Dichotóm változók vizsgálata Dichotóm (kétértékű) változók Személy neme (x1 = férfi, x2 = nő) Egyetért-e ... (x1 = igen, x2 = nem) Előfordul-e ... (x1 = igen, x2 = nem) Megoldotta-e ... (x1 = igen, x2 = nem) Beteg-e (x1 = igen, x2 = nem) Bináris változó: az a speciális eset, amikor x1 = 0 és x2 = 1

Dichotóm változók eloszlása Eloszlás: Az x1 és x2 érték előfordulási valószínűsége, azaz P(x1) és P(x2). Pl. a ‘Személy neme’ egy lehetséges eloszlása: {P(ffi) = 0,45, P(nő) = 0,55}. A ‘Személy neme’ változó szintén lehetséges eloszlása: {P(ffi) = 0,60, P(nő) = 0,40}. Mindig igaz: P(x1) + P(x2) = 1

Egy dichotóm változó vizsgálata egy populációban Példa: pszichológia szakra felvételizők között a fiú-lány arány ugyanakkora-e? Nullhipotézis: H0: P(ffi) = 0,5, P(nő) = 0,5 Egy valódi vizsgálat adatai: 1981-ben 94 felvételiző között 16 fiú és 78 lány volt (kapott gyakoriságok: ni) Ha H0 igaz lenne, 94-ből 47-47 fiúra és lányra számítanánk (várt/elméleti gyakoriságok: i)

Eloszlásvizsgálat khi-négyzet-próbával Minél nagyobb az eltérés a kapott (ni) és a várt (i) gyakoriságok között, annál valószínűbb, hogy a nullhipotézis nem igaz. Az eltérés egy lehetséges mértéke: 2 = (n1 - 1)2/1 + (n2 - 2)2/2 Ha igaz a H0 hipotézis, akkor ez khi-négyzet eloszlású, f=1 szabadságfokkal.

A fenti példa számításai 2 = (16 - )2/ + (78 - )2/ 2 2 (f=1) Emiatt a H0 hipotézist elutasítjuk, s azt mondjuk: A fiúk aránya szignifikánsan kisebb a lányokénál. 

Egy másik példa Egy dobókockával 30-szor dobunk szabályosan. Összesen 10 hatost kapunk. Hamis a kocka? 2 = (10 - )2/ + (20 - )2/ 2 2 (f=1) Az eredmény tehát 5%-os szinten szignifikáns, vagyis a kocka 95%-os valószínűséggel hamis. 

Khi-négyzet-próba Feltétel: i  5 H0: P(x1) = p1, P(x2) = p2 X-minta 0,6 f=1 0,4 (f = 1) 0,2   2     0,05 2 < 2 2  2 0,05 0,05 H0 HA: P(x1)  p1, P(x2)  p2

Két populáció összehasonlítása egy dichotóm változó segítségével Példa: Matematika és pszichológia szakra felvételizők között van-e különbség a nemi megoszlás tekintetében? Nullhipotézis: A két populációban a nemi megoszlás ugyanaz, vagyis P(fiú/matek) = P(fiú/pszich) és P(lány/matek) = P(lány/pszich)

Egy konkrét példa H0 igaz volta esetén a közös fiú-arány kb. 130/320, így a várt fiú-gyakoriság a matek és a pszich. szakon: 11= 80130/320 = 32,5 és 21= 240130/320 = 97,5 Hasonlóan a közös lány-arány kb. 190/320, így 12= 80190/320 = 47,5 és 22= 240190/320 = 142,5

A 2×2-es khi-négyzet-próba H0 igaz volta esetén a statisztikai mennyiség f = 1 szabadságfokú khi-négyzet-eloszlást követ, így 2 < 3,841 esetén H0-t megtartjuk, 2  3,841 esetén pedig H0-t 5%-os szignifikanciaszinten elutasítjuk (2 = 3,841). 0,05

Számolás: kontingenciatáblázatból Kapott gyakoriságok Várt gyakoriságok 58 22 32,5 47,5 72 168 97,5 142,5 2 44,92 6,6352 (f=1) Konklúzió: a különbség 1%-os szinten szignifikáns. 

Alkalmazási feltétel: ij  5 Általános eset Minták X=x X=x Összesen 1 2 1. Minta n n n 11 12 1 ij= (nimj)/N 2. Minta n n n 21 22 2 Összesen m m N 1 2 (f = 1) Alkalmazási feltétel: ij  5

Két dichotóm változó eloszlásának összehasonlítása egy populációban Példa: Egy középiskolai osztályban előadást tartottak a dohányzás ártalmairól. Ezután 36 tanuló közül 8-an leszoktak, 3 tanuló pedig rászokott a dohányzásra. Volt-e hatása a felvilágosító előadásnak? Nullhipotézis: A dohányzás dichotóm változója eloszlása az előadás előtt és után ugyanaz. Különbségváltozó: x1= leszokik, x2 = rászokik Nullhipotézis: H0: P(x1) = P(x2)

Képlet és számolás: a McNemar-próba: Adattáblázat: Dohányzik? Utána igen Utána nem Előtte igen a b=8 Előtte nem c=3 d Képlet és számolás: a McNemar-próba: Alkalmazási feltétel: (b+c)/2  5, azaz b+c > 10

Egy példa 40 fős évfolyamon 12 kérdésből álló vizsgatesztet írattak. Az 1. feladatot 28-an, a 2. feladatot pedig 20-an oldották meg helyesen. Szignifikánsan nehezebbnek tekinthető-e a 2. feladat? A fenti kérdésre a megadott az adatok alapján nem lehet válaszolni. Hiányzik: n(1. jó, 2. rossz) és n(1. rossz, 2. jó)

Megfelelő adattáblázat: Megoldás 2. helyes 2. helytelen 1. helyes b 1. helytelen c A McNemar-próba képlete:

Két dichotóm változó kapcsolatának vizsgálata 15 éves lányok Könnyen teremt baráti kapcsolatokat Dohányzik Igen Nem Összesen Igen 105 17 122 Nem 469 340 809 Összesen 574 357 931 Függetlenségvizsgálat  homogenitásvizsgálat

Sorösszegek szerinti százalékok táblázata 15 éves lányok Könnyen teremt baráti kapcsolatokat Dohányzik Igen Nem Összesen Igen 86,1% 13,9% 100% Nem 58,0% 42,0% 100% Összesen 61,7% 38,3% 100%

Oszlopösszegek szerinti százalékok táblázata 15 éves lányok Könnyen teremt baráti kapcsolatokat Dohányzik Igen Nem Összesen Igen 18,3% 5,0% 13,1% Nem 81,7% 95,0% 86,9% Összesen 100,0% 100,0% 100,0%

A 2-próba számolása 2×2-es kontingenciatáblázatból Formailag ugyanúgy végzendő, mint két csoport összehasonlítása esetén. A fenti példa esetében Mivel 2 > 6,635 (f=1), az eredmény p < 0,01 (azaz 1%-os) szinten szignifikáns.

A kapcsolat szorosságának mérése dichotóm változók esetén Kontingencia-együttható: Yule-féle asszociációs együttható:

Néhány összefüggés a kapcsolati mutatókra -1    1 -1    1 2 = 2/N A fenti gyakorisági táblázathoz kapcsolódóan j = , 195 és y = , 635