Transzformációk Szirmay-Kalos László

Transzformációk (x,y) (x’,y’) = T(x,y) l Tönkre tehetik az egyenletet l Korlátozzuk a transformációkat és az alakzatokat úgy, hogy invariáns legyen –Pont, egyenes (szakasz), sík (poligon) l Affin transzformációk –Párhuzamos egyenes tartó –Descartes koordinátákban lineáris Homogén lineáris transzformációk Egyenest egyenesbe Homogén koordinátákban lineáris

Homogén koordináták (2D) XhXh YhYh w (0,0) (1,0) (0,1) r[X h,Y h,h] = X h  (1,0)+Y h  (0,1)+w  (0,0) h r[X h,Y h,h] = (, ) XhhXhh YhhYhh x = XhhXhh YhhYhh y = (x, y)  [x, y, 1]  [x  h, y  h, h]= [X h, Y h, h] h= X h +Y h +w

Homogén koordináták ideális pontokhoz: h=0 x y [x,y,1] [2x,2y,1]  [x,y,1/2] [x,y,1/3] [x,y,0] Euklideszi sík+ ideális pontok = projektív sík Ideális pont

Homogén koordináták (3D) YhYh ZhZh w Teljes súly: h = X h +Y h +Z h +w Súlypont: [X h,Y h,Z h,h] XhXh Nem lehet mind egyszerre zérus x = XhhXhh YhhYhh y = ZhhZhh z =

Egyenes a projektív térben X1X1 Y1Y1 w1w1 egyenes = két pont kombinációja szakasz = két pont konvex kombinációja [X(t),Y(t),Z(t),h(t)]=[X 1,Y 1,Z 1,h 1 ]·t +[X 2,Y 2,Z 2,h 2 ]·(1-t)

Euklideszi tér, Descartes koordináták: n x x + n y y + n z z + d = 0 Euklideszi tér, homogén koordináták: n x X h /h + n y Y h /h + n z Z h /h +d = 0 Projektív tér: n x X h + n y Y h + n z Z h +d h = 0 [X h,Y h,Z h,h]· = 0 nxnynzdnxnynzd Sík h0h0 h0h0 × (r – r0)  n = 0 y n z x r0r0 r

Homogén lineáris transzformációk l Homogén koordinátavektor szorzása mátrixszal l 2D transzformáció 3x3 mátrix [X h ’,Y h ’,h ’ ] =[X h,Y h,h]·T 3x3 l 3D transzformáció 4x4 mátrix [X h ’,Y h ’,Z h ’,h ’ ] = [X h,Y h,Z h,h]·T 4x4

Affin transzformációk l Ha az utolsó oszlop [0,0,1] T vagy [0,0,0,1] T l Descartes koordinátákra lineáris l Párhuzamos egyenestartó [x’,y’,1] = [x,y,1] a 11 a 12 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 1 x’ = a 11 x + a 21 y + a 31 y’ = a 12 x + a 22 y + a 32

Transzformációk összefűzése [X h ’,Y h ’,Z h ’,h ’ ]=(...([X h,Y h,Z h,h]·T 1 )·T 2 )...T n ) = = [X h,Y h,Z h,h]·(T 1 ·T 2 ·... ·T n ) = = [X h,Y h,Z h,h]·T Mátrisszorzás asszociatív!

Homogén lineáris transzformációk tulajdonságai l Pontot pontba, egyenest egyenesbe, konvex kombinációkat konvex kombinációkba képeznek le Példa: egyenest egyenesbe [X(t),Y(t),Z(t),h(t)]=[X 1,Y 1,Z 1,h 1 ]·t + [X 2,Y 2,Z 2,h 2 ]·(1-t) P(t) = P 1 ·t + P 2 ·(1-t)// · T P*(t) = P(t)·T = (P 1 ·T)·t + (P 2 ·T)·(1-t)

Invertálható homogén lineáris transzformációk: síkot síkba P·N T = 0 T P P* = P·T T -1 (P*·T -1 )·N T = 0 P*·(T -1 ·N T ) = 0 P*·N* T = 0 N*=N · (T -1 ) T Inverse transpose

Eltolás (x’, y’, z’)=(x+p x, y+p y, z+p z ) [x’,y’,z’,1] = [x,y,z,1] p x p y p z 1 p

Skálázás x’=S x  x, y’=S y  y, z’=S z  z [x’,y’,z’,1] = [x,y,z,1] S x S y S z

Z tengely körüli forgatás x = r cos  y = r sin  x’ = r cos(  = r cos  cos  r sin  sin  y’ = r sin(  = r cos  sin  r sin  cos  x’ = r cos(  = x  cos  y  sin  y’ = r sin(  = x  sin  y  cos  [x,y] [x’,y’]   r cos  sin  -sin  cos      [x’,y’,z’,1] = [x,y,z,1] z’= z

Középpontos vetítés (2D) 1  0 p 0 1 q [x, y, 1] [x, y, px+qy] x px+qy y px+qy x, y x’, y’ px+qy=1 x/y=x’/y’ és 

Átfordulási probléma =Projektív egyenes (topológia) Ideális pont Szakasz ?????