Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 1 C h a p t e r 2 Plane Buckling of Struts Iványi: Stability

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / Critical Load of the Euler-column (Equilibrium Method) Fundamental Solution Compression load: Euler-column [1744] Internal resisting moment: Equilibrium equation: Solution of the linear homogeneous differential equation:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 3 Boundary conditions: First of these conditions: Second of these conditions: Trivial solution: Critical solution: Effective length: Tension load: No stability problem!

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / Effect of Approximations (a) Axial deformations: Direct axial compression: Boundary conditions: Condition of buckling: Eigenvalue: “52” steel: 0.17%

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 5 (b) Effect of Shear Deformations on Critical Loads The applied load P kr will have components transverse to the bent longitudinal axis, thus introducing into the member shear forces V as shown. It will in turn produce additional deformation due to shear. Curvature: [Timoshenko, Gere, 1961] Cross-section circle rectangle I, shear parallel to web I, shear parallel to flange 32/27 6/5

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 6 Approximation: For solid cross-sections this effect is unimportant, amounting to a reduction of a fraction of 1%. For lattice truss cross-sections this effect is of significant importance. (c) Effect of Large Deformations Differential Equation: Correct expression for curvature: Load – deformation curve Hence the DE: ELASTICA:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / Higher-Order Differential Equation for Columns

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 8 Different boundary conditions for DE: hinged fixed free movable-fixed

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 9 Fixed – Free Column Boundary conditions: Non-trivial solution: Effective length:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / Effective Length of Compression Members Intermediate Restraints (a) Single Restraint Equilibrium condition: Left-hand side Equation: Right-hand side Equation:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 11 Boundary conditions: If First solution:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 12 Second solution:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 13 (b) Continuous Restraint Half-through Bridge Compression Member with Continuous Restraint [Engesser, 1884]

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 14 Equilibrium condition: Compression Member with Transversal Load

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 15 [Chwalla, 1927]

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 16 Half-through Bridge (U-frame)  – horizontal deflection: U-frame stiffness:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / Elastically Restrained Column Equilibrium condition: Boundary conditions:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 18 Effective length: 2.4. Effect of Loading System Initially Bent Columns Initial deformation:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 19 Homogenous and particular solutions: Boundary conditions: andor Bending deflection: Total deflection: Total deflection at mid-height:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 20 Bending Moment: Load–deflection curves of initially bent columns

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / Beam-Column with Lateral Loads [Chajes, 1974] External Moment: Boundary conditions: Midspan Deflection:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 22 Deflection with Lateral Load: and Since the sum of the geometric series inside the brackets is :

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 23 Restricted Superposition: Bending moment at midspan: [Dischinger, 1937] Beam-Column Load–Deflection Characteristics

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 24 Load Cases “1”: “2”: –0.362 – –

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / Guided Load System Pylon of Cable Stayed Bridge Through Truss Bridge

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 26 Cantilever with Pendelum

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 27 Bending Moment: If

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 28 Effective Length Factor with the Length of Pendelum

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / Inelastic Buckling of Columns Tetmayer [1901] (a) Cast iron (b) Wrought iron (c) Steel (d) Ni-steel

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / Early Development of Inelastic Column Theories [Engesser, 1889] Original Engesser Theory

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / Reduced Modulus Theory [Considére, 1891] [Jasinsky, 1895] [Engesser, 1898]

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 32 Reduced Modulus:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 33 Tests by Karman

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / The Shanley Contribution [Shanley, 1943] [Johnston, 1961] [Tall, 1964] Deflection of initially straight centrally loaded column Strain distribution and column deflection Shanley model column

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / Tangent Modulus Theory Tangent Modulus Concept

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 36 Progressive stress distribution as column is loaded

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / The Csonka Contribution [Csonka, 1951] Distribution of stresses

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 38 Buckling as of Engesser - Karman - Shanley

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / Critical Load of the Euler Column – Energy Method Conservation of Energy Principle A conservative system is in equilibrium if the strain energy stored is equal to the work performed by the external loads.  For an axially loaded bar it remains perfectly straight, the external work is given: Column shortening due to axial compression and bending Strain energy stored in the member:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 40 Binomial theorem: If deformations are assumed to be small. External work: Strain energy: Grammel-quotient: Rayleigh-quotient:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / Calculus of Variations The calculus of variations is a generalisation of the max. or min. problem of ordinary calculus. It seeks to determine a function y=y(x) that extremizes a definite integral: [Hoff, 1956] [Chajes, 1974] Thus the calculus of variations is not a computational tool for solving a problem. It is only a device for obtaining the governing equations of the problem. Strain energy: External work: Potential energy: Boundary condition:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 42 Nearly function: Extremum value: Second term: First term: Geometric boundary condition: Natural boundary condition:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / Buckling Load of Column with Variable Cross-section Rayleigh–Ritz Method [Koranyi, 1965]Buckled shape: Strain energy: External work: Column with varying moment of inertia

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 44 Critical load: Exact answer [Timoshenko, Gere, 1961]: Error is about 33%. If deflection curve is: Error is about 13%. Critical load:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / Design of Columns Historical Background

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / Ayrton–Perry formula (1886) [Rondal, Maquoi, 1979] Initial deformation: Deflection at midspan: First yield limit state:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 2 / 47 [Robertson, 1925]: [Dutheil, 1947]: [Dwight, 1972]: [Rondal, Maquoi, 1978]: