1 + 0,8x2 +0,05 x3) a célfüggvény

Excel megoldás: Term1 Term2 Hitel Rel. Kapac. Tény gép1 5 3 <= 5000 <= 5000 gép2 4 4000 3000 gép3 2 1 2000 hitel 300 saját+hitel 0,8 -1 700 hozam 0,4 0,3 -0,05 eredmény 385 megoldás 1000 0,0