Geometria feladatok megoldásokkal Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely

1. feladat: Egy 2m×6m-es biliárdasztalon a hosszabbik oldal közepétől, a vízszintessel 45°-os szögben ellövünk egy golyót, amely tökéletesen rugalmasan ütközik a falakkal. Hol következik be a 8. illetve a 60. ütközés?

A biliárdgolyó pattanásai 8-asával ismétlődnek. A 8 A biliárdgolyó pattanásai 8-asával ismétlődnek. A 8. ütközés az A pontban történik, a 60. ütközés a 60=7×8+4 alapján az E pontban történik. H E B 7 4 1 G 6 2 C 5 3 D F A

2. feladat: Az „A” ház lakójának minden reggel a folyóból vizet kell vinnie a „B” házba. Hogyan tehette meg eközben a legrövidebb utat.

Legyen B’ a B szimmetrikusa a folyópartra nézve Legyen B’ a B szimmetrikusa a folyópartra nézve. Ha AB’ a folyópartot M-ben metszi, MB’=MB miatt AM+MB a keresett legrövidebb út.

3. feladat: Négy testvér örökölt egy telket, négy kerekes kúttal 3. feladat: Négy testvér örökölt egy telket, négy kerekes kúttal. Úgy szeretnék egyenlő alakú és egyenlő nagyságú darabokra felosztani, hogy mindegyiküknek legyen 1-1 kútja. Hogyan végezték el a felosztást, ha a telek alaprajza az ábrán látható?

Egy tengelyesen szimmetrikus felosztást kell elérnünk Egy tengelyesen szimmetrikus felosztást kell elérnünk. Egy ilyen felosztás az ábrán látható.

4. feladat: Egy négyzet alakú halastó egyik sarkánál egy ház, másik 3 sarkánál 1-1 szomorúfűz található. Hogyan lehetne a tó felszínét kétszeresére növelni anélkül, hogy a fákat kivágnák, vagy a házat lebontanák?  

Ha a négyzet csúcsain át, az átlókkal párhuzamosokat húzunk, a keletkezett négyzet területe 2-szerese lesz az adott négyzet területének.

5. feladat: Egy kocka alakú süteményt teljesen bevontak csokival 5. feladat: Egy kocka alakú süteményt teljesen bevontak csokival. Ezután 27 egyforma kiskockára vágták. Hány kiskocka keletkezik amelyiknek 0, 1, 2, 3 oldala van bevonva csokival?

A négy sarokban 3-3 oldal, az él-közepeken 2-2 oldal, az oldal-közepeken 1-1 oldal, és a legbelső középső kockán 0 oldal van csokival bevonva. 3 2 1

6. feladat: Egy 3 cm élű kocka mindenik lapját egybevágó kis négyzetekre osztottuk. Mindegyik lapon kiválasztjuk a középső kis négyzetlapot és erre merőlegesen a szemközti lapig egy négyzetes oszlopot kifúrunk a kockából. Mennyi lesz az így kapott lyukas test térfogata és felszíne?

A térfogat: 27-(6×1+1)=20 köb cm A teljes felszín: 6×9-6+6×4=72 négyzet cm

7. feladat:Az ABCD négyzetet papírból vágtuk ki 7. feladat:Az ABCD négyzetet papírból vágtuk ki. Jelölje E az AB oldal felezőpontját. Az EC egyenes mentén behajtjuk a papírlapot. Hányad része a négyzet területének a feltűrt rész?

Ha a négyzet oldala „a”, akkor a négyzet területe a×a és a visszatűrt háromszög területe ½×a×a, vagyis a négyzet területének a fele.

8. feladat: Az első ábrán látható derékszögű trapéz kisalapja 2, magassága is 2, és nagyalapja 4 egység. A második ábrán látható szimmetrikus trapéz kisalapja és szárai is 2 egység, nagyalapja 4 egység. Darabold fel mindkét trapézt pontosan 4-4 egyenlő területű és egyforma (kongruens) részre!

A nagyalap negyedelő pontjaiban húzzunk szaggatottan függőleges, a szárak (magasság) felezőpontjaiban pedig vízszintes vonalakat. Az így keletkezett rácsvonalakon a megvastagított vonalak éppen 4-4 egymással kongruens (az eredetihez hasonló) alakzatok.

9. feladat: Mekkora a görbe vonalú síkidom területe, ha a rácsnégyzet 1 egység?

A hiányzó és a többlet körszeletek egyformák, így a terület éppen egy téglalap területe, ami 8×4=32

10. feladat: A mellékelt ábrán három azonos hosszúságú és azonos szélességű papírcsík látható, ugyanabból a papírból kivágva. Melyik csík kivágásához használtunk a legtöbb, illetve a legkevesebb papírt?

A csalóka látszat ellenére, mindhárom papírcsíkhoz ugyanannyi papírt használtunk, vagyis a területük egyenlő . Ezt az alábbi átdarabolással könnyen beláthatjuk: Mindkét esetben a szürkével árnyékolt részt levágtuk, és a csíkok felső feléhez illesztve, az első téglalappal azonos méretű, vagyis azonos területű téglalapokat kaptunk

11. feladat: Rajzold meg azokat a tengelyesen szimmetrikus hatszögeket amelyeknek a mellékelt négyszög ¼- ed része!

A származtató alakzatot különböző szimmetrikus helyzetekbe tehetjük, éppen 5 megoldás van.

12. feladat: Az ábrán látható sokszög egy sokszög ¼ -ed része 12. feladat: Az ábrán látható sokszög egy sokszög ¼ -ed része. Egészítsd ki az ábrát úgy, hogy az eredetihez hasonló négyszöget kapjál!

Az eredetivel hasonló, és 4 ugyanolyan alakzatot tartalmaz síkidom az ábrán látható:

13. feladat:Négy barát olyan téglalap alakú telket vett, amelynek az egyik oldala a másiknak a 1,5-szöröse. A telken 4 kút van, a rajzon látható módon. Hogyan osszák a telket négy kongruens részre úgy, hogy mindegyiknek 1-1 kút is jusson?

Tengelyesen és középpontosan szimmetrikus felosztást kell elérnünk Tengelyesen és középpontosan szimmetrikus felosztást kell elérnünk. Egy ilyen felosztás az ábrán látható.

14. feladat: A négyzetbe rajzolt bevonalkázott ábrát 90°-kal 4-szer egymás után ugyanabba az irányba elforgatjuk a négyzet középpontja körül. A négyzetnek mely részei kerülnek 2-szer is fedésbe? Rajzzal válaszolj!

A négyszeri forgatás és a végső állapot a dupla fedéssel az alábbi rajzokon láthatók:

15. feladat:Adott egy olyan téglalap, amelynek a rövidebb oldala a hosszabb oldal ¾-e . Oszd fel a téglalapot: a) 4 négyzetre b) 6 négyzetre c) 8 négyzetre!

16. feladat: Hogyan lehet 5 darab a oldalú és egy darab 2a oldalú négyzetlapból egy újabb négyzetlapot kirakni?

17. feladat: A rajzon látható ABC háromszöget egy téglalap ¾- ed részének átdarabolásából kaptuk. Rajzoljuk meg az eredeti téglalapot!

Két lehetőség van. Az ábrákon a téglalap ¾-ed része, majd ennek a 4/3-ad része a téglalap látható.

18. feladat: Rajzolj meg egy olyan négyzetet amely 16 rácsnégyzetből áll, és rajzolj bele olyan tengelyesen szimmetrikus sokszöget, amelynek a kerülete ugyanakkora mint a négyzeté, de területe kisebb annál, és amelynek az oldalai csak a rácsvonalak lehetnek!

Az alábbiakban 5 megoldás látható:

19. feladat: Tervezz vasútvonalat, amelynek 8 állomása közül 2 olyan, ahonnan csak egy irányba, 1 olyan, ahonnan kétféle irányba, 2 olyan, ahonnan három irányba, 3 olyan, ahonnan négyféle irányba lehet utazni, és bármelyik állomásról bármelyik másikra el lehet jutni! Az állomásokat ponttal jelöld, két-két szomszédos állomást pedig egy szakasz köt össze!

Egy vasútvonal az alábbiakban látható: 8 állomása közül 2 olyan, ahonnan csak egy irányba, 1 olyan, ahonnan kétféle irányba, 2 olyan, ahonnan három irányba, 3 olyan, ahonnan négyféle irányba lehet utazni, és bármelyik állomásról bármelyik másikra el lehet jutni!

20. feladat: Mekkora része lehet az (1)-es ábra területének a (2)-es –nél bevonalkázott ábra területe?

Mindkét satírozott rész az ábra ¼- ed része, így összesen az ½- ed része

21. feladat: Egy szabályos ötszögnek megrajzoljuk mindegyik átlóját 21. feladat: Egy szabályos ötszögnek megrajzoljuk mindegyik átlóját. a) Hányféle egymástól különböző háromszöget alkotnak az ötszög oldalai és átlói? b) Összesen hány egyenlő szárú háromszög található az ötszögben?

5-féle egyenlő szárú háromszög létezik

22. feladat: A számozott L alakzatok közül melyik 2-2 vihető át egymásba: a) tengelyes tükrözéssel? b) eltolással? c) forgatva-eltolással? d) középpontos tükrözéssel?

tengelyes tükrözéssel: 1-2, 1-6, 2-5, 3-4, 5-6 b) eltolással: 1-5, 2-6 c) forgatva-eltolással: 1-4-5, 2-3-6 d) középpontos tükrözéssel: 1-4, 2-3, 4-5, 3-6

23. feladat: Az ábrán látható alakzatokat vágd szét 2-2 egybevágó alakzatra!

24. feladat: Egy téglalap rövidebbik oldala 4, hosszabbik oldala 6 egység. Bontsd fel a téglalapot rendre 3, 6, 8 és 10 négyzetre

25. feladat: Amikor Balázs hazafelé ment a szakkörről, a vasútállomás órája fél 4-et mutatott. Érdekes- gondolta Balázs- amikor délután a szakkörre mentem, az óra nagymutatója akkor is „függőleges” helyzetű volt. Igaz, hogy akkor a kismutatóval bezárt szög 15°-kal kisebb volt mint most. Hány órakor lehetett Balázs az állomásnál, amikor a szakkörre ment?

Az (1) nem állhat fenn, a (3) pedig túl késő, a válasz (2). Fél 4-kor a mánusok 2×30+12=75°-os szöget zárnak be. A nagymutató függőleges helyzetben a kismutatóval 60°-os szöget így zárhat be: Az (1) nem állhat fenn, a (3) pedig túl késő, a válasz (2).

26. feladat: Peti a négyzetrácsos füzetbe egy téglalapot rajzolt, amelyen bevonalkázott négyzeteket. Amikor a téglalap 4 oldalára illeszkedő mindegyik négyzetet bevonalkázta, megállapította, hogy 8 négyzet vár kiszínezésre. Hány rácsnégyzetből áll a téglalap

A téglalap vagy 24 vagy 30 négyzetből áll.

27. feladat: Mekkorák lehetnek a téglalap méretei, ha a kerületének és a területének a mérőszámai megegyező egész számok? a b b a T=K a×b=2×(a+b)

a×b=2×(a+b) ahonnan (b-2)×a=2b tehát Tehát a téglalap méretei: 4×4 vagy 3×6

28. feladat: Mekkora a vastag vonallal rajzolt szakaszok összege, ha a kör sugara R ?

Az ábráról látható, hogy a vastag vonal 6×R hosszúságú.

29. feladat: Lehetséges-e, hogy egy konvex sokszög átlóinak a száma 2-szer annyi legyen, mint a sokszög oldalainak a száma?

A konvex sokszög átlóinak a száma: A megoldandó egyenlet: Vagyis a keresett sokszög 7 oldalú.

30. feladat: Három kert területének az összege 1000 m×m 30. feladat: Három kert területének az összege 1000 m×m. Alaprajzuk az ábrán látható. a) mekkora a kert a mérete? b) hány méter dróthálóra van szükség a három kert körülkerítésére? (az elválasztó vonalakat csak egyszer kell számítani).

31. feladat: Egy háromszög a oldala 5 cm, kerülete 10 cm-nél nagyobb, de 14 cm-nél kisebb. Mekkora lehet a b és a c oldala, ha c=2b?

10<a+b+c<14 és a=5 és c=2b ahonnan a=5, 10<K<14 és c=2b 10<a+b+c<14 és a=5 és c=2b ahonnan 5<b+c<9 és c=2b tehát 5<3b<9 ahonnan 5/3<b<3 ezért 10/3<c<6

32. feladat: Egy téglalap alakú játszóteret 1 méter széles járda szegélyez. Mekkorák a téglalap oldalai, ha egyik oldala kétszerese a másiknak, és a járdakészítéshez 640 darab olyan négyzet alakú betonlapot használtak, amelynek az oldalhossza 50 cm?

x 2x A négy sarokban 4×4=16 betonlap van. Tehát (x×4+2x×4)×2+16=640 ahonnan 24x=624 így x=26

33. feladat: Egy négyzet alakú telken négyzet alakú víkendházat építettek. A háznak mind a négy oldala – az előírásoknak megfelelően – 3m távolságra van a telekhatároktól. Hány négyzetméter lehet a ház alapterülete, ha tudjuk, hogy ¼- ed része a telek területének?

A kisnégyzetet elcsúsztatva a sarokba, a nagynégyzet ¼-ed része, így a 2×3=6 távolság éppen a kisnégyzet oldala lesz, vagyis a ház alapterülete 36 m×m. 6 6

34. feladat: Az alábbi ábrákon rendre két-két kongruens (egybevágó) derékszögű, tompaszögű és hegyesszögű háromszög látható. Észrevehető, hogy egyik esetben sem tudjuk csupán csúsztatással és elforgatással az egyik háromszöget a másikkal fedésbe hozni (csak ha úgymond ,,kiemeljük a síkból, és megfordítjuk”): Minden esetben daraboljuk fel az egyik háromszöget úgy, hogy ezúttal a fedés – a kapott darabokból – csupán csúsztatással és elforgatással megvalósítható legyen!

A következő ábrákon már meg is adtuk a kért feldarabolásokat A következő ábrákon már meg is adtuk a kért feldarabolásokat. Az első esetben az A pont az átfogó felezőpontja. A második esetben az A pont merőleges talppont, a B és C pontok ugyancsak szakaszfelező pontok. A harmadik esetben a K pont a háromszög szakaszfelező merőlegeseinek metszéspontja. Minden esetben a kongruens szakaszokat azonos jellel jelöltük.

35. feladat: Tekintsd a mellékelt ábrán látható 4x5-ös téglalapot 35. feladat: Tekintsd a mellékelt ábrán látható 4x5-ös téglalapot! A vonalak mentén darabold fel a téglalapot 4 azonos alakú (kongruens) darabra! Keress minél több megoldást!

Néhány megoldást a mellékelt ábrákon szemléltetünk Néhány megoldást a mellékelt ábrákon szemléltetünk. Érdemes megfigyelni, hogy még nagyon sok megoldás adható úgy, hogy a ,,középső vízszintes vonal" fölötti és alatti felosztásokat a bemutatott ábrák szerint különféleképpen kombináljuk.

Vége