Matematika feladatlap a 8. évfolyamosok számára 2010. január 23. M-1 feladatlap

1. Határozd meg a □ és a Δ jelekkel megadott számok hiányzó értékeit, és írd be az alábbi táblázatba úgy, hogy a megfelelő számpárokra a 2 · □ = 5 · Δ − 3 egyenlőség igaz legyen! Példaként megadtunk egy összetartozó számpárt: 2 · 6 = 5 · 3 − 3 Megoldás:

2. Tedd igazzá az alábbi egyenlőségeket a hiányzó adatok beírásával! a) 2 m + 25 mm = ………………… cm b) 320 g – 15 dkg = ………………… kg c) 3 m2 + 215 cm2 = ………………… dm2 d)–e) 6°30’ + …………° …………’ = 19º12’ Megoldás: a) 202,5 1 pont b) 0,17 1 pont c) 302,15 1 pont d) 12º 1 pont* e) 42’ 1 pont* A *-gal jelzett pontok minden, más alakban megadott helyes eredményre is járnak.

3. Az alábbi ábrák mindegyike öt négyzetből áll 3. Az alábbi ábrák mindegyike öt négyzetből áll. Az ábrák négyzeteibe úgy kell beírnod az 1, a 2, a 3, a 4 és az 5 számokat, hogy egymást követő számok (például a 3 és a 4) ne kerülhessenek oldalukkal szomszédos négyzetekbe! Egy ábra kitöltéséhez mind az öt számot pontosan egyszer kell felhasználnod. Elegendő öt különböző helyes kitöltést megtalálnod a teljes pontszám eléréséhez. Megoldásaidat a bekeretezett ábrákba kell beleírnod, mivel csak ezeket értékeljük! A többi ábrában próbálkozhatsz, de az odaírtakat nem értékeljük.

A fenti 8 megoldás létezik A fenti 8 megoldás létezik. Minden különböző helyes megoldás 1–1 pontot ér, de a feladatra összesen legfeljebb 5 pont adható. 5 pont Ha hibás elrendezést is leír a bekeretezett ábrák valamelyikébe, akkor a helyes megoldásaira adható pontszámnál összesen 1-gyel kevesebb (de legalább 0) pontot kapjon!

4. Az alábbi kördiagram egy nyolcadik osztály tanulóinak sportolási szokásait szemlélteti. Mindegyik diák legfeljebb egy sportágat űz. a)–b) Hány fős az osztály, ha négyen vívnak? Írd le a számolás menetét is! c) Hányszor annyian sportolnak az osztály tanulói közül, mint ahányan nem sportolnak? d) Hány százaléka az úszásra járók számának az atlétikára járók száma? e) A labdajátékokat űzők közül ketten átiratkoznak úszásra. Hány fővel vannak többen ezután az osztályban a labdajátékokat űzők, mint az úszók?

Megoldás: a)–b) Hány fős az osztály, ha négyen vívnak? Írd le a számolás menetét is! a) Mivel 4 főnek 40º felel meg, 1 pont* b) így az osztály létszáma 36 fő. 1 pont A *-gal jelzett pont minden más helyes indoklásért is jár. c) Hányszor annyian sportolnak az osztály tanulói közül, mint ahányan nem sportolnak? c) (300:60 =) 5-ször annyian. 1 pont d) Hány százaléka az úszásra járók számának az atlétikára járók száma? d) 180%-a 1 pont e) A labdajátékokat űzők közül ketten átiratkoznak úszásra. Hány fővel vannak többen ezután az osztályban a labdajátékokat űzők, mint az úszók? e) (( 12 – 2 ) – ( 5 + 2 ) = ) 3-mal többen 1 pont Ha az e) itemben hibás osztálylétszámmal helyesen számol, akkor is kapja meg az item 1 pontját!

5. Írd az állítások melletti rovatba az I vagy a H betűt, annak megfelelően, hogy igaz (I) vagy hamis (H) az adott állítás! a) H 1 pont b) H 1 pont c) I 1 pont d) H 1 pont

6. Az ABCD négyszög olyan téglalap, amely nem négyzet 6. Az ABCD négyszög olyan téglalap, amely nem négyzet. Az AC átlónak és BD átlónak a metszéspontja a K pont. Az ABK háromszög területe 12 cm². a) Készíts vázlatot, és tüntesd fel a rajzon a megfelelő pontokat és az átlókat! Rajzold be az ábrára szaggatott vonallal a téglalap szimmetriatengelyeit! A feladat szövegének megfelelő hibátlan és hiánytalan ábra (ha nem tünteti fel a téglalap derékszögeit, valamint az egyenlő oldalakat, de érzékelhetően téglalapot rajzolt, akkor nem kell hiányosnak tekinteni emiatt a vázlatot). 1 pont

6. Az ABCD négyszög olyan téglalap, amely nem négyzet 6. Az ABCD négyszög olyan téglalap, amely nem négyzet. Az AC átlónak és BD átlónak a metszéspontja a K pont. Az ABK háromszög területe 12 cm². b)–c) Hány cm² az ABCD téglalap területe? Válaszodat indokold! Az ABCD téglalap területe: .................................. cm2 Indoklás: b) Mivel a két átló és a két szimmetriatengely 8 egybevágó háromszögre bontja a téglalapot (vagy: Mivel a két átló négy egyenlő területű háromszögre bontja a téglalapot), Ha a b) item gondolata úgy jelenik meg a megoldásban, hogy valamennyi megfelelő háromszögbe beírta a területek egyenlő mérőszámát, akkor is kapja meg a b) item 1 pontját! 1 pont c) a téglalap területe 48 (cm²). 1 pont

6. Az ABCD négyszög olyan téglalap, amely nem négyzet 6. Az ABCD négyszög olyan téglalap, amely nem négyzet. Az AC átlónak és BD átlónak a metszéspontja a K pont. Az ABK háromszög területe 12 cm². d) Hány cm a BC oldal hossza, ha a téglalap AB oldala 8 cm hosszúságú? d) BC = 6 (cm) 1 pont e)–f) Milyen távol van az A pont a 10 cm hosszúságú BD átlótól? Írd le a számolás menetét is! e) A keresett távolság az ABD háromszög BD oldalhoz tartozó magassága, ezért a háromszög területképlete alapján. Ha az e) item gondolata csak a számolásában jelenik meg, akkor is kapja meg az e) item 1 pontját! 1 pont f) a hossza 4,8 (cm). 1 pont Ha a d, e) és f) itemekben hibás téglalapterülettel vagy hibás BC = AD oldalhosszal a továbbiakban helyesen számol, illetve indokol, akkor is kapja meg a megfelelő item 1 pontját!

7. Az ábrán látható ABCDEF szabályos hatszög középpontja K. A megadott pontok betűjelének felhasználásával adj példát az alábbi alakzatokra! Például: Egy szabályos háromszög: ACE háromszög. a) Egy derékszögű háromszög: ………… háromszög. b) Egy rombusz: ………… négyszög. c) Egy téglalap: ………… négyszög. d) Egy olyan trapéz, amelynek két párhuzamos oldala különböző hosszúságú: ………… négyszög.

7. Az ábrán látható ABCDEF szabályos hatszög középpontja K. a) Például: ABE háromszög. 1 pont b) Például: AKEF négyszög. 1 pont c) Például: ACDF négyszög. 1 pont d) Például: ADEF négyszög. 1 pont Minden itemre 1 pontot kaphat a felvételiző függetlenül attól, hogy hány helyes alakzatot ad meg az adott itemre. Ha egy itemben hibás alakzatot is megad, akkor arra az itemre ne kapjon pontot! A fenti példáktól eltérő más helyes megoldást is el kell fogadni!

Hány diák lakik az egyes épületekben? Írd le a megoldás menetét is! 8. Egy kollégium négy épületében összesen 436 diákot helyeztek el. Az első épületben 10 diákkal több van, mint a negyedikben, a negyedikben pedig 8 diákkal több van, mint a harmadikban. A második épületben viszont 10 diákkal van több, mint a harmadikban. Hány diák lakik az egyes épületekben? Írd le a megoldás menetét is! A megoldás menete: Az első épületben lakó diákok száma: ............................. fő A második épületben lakó diákok száma: ............................. fő A harmadik épületben lakó diákok száma: ............................. fő A negyedik épületben lakó diákok száma: ............................. fő

Hány diák lakik az egyes épületekben? Írd le a megoldás menetét is! 8. Egy kollégium négy épületében összesen 436 diákot helyeztek el. Az első épületben 10 diákkal több van, mint a negyedikben, a negyedikben pedig 8 diákkal több van, mint a harmadikban. A második épületben viszont 10 diákkal van több, mint a harmadikban. Hány diák lakik az egyes épületekben? Írd le a megoldás menetét is! A megoldás menete: a) Ha a második épületben x diák lakik, akkor a harmadikban x – 10, a negyedikben x – 10 + 8, az elsőben x – 10 + 8 + 10, (a feltételek helyes értelmezése) 1 pont b) így x + (x – 10 ) + (x – 2 ) + (x + 8 ) = 436 , (helyes egyenletfelírás) 1 pont c) amiből 4x – 4 = 436 (helyes összevonás) 1 pont d) x = 110 (az egyenlet helyes megoldása) 1 pont e) Az egyes épületekben rendre 118; 110; 100; 108 diák lakik. 1 pont Ha a tanuló rossz egyenletet ír fel, de azt jól oldja meg, akkor a c) és a d) item pontjait kapja meg! Természetesen bármelyik épületben lakó diákok számából kiindulhat a tanuló.

9. Egy 10 cm élhosszúságú tömör kockából kivágtunk egy négyzetes oszlopot. Az így kapott test vázlatrajza látható az alábbi ábrán: a) Hány éle van ennek a testnek? 24 1 pont b)–d) Hány cm3 ennek a testnek a térfogata? Írd le a részletesen a számításaidat is! b) A kocka térfogata 1000 (cm3). 1 pont c) A kivágott négyzetes oszlop térfogata: 6⋅6⋅10 = (Helyes térfogatképletet használ: 1 pont*) = 360 (cm3). (Helyesen számol: 1 pont*) Ha hibás élhosszakkal, de elvileg helyesen és pontosan számol, akkor is kapja meg a *-gal jelzett pontokat. 2 pont* d) A test térfogata (1000 – 360 =) 640 (cm3). 1 pont

Másik megoldási mód A feladat b-d) részét darabolással is megoldhatja a felvételiző. b) Egy lehetséges feldarabolás például: (Egy helyes feldarabolási mód megtalálása.) 1 pont c) Az oldalt keletkezett két négyzetes oszlop egyikének térfogata: 2⋅10⋅10 = 200 (cm3). Az alul keletkezett téglatest térfogata: 4⋅6⋅10 = 240 (cm3). Ha minden darab térfogatát helyesen kiszámolta, akkor kapjon a c) itemre 2 pontot. Ha nem mindegyik darab térfogatát számolta ki helyesen, de legalább egy darabét igen, akkor a c) itemre 1 pontot kapjon! Ha hibás élhosszakkal, de elvileg helyesen és pontosan számolt, akkor is kapja meg a c) item megfelelő pontjait! 2 pont d) A test térfogata: (200 + 200 + 240 =) 640 (cm3). 1 pont

10. Egy általános iskola 8. évfolyamának tanulói gimnáziumba és szakközépiskolába adták be jelentkezési lapjukat. A gimnáziumba jelentkezők része szakközépiskolába is jelentkezett. A szakközépiskolába jelentkező diákok 60%-a gimnáziumba is jelentkezett. Összesen 12 diák jelentkezett gimnáziumba és szakközépiskolába is. a)–b) Hány diák jelentkezett gimnáziumba? Írd le a számolás menetét is! a) Legyen G a gimnáziumba jelentkezettek száma. A feltétel szerint: G = 12 1 pont* b) G = 32 1 pont

10. Egy általános iskola 8. évfolyamának tanulói gimnáziumba és szakközépiskolába adták be jelentkezési lapjukat. A gimnáziumba jelentkezők része szakközépiskolába is jelentkezett. A szakközépiskolába jelentkező diákok 60%-a gimnáziumba is jelentkezett. Összesen 12 diák jelentkezett gimnáziumba és szakközépiskolába is. c)–d) Hány diák jelentkezett szakközépiskolába? Írd le a számolás menetét is! c) Legyen S a szakközépiskolába jelentkezettek száma. A feltétel szerint: 0,6 ⋅ S = 12 1 pont* d) S = 20 1 pont e)–f) Összesen hány diák jelentkezett érettségit adó középiskolába (valamelyik gimnáziumba, vagy szakközépiskolába)? Válaszodat indokold! e) Mivel 12-en mindkét helyre jelentkeztek, így az érettségit adó középiskolákba jelentkezők száma: 32 + 20 – 12 = 1 pont** f) = 40 1 pont