Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 1 C h a p t e r 3 Stability Functions

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / Members Subjected to Bending Moments [Horne, Merchant, 1965] s – stiffness function c – carry-over function In case of

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / Functions s and c: End Rotation, Far End Fixed 3.2. Effect of Axial Load on Member Stiffness P: compression axial load Equilibrium equation: Differential equation: General solution: Boundary conditions:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 4  Stability function c  Stability function s If P: tension axial load:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 5 (tension)(compression) Stability Functions

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / Function s”: End Rotation, Far End Pinned Equilibrium equations: Pinned far end:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / Sway Function s(1+c) and m: Joint Translation. Both Ends Fixed Equilibrium equations:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / Functions for Joint Translation: One End Sway

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / No Shear Function n and o: No-shear Translation

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 10 (tension)(compression) Stability Functions

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / Uniformly Distributed Load In case of tension: (a) Both Ends Fixed

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 12 (b) Far End Pinned

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / Concentrated Load

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 14 Stability Functions

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / Summary of Operations

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 16

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / Effect of Gusset Plates

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / Effect of Flexible Connections

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / Effect of Plastic Hinges (a) In case of (b) In case of

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / Effect of Variable Cross-section Moment of inertia: (Values of m 1 are in the next slide)

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 21 Values of m 1 for variable cross-sections

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / Relationship Between the Stability Functions [Livesley, Chandler, 1956] (tension) (compression)

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 23 [Majid, 1972]

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 24 Livesley devised a method whereby this function is calculated as the sum of a power series in  and a rational function. This arrangement absorbs the two singularities nearest to the working range -4<  <4.

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 25 Stability functions for compressive forces

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 26 Stability functions for tension forces

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / Flexibility Method

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 28 Flexibility functions

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 29 (a) (b) Flexibility and stiffness method:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 30 Comparison of Force (Flexibility) and Displacement (Stiffness) Method

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / Assessment of Sway-Preventing Action in Frames Standard cases for single-storey portal frames:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / Sway-Preventing Actions [Lay, 1970] Rotational spring coefficient Translational spring coefficient Final general solution:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 33 Sway stiffness needed to prevent sway I. II. III. IV.

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 34 Critical  for k T =  2  assumption

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 35 Specific Sway Prevented Derivations

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / Application of Sway-Stiffness Approximation (a) Braced Panels The tension braces considered active Braces stiffness

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 37

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 38 (b) Portals with Single loads Single Portal The sway-free design load would be  =0.25 and so a min. 20% increase is possible.

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 39 Single Portal with Flexible Beam In case of more (n) unloaded columns: Unloaded frame effect

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / Effect of Semi-Rigid Connections Member of a Braced Frame Subassembly model for braced frame Column c1: Column c2: Column c3: Beam b1:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 41 Beam b2: Beam b3: Beam b4: For joint equilibrium at A: For joint equilibrium at B: For non-trivial solution:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 42 Nomogram to Determine the Effective Length Factor for Braced Frames

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / Member of an Unbraced Frame Subassembly model for unbraced frame Column c1: Column c2: Column c3: Beam b1:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 44 Beam b2: Beam b3: Beam b4: For joint equilibrium at A: For joint equilibrium at B: From the condition of non-trivial solution existence: For storey sway equilibrium: Matrix equation of equilibrium:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 45 Nomogram to Determine the Effective Length Factor for Unbraced Frames

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / An Illustrative Example [Chen, Lui, 1991]

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / Examples for Use of Stability Functions Second-Order Bending Moments (a) Determine in detail the equilibrium equations for the frame: (b) Show the condition of the normal forces:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 48 (c) Define the displacements: (d) Define the internal forces at the bar ends: (compression) (e) Sketch the figures of the internal forces:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / Critical Force (a) Determine in detail the equilibrium equations for the frame:

Készült az ERFP – DD2002 – HU – B – 01 szerzősésszámú projekt támogatásával Chapter 3 / 50 (b) Show the condition of the normal forces: (c) Define the critical force: (d) Calculate the effective length factor for column #2: