Geometria feladatok megoldásokkal

Slides:



Advertisements
Hasonló előadás
19. modul A kör és részei.
Advertisements

HÁROMSZÖGEK NEVEZETES VONALAI ÉS KÖREI
KELETKEZÉSE HÁROMSZÖG OLDALAI HÁROMSZÖGEK TÍPUSAI OLDALAIK SZERINT
ROMBUSZ TÉGLALAP NÉGYZET.
Síkmértani szerkesztések
2005. október 7..
Matematika feladatlap a 8. évfolyamosok számára
A háromszög elemi geometriája és a terület
Matematika feladatlap a 8. évfolyamosok számára
Matematika feladatlap a 8. évfolyamosok számára
2005. november 11..

Matematika feladatlap a 8. évfolyamosok számára
A feladatokat az április 28-i Repeta-matek adásában fogjuk megoldani
2006. április 21. Melyik az aznégyjegyű szám, melyre Telefonos feladat.
A feladatokat az április 14-i Repeta-matek adásában fogjuk megoldani
A feladatokat az április 21-i Repeta-matek adásában fogjuk megoldani
A szemléltetés fontossága a geometria tanításában
Poliéderek térfogata 3. modul.
Háromszögek hasonlósága
Bizonyítások Harmath Zsolt.
Sokszögek modul Pitagórasz Hippokratész Sztoikheia Thalész Euklidesz
Thalész tétel és alkalmazása
Párhuzamos egyenesek szerkesztése
Műszaki ábrázolás alapjai
Négyszögek fogalma.
Készítette: Árpás Attila
A háromszögek nevezetes vonalai
A SZABÁLYOS TESTEK GÖMBI VETÜLETEI
Thalész tétel és alkalmazása
Háromszög nevezetes vonalai, körei
Pitagorasz tétele.
Hasonlósággal kapcsolatos szerkesztések
16. Modul Egybevágóságok.
Készítette: Horváth Zoltán (2012)
1. feladat Egy 16 m oldalú szabályos háromszög alakú füves rét kerületén valamely csúcsból kiindulva méterenként elültettünk egy répát. Aztán kikötöttük.
1. feladat Egy henger alakú olvasztótégelyben 25 cm ma-gasan olvasztott viasz van. A henger sugara 15 cm. A viaszból olyan négyzet alapú egyenes gúla.
2006. március 3. Három négyzet oldalai különböző prím- számok. A két kisebb négyzet kerületének ösz- szege egyenlő a legnagyobb négyzet kerületé- vel;
2005. október feladat (házi feladat) Pontban 3 órakor az óra mutatói éppen merő- legesek egymásra. Mikor lesznek legközelebb merőlegesek egymásra.
Telefonos feladat A-ból B-n keresztül C-be utaztunk egyenletes sebességgel. Indulás után 10 perccel megtettük az AB távolság harmadát. B után 24 km-rel.
Telefonos feladat Egy háromjegyű szám elé írtunk egy hármast, majd az eredeti háromjegyű szám mögé írtunk egy hármast. A kapott két négyjegyű szám különbsége.
A háromszög elemi geometriája és a terület
Matematika feladatlap a 8. évfolyamosok számára
Matematika felvételi feladatok 8. évfolyamosok számára
Matematika feladatlap a 8. évfolyamosok számára
Matematika feladatlap a 8. évfolyamosok számára
Felvételi feladatok 8. osztályosok számára
Matematika feladatlap a 8. évfolyamosok számára
Geometriai transzformációk
4 Négyzet probléma Készen vagy? B A
Alaprajz
Matematikai tesztelő program
XVII. Hajnal Imre Matematika Tesztverseny
A háromszög középvonala
Szögek, háromszögek, négyszögek és egyéb sokszögek, kör és részei.
Számtani és mértani közép
Geometriai számítások
Sokszögek fogalma és felosztásuk
A konvex sokszögek kerülete és területe
HÁROMSZÖGEK EGYBEVÁGÓSÁGI TÉTELEI.
Síkidomok, testek hasonlósága
Hasonlósági transzformáció ismétlése
HASÁBOK FELOSZTÁSA.
Érintőnégyszögek
Kúpszerű testek.
TRIGONOMETRIA.
Geometria 9. évfolyam Ismétlés.
ELEMI GEOMETRIAI ISMERETEK
OK Könnyű Közepes K nehéz
19. modul A kör és részei.
Előadás másolata:

Geometria feladatok megoldásokkal Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely

1. feladat: Egy 2m×6m-es biliárdasztalon a hosszabbik oldal közepétől, a vízszintessel 45°-os szögben ellövünk egy golyót, amely tökéletesen rugalmasan ütközik a falakkal. Hol következik be a 8. illetve a 60. ütközés?

A biliárdgolyó pattanásai 8-asával ismétlődnek. A 8 A biliárdgolyó pattanásai 8-asával ismétlődnek. A 8. ütközés az A pontban történik, a 60. ütközés a 60=7×8+4 alapján az E pontban történik. H E B 7 4 1 G 6 2 C 5 3 D F A

2. feladat: Az „A” ház lakójának minden reggel a folyóból vizet kell vinnie a „B” házba. Hogyan tehette meg eközben a legrövidebb utat.

Legyen B’ a B szimmetrikusa a folyópartra nézve Legyen B’ a B szimmetrikusa a folyópartra nézve. Ha AB’ a folyópartot M-ben metszi, MB’=MB miatt AM+MB a keresett legrövidebb út.

3. feladat: Négy testvér örökölt egy telket, négy kerekes kúttal 3. feladat: Négy testvér örökölt egy telket, négy kerekes kúttal. Úgy szeretnék egyenlő alakú és egyenlő nagyságú darabokra felosztani, hogy mindegyiküknek legyen 1-1 kútja. Hogyan végezték el a felosztást, ha a telek alaprajza az ábrán látható?

Egy tengelyesen szimmetrikus felosztást kell elérnünk Egy tengelyesen szimmetrikus felosztást kell elérnünk. Egy ilyen felosztás az ábrán látható.

4. feladat: Egy négyzet alakú halastó egyik sarkánál egy ház, másik 3 sarkánál 1-1 szomorúfűz található. Hogyan lehetne a tó felszínét kétszeresére növelni anélkül, hogy a fákat kivágnák, vagy a házat lebontanák?  

Ha a négyzet csúcsain át, az átlókkal párhuzamosokat húzunk, a keletkezett négyzet területe 2-szerese lesz az adott négyzet területének.

5. feladat: Egy kocka alakú süteményt teljesen bevontak csokival 5. feladat: Egy kocka alakú süteményt teljesen bevontak csokival. Ezután 27 egyforma kiskockára vágták. Hány kiskocka keletkezik amelyiknek 0, 1, 2, 3 oldala van bevonva csokival?

A négy sarokban 3-3 oldal, az él-közepeken 2-2 oldal, az oldal-közepeken 1-1 oldal, és a legbelső középső kockán 0 oldal van csokival bevonva. 3 2 1

6. feladat: Egy 3 cm élű kocka mindenik lapját egybevágó kis négyzetekre osztottuk. Mindegyik lapon kiválasztjuk a középső kis négyzetlapot és erre merőlegesen a szemközti lapig egy négyzetes oszlopot kifúrunk a kockából. Mennyi lesz az így kapott lyukas test térfogata és felszíne?

A térfogat: 27-(6×1+1)=20 köb cm A teljes felszín: 6×9-6+6×4=72 négyzet cm

7. feladat:Az ABCD négyzetet papírból vágtuk ki 7. feladat:Az ABCD négyzetet papírból vágtuk ki. Jelölje E az AB oldal felezőpontját. Az EC egyenes mentén behajtjuk a papírlapot. Hányad része a négyzet területének a feltűrt rész?

Ha a négyzet oldala „a”, akkor a négyzet területe a×a és a visszatűrt háromszög területe ½×a×a, vagyis a négyzet területének a fele.

8. feladat: Az első ábrán látható derékszögű trapéz kisalapja 2, magassága is 2, és nagyalapja 4 egység. A második ábrán látható szimmetrikus trapéz kisalapja és szárai is 2 egység, nagyalapja 4 egység. Darabold fel mindkét trapézt pontosan 4-4 egyenlő területű és egyforma (kongruens) részre!

A nagyalap negyedelő pontjaiban húzzunk szaggatottan függőleges, a szárak (magasság) felezőpontjaiban pedig vízszintes vonalakat. Az így keletkezett rácsvonalakon a megvastagított vonalak éppen 4-4 egymással kongruens (az eredetihez hasonló) alakzatok.

9. feladat: Mekkora a görbe vonalú síkidom területe, ha a rácsnégyzet 1 egység?

A hiányzó és a többlet körszeletek egyformák, így a terület éppen egy téglalap területe, ami 8×4=32

10. feladat: A mellékelt ábrán három azonos hosszúságú és azonos szélességű papírcsík látható, ugyanabból a papírból kivágva. Melyik csík kivágásához használtunk a legtöbb, illetve a legkevesebb papírt?

A csalóka látszat ellenére, mindhárom papírcsíkhoz ugyanannyi papírt használtunk, vagyis a területük egyenlő . Ezt az alábbi átdarabolással könnyen beláthatjuk: Mindkét esetben a szürkével árnyékolt részt levágtuk, és a csíkok felső feléhez illesztve, az első téglalappal azonos méretű, vagyis azonos területű téglalapokat kaptunk

11. feladat: Rajzold meg azokat a tengelyesen szimmetrikus hatszögeket amelyeknek a mellékelt négyszög ¼- ed része!

A származtató alakzatot különböző szimmetrikus helyzetekbe tehetjük, éppen 5 megoldás van.

12. feladat: Az ábrán látható sokszög egy sokszög ¼ -ed része 12. feladat: Az ábrán látható sokszög egy sokszög ¼ -ed része. Egészítsd ki az ábrát úgy, hogy az eredetihez hasonló négyszöget kapjál!

Az eredetivel hasonló, és 4 ugyanolyan alakzatot tartalmaz síkidom az ábrán látható:

13. feladat:Négy barát olyan téglalap alakú telket vett, amelynek az egyik oldala a másiknak a 1,5-szöröse. A telken 4 kút van, a rajzon látható módon. Hogyan osszák a telket négy kongruens részre úgy, hogy mindegyiknek 1-1 kút is jusson?

Tengelyesen és középpontosan szimmetrikus felosztást kell elérnünk Tengelyesen és középpontosan szimmetrikus felosztást kell elérnünk. Egy ilyen felosztás az ábrán látható.

14. feladat: A négyzetbe rajzolt bevonalkázott ábrát 90°-kal 4-szer egymás után ugyanabba az irányba elforgatjuk a négyzet középpontja körül. A négyzetnek mely részei kerülnek 2-szer is fedésbe? Rajzzal válaszolj!

A négyszeri forgatás és a végső állapot a dupla fedéssel az alábbi rajzokon láthatók:

15. feladat:Adott egy olyan téglalap, amelynek a rövidebb oldala a hosszabb oldal ¾-e . Oszd fel a téglalapot: a) 4 négyzetre b) 6 négyzetre c) 8 négyzetre!

16. feladat: Hogyan lehet 5 darab a oldalú és egy darab 2a oldalú négyzetlapból egy újabb négyzetlapot kirakni?

17. feladat: A rajzon látható ABC háromszöget egy téglalap ¾- ed részének átdarabolásából kaptuk. Rajzoljuk meg az eredeti téglalapot!

Két lehetőség van. Az ábrákon a téglalap ¾-ed része, majd ennek a 4/3-ad része a téglalap látható.

18. feladat: Rajzolj meg egy olyan négyzetet amely 16 rácsnégyzetből áll, és rajzolj bele olyan tengelyesen szimmetrikus sokszöget, amelynek a kerülete ugyanakkora mint a négyzeté, de területe kisebb annál, és amelynek az oldalai csak a rácsvonalak lehetnek!

Az alábbiakban 5 megoldás látható:

19. feladat: Tervezz vasútvonalat, amelynek 8 állomása közül 2 olyan, ahonnan csak egy irányba, 1 olyan, ahonnan kétféle irányba, 2 olyan, ahonnan három irányba, 3 olyan, ahonnan négyféle irányba lehet utazni, és bármelyik állomásról bármelyik másikra el lehet jutni! Az állomásokat ponttal jelöld, két-két szomszédos állomást pedig egy szakasz köt össze!

Egy vasútvonal az alábbiakban látható: 8 állomása közül 2 olyan, ahonnan csak egy irányba, 1 olyan, ahonnan kétféle irányba, 2 olyan, ahonnan három irányba, 3 olyan, ahonnan négyféle irányba lehet utazni, és bármelyik állomásról bármelyik másikra el lehet jutni!

20. feladat: Mekkora része lehet az (1)-es ábra területének a (2)-es –nél bevonalkázott ábra területe?

Mindkét satírozott rész az ábra ¼- ed része, így összesen az ½- ed része

21. feladat: Egy szabályos ötszögnek megrajzoljuk mindegyik átlóját 21. feladat: Egy szabályos ötszögnek megrajzoljuk mindegyik átlóját. a) Hányféle egymástól különböző háromszöget alkotnak az ötszög oldalai és átlói? b) Összesen hány egyenlő szárú háromszög található az ötszögben?

5-féle egyenlő szárú háromszög létezik

22. feladat: A számozott L alakzatok közül melyik 2-2 vihető át egymásba: a) tengelyes tükrözéssel? b) eltolással? c) forgatva-eltolással? d) középpontos tükrözéssel?

tengelyes tükrözéssel: 1-2, 1-6, 2-5, 3-4, 5-6 b) eltolással: 1-5, 2-6 c) forgatva-eltolással: 1-4-5, 2-3-6 d) középpontos tükrözéssel: 1-4, 2-3, 4-5, 3-6

23. feladat: Az ábrán látható alakzatokat vágd szét 2-2 egybevágó alakzatra!

24. feladat: Egy téglalap rövidebbik oldala 4, hosszabbik oldala 6 egység. Bontsd fel a téglalapot rendre 3, 6, 8 és 10 négyzetre

25. feladat: Amikor Balázs hazafelé ment a szakkörről, a vasútállomás órája fél 4-et mutatott. Érdekes- gondolta Balázs- amikor délután a szakkörre mentem, az óra nagymutatója akkor is „függőleges” helyzetű volt. Igaz, hogy akkor a kismutatóval bezárt szög 15°-kal kisebb volt mint most. Hány órakor lehetett Balázs az állomásnál, amikor a szakkörre ment?

Az (1) nem állhat fenn, a (3) pedig túl késő, a válasz (2). Fél 4-kor a mánusok 2×30+12=75°-os szöget zárnak be. A nagymutató függőleges helyzetben a kismutatóval 60°-os szöget így zárhat be: Az (1) nem állhat fenn, a (3) pedig túl késő, a válasz (2).

26. feladat: Peti a négyzetrácsos füzetbe egy téglalapot rajzolt, amelyen bevonalkázott négyzeteket. Amikor a téglalap 4 oldalára illeszkedő mindegyik négyzetet bevonalkázta, megállapította, hogy 8 négyzet vár kiszínezésre. Hány rácsnégyzetből áll a téglalap

A téglalap vagy 24 vagy 30 négyzetből áll.

27. feladat: Mekkorák lehetnek a téglalap méretei, ha a kerületének és a területének a mérőszámai megegyező egész számok? a b b a T=K a×b=2×(a+b)

a×b=2×(a+b) ahonnan (b-2)×a=2b tehát Tehát a téglalap méretei: 4×4 vagy 3×6

28. feladat: Mekkora a vastag vonallal rajzolt szakaszok összege, ha a kör sugara R ?

Az ábráról látható, hogy a vastag vonal 6×R hosszúságú.

29. feladat: Lehetséges-e, hogy egy konvex sokszög átlóinak a száma 2-szer annyi legyen, mint a sokszög oldalainak a száma?

A konvex sokszög átlóinak a száma: A megoldandó egyenlet: Vagyis a keresett sokszög 7 oldalú.

30. feladat: Három kert területének az összege 1000 m×m 30. feladat: Három kert területének az összege 1000 m×m. Alaprajzuk az ábrán látható. a) mekkora a kert a mérete? b) hány méter dróthálóra van szükség a három kert körülkerítésére? (az elválasztó vonalakat csak egyszer kell számítani).

31. feladat: Egy háromszög a oldala 5 cm, kerülete 10 cm-nél nagyobb, de 14 cm-nél kisebb. Mekkora lehet a b és a c oldala, ha c=2b?

10<a+b+c<14 és a=5 és c=2b ahonnan a=5, 10<K<14 és c=2b 10<a+b+c<14 és a=5 és c=2b ahonnan 5<b+c<9 és c=2b tehát 5<3b<9 ahonnan 5/3<b<3 ezért 10/3<c<6

32. feladat: Egy téglalap alakú játszóteret 1 méter széles járda szegélyez. Mekkorák a téglalap oldalai, ha egyik oldala kétszerese a másiknak, és a járdakészítéshez 640 darab olyan négyzet alakú betonlapot használtak, amelynek az oldalhossza 50 cm?

x 2x A négy sarokban 4×4=16 betonlap van. Tehát (x×4+2x×4)×2+16=640 ahonnan 24x=624 így x=26

33. feladat: Egy négyzet alakú telken négyzet alakú víkendházat építettek. A háznak mind a négy oldala – az előírásoknak megfelelően – 3m távolságra van a telekhatároktól. Hány négyzetméter lehet a ház alapterülete, ha tudjuk, hogy ¼- ed része a telek területének?

A kisnégyzetet elcsúsztatva a sarokba, a nagynégyzet ¼-ed része, így a 2×3=6 távolság éppen a kisnégyzet oldala lesz, vagyis a ház alapterülete 36 m×m. 6 6

34. feladat: Az alábbi ábrákon rendre két-két kongruens (egybevágó) derékszögű, tompaszögű és hegyesszögű háromszög látható. Észrevehető, hogy egyik esetben sem tudjuk csupán csúsztatással és elforgatással az egyik háromszöget a másikkal fedésbe hozni (csak ha úgymond ,,kiemeljük a síkból, és megfordítjuk”): Minden esetben daraboljuk fel az egyik háromszöget úgy, hogy ezúttal a fedés – a kapott darabokból – csupán csúsztatással és elforgatással megvalósítható legyen!

A következő ábrákon már meg is adtuk a kért feldarabolásokat A következő ábrákon már meg is adtuk a kért feldarabolásokat. Az első esetben az A pont az átfogó felezőpontja. A második esetben az A pont merőleges talppont, a B és C pontok ugyancsak szakaszfelező pontok. A harmadik esetben a K pont a háromszög szakaszfelező merőlegeseinek metszéspontja. Minden esetben a kongruens szakaszokat azonos jellel jelöltük.

35. feladat: Tekintsd a mellékelt ábrán látható 4x5-ös téglalapot 35. feladat: Tekintsd a mellékelt ábrán látható 4x5-ös téglalapot! A vonalak mentén darabold fel a téglalapot 4 azonos alakú (kongruens) darabra! Keress minél több megoldást!

Néhány megoldást a mellékelt ábrákon szemléltetünk Néhány megoldást a mellékelt ábrákon szemléltetünk. Érdemes megfigyelni, hogy még nagyon sok megoldás adható úgy, hogy a ,,középső vízszintes vonal" fölötti és alatti felosztásokat a bemutatott ábrák szerint különféleképpen kombináljuk.

Vége