Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás1 Kezdeti események Feladat: egy valószínűségi modell felállítása, amelyből megbecsülhető a kezdeti esemény valószínűsége; a modell- ben szereplő paraméterek becslése; a következmények becslése; a leállási idő becslése, a berendezések kiesési idejének becslése. Példa: áramkimaradás.

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás2 Hiba bekapcsoláskor A kezdeti esemény következményekor egy automata bekapcsol. A meghibásodás leírásához is kell egy modell. A modellben szereplő paramétert meg kell becsülni. Példa: vészhűtés elindítása.

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás3 Hiba működés közben Egyes berendezések folyamatosan működnek, meg kell vizsgálni, mi történik, ha a kezdeti esemény után egy ilyen leáll. Példa: hőmérő meghibásodása. Itt is valószínűségi modell, paraméterbecslés.

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás4 Időtartamok becslése Egy rendkívüli esemény időtartama is véletlen mennyiség. Példa: a feszültség- kimaradás időtartama. Valószínűségi modell, paraméterbecslés.

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás5 Kikapcsolás Előfordulhat, hogy egyes eszközök a kezdeti esemény megjelenésekor ki vannak kapcsolva, pl. javítás, vagy karbantartás miatt. Erre az esetre is valószínűségi modell és paraméterbecslés kell.

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás6 Egy fizikai folyamat lehetséges statisztikai modellje Poisson-folyamat: az esemény bekövetke- zésének val.ge arányos az intervallum hosszával p=  t; egyszerre két esemény nem fordulhat elő; diszjunkt intervallu- mokban az esemény előfordulása füg- getlen esemény; véletlen számú esemény fordul elő egy előre megadott interval- lumban. Adott intervallumban előfordult események számát ismerni kell.

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás7 Poisson-folyamat A várható érték becsléséhez szükséges T alatt bekövetkezett események száma. Az alkalmazhatóság megállapításához illeszkedés vizsgálat szükséges.

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás8 Statisztikai alapok

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás9 Valószínűségszámítás Események Bizonyos események mindig ugyanúgy történnek. Példa: a jég nulla fokon elolvad Más események kimenetele többféle is le- het. Példa: a kockadobás Mi a véletlen? Az atomi eseményeket nem tudjuk befolyásolni. Példa: radioaktív bomlás

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás10 Mi a valószínűség? Frekventista válasz: nagy N számú ese- ményből az A esemény K-szor fordul elő, ak- kor az A esemény relatív gyakorisága N  esetén egy meghatározott, objektív szám körül ingadozik, ez a szám az A esemény valószínűsége. Ennek mértékét becsülni lehet a K/N hányadossal. Tudáshiány: a megfigyelő adott jelenséggel kapcsolatos ismereteinek mértéke (bizo- nyosság) Példa: prímszámok gyakorisága

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás11 Bayesi ( ) értelmezés: Előzetes valószínűség  adatok (megfigyelések)  utólagos valószínűségek Példa: fekete-e a holló? A megfigyelés és a modell szerepe. Szabályos-e a dobókocka? Erről később részletesen beszélünk.

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás12 Véletlen változó: egy véletlen számadat jellemzéséhez azt kell tudnunk, hogy milyen értékek jöhetnek szóba (értékkészlet) és milyen valószínűséggel. A véletlentől függő mennyiségeket valószínűségi változónak nevezzük. Példa: egy alkatrész élettartama, egy szeny- nyezés hatása, egy gyógyszer hatása, egy berendezés működőképessége.

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás13 Bayes-tétel Legyen az A esemény valószínűsége p(A), a B eseményé p(B). Jelölje AB az A és B esemény együttes előfordulását. Az A esemény B feltétel melletti valószínűsége P(A|B)=p(AB)/p(B). Legyen B 1, B 2,… egy teljes eseményrendszer. Ekkor

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás14 P(B k ) –előzetes (a priori) valószínűségek P(B k |A) -utólagos (a posteriori) valószínű- ségek Példa: Egy beteget ellenőriz orvosa. A teszt a betegek 99%-nál pozitív, az egészsége- sek 99%-ánál negatív eredményt ad. Az orvos tudja, a lakosság 1%-a beteg. Ha a teszt eredménye pozitív, mi a valószínűsé- ge, hogy a páciens tényleg beteg? (SA, ,88)

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás15 Eloszlásfüggvény Sűrűségfüggvény: annak valószínűsége, hogy az  valószínűségi változó értéke [x,x+dx] közé esik f(x)dx. f(x)-et az  valószínűségi változó sűrűségfüggvé- nyének nevezzük. Annak valószínűsége, hogy az  valószí- nűségi változó értéke nem haladja meg x- et F(x), az  val. változó eloszlásfügg- vénye.

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás16 Várhatóérték, szórás Az  diszkrét valószínűségi változó várható- értéke a kifejezés. Az  diszkrét valószínűségi változó szórását az alábbi kifejezés adja meg:

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás17 Korrelációs együttható Két véletlen változó (  ) korrelációs együtthatója: Ha R(  )=0, akkor  és  korrelálatlanok.

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás18 Eloszlások Diszkrét eloszlások Poisson-eloszlás Binomiális eloszlás N- kísérletek száma p-egy kísérletben a vizsgált esemény val.ge

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás19 Folytonos eloszlások Normális eloszlás Egyenletes eloszlás

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás20 Statisztika Véletlen minta Egy eloszlásból, vagy populációból vett n elemű mintát véletlen mintának tekintünk abban az értelemben, hogy az n véletlen változót függetlennek tételezzük fel. Az ilyen mintavétellel kapott mintát nevezzük véletlen mintának. A mintaelemek eloszlását azonosnak és függetlennek te- kintjük.

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás21 Momentumok véletlen mintából Átlag=minta várhatóértéke Minta szórása: Az így kapott érték torzítatlan becslése  2 - nek. Vigyázat! Egyes csomagok N-et írnak a nevezőbe! Egyéb jellemzők: ferdeség, lapultság,stb.

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás22 Statisztikai következtetés A st. köv. célja állítások megfogalmazása annak a vél. vált.-nak az eloszlásáról, amelyből a mintát vettük. Ez lehet paraméterbecslés (pl. várhatóérték, vagy szórás becslése). A következtetés mindig valószínűségi jellegű. Itt tárgyaljuk: A paraméterbecslést (pont- és intervallum becslést),

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás23 A hipotézisvizsgálatot (illeszkedésvizsgálatot, paraméter tesztet) A statisztikus következtetésnek két fő módszere van: paraméteres becslés: feltesszük, hogy a minta egy adott eloszlásból való, csak a paramétereket nem tudjuk nem-paraméteres becslés: a módszer független az eloszlástól.

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás24 Frekventista megközelítés Csak a statisztikus mintában lévő informá- ciót használjuk fel. Az adatokra modellt állí- tunk fel. A „bizodalmunk” nem épül bele a modellbe. Az eloszlás paraméterét ismeretlennek tekintjük, az adatokat véletlen mintának tekintjük. Ezen túl minimális információt használunk fel. A hipotézisvizsgálat azonos szellemben folyik.

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás25 Statisztikai következtetés Példa: az ötödik erő vizsgálata: F(B/M) mérés, illesztés, Alapeseményeket és valószínűségi modelleket kell kiválasztani Hipotézisvizsgálat Illeszkedésvizsgálat Bayes-módszer

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás26 Hipotézisvizsgálat Legyen a vizsgálat tárgya a H 0 hipotézis, ellentéte a H 1 hipotézis. A hipotézisvizsgálat módszereket ad arra, hogy adott p valószí- nűséggel megállapítsuk, H 0 elfogadható. A módszer: a megfigyelésekből előállítunk egy vél-vál-t, ha ennek értéke az eloszlás [0,p] inetrvallumába esik, akkor H 0 p val— gel elfogadható.

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás27 Adatgyűjtés A kockázatelemzéshez adatokra és azok elemzésére van szükség. Az adatok vagy általános természetűek, vagy az adott üzemhez kapcsolódnak. Adat források: az üzem dokumentációjából kell kikeresni az elemzéshez szükséges üzem specifikus adatokat. Erre szükség lehet:

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás28 egy balesetet kiváltó ok elemzésekor egy komponens jellemzőinek meghatá- rozásakor egy eseménysorban lehetnek egymást korrigáló események, ezeket az üzemviteli tapasztalatból (naplókból) lehet megha- tározni. Ha a vizsgálathoz szükséges adatot azo- nosítani lehet, akkor abból az adat forrásá- nak is azonosíthatónak kell lennie.

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás29 Az adatokat minden üzemben egyedi mó- don tárolják (naplók, feljegyzések, jegyző- könyvek stb.). Előfordulhat, hogy hosszas keresgélésre van szükség. A kibányászott adatok értelmezhetősége és minősége attól függ, mennyire jól működött az üzem dokumentációja. Ezért a dokumen- tációra szabványokat dolgoztak ki.

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás30 Adatbázisok Az adatok nyilvántartása azért is fontos, mert így lehet megtudni egy berendezés, alkatrész stb. megbízhatóságát. Ezeket az adatokat adatbázisokban őrzik és rendszeresen elem- zik. Általános adatforrások A balesetet kiváltó okokat, a komponensek meghibásodásait rendszeresen gyűjtik. Ezt a konkrét adatok kapcsán kell megvizsgálni. Léteznek iparági, gyártói adatbázisok.

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás31 Adatgyűjtés és interpretáció A begyűjtött adatokat értelmezni esetleg feldolgozni kell. Ilyen adat lehet pl. a kiváltó ok gyakorisága, berendezés meghibáso- dása, hibakompenzáció. Az elemzésben figyelembe kell venni, ha az adat egyedi, erősen eltérő sajátossággal bír (pl. egyedi használati mód). Trendek és öregedés

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás32 Paraméterbecslés A kigyűjtött adatokra épül a statisztikai elemzés. Célja: a meghibásodás jellemzői- nek meghatározása. Először egy modellt választunk, azután hipotézisvizsgálattal eldöntjük, hogy a modell elfogadható-e, ha igen, paraméterbecsléssel meghatározzuk a kívánt paraméter értékét. Ehhez általában egy val. változót kell képezni, amely többnyire  2 eloszlású.

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás33 Maximum likelihood-becslés Tegyük fel, hogy egy esemény történik, amely beavatkozást igényel. Az esemény véletlenszerű, gyakorisága, azaz, egységnyi idő alatt  esemény fordul elő. Tegyük fel, hogy t idő alatt x eseményt figyeltünk meg, az esemény legyen Poisson-eloszlású: 6.1

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás34 Konfidencia intervallum Tegyük fel, hogy egy paraméter értékére illesztéssel adunk becslést: Ekkor az a paraméter becsült értéke is véletlen változó . Az (a min,a max ) intervallumot konfidencia intervallumnak nevezzük, a konfidencia intervallumba  (1-p) val.séggel esik, p=0.05, p=0.01 etc.

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás35 A megfigyelések azt rögzítik, adott időtartam alatt hány meghibásodás történt. pontbecslés: e =x/t, szórása D(  )= t. a paraméter konfidenciaintervallumára is becslés adható.

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás36 Bayesi-becslés A becslés az alábbi lépésekből áll: a becsülendő l véletlen mennyiséghez választunk egy előzetes eloszlásfüggvényt begyűjtjük az adatokat és előállítjuk a likelihood-függvényt, ami 6.1 lesz. ebből Bayes-tétele alapján megkonstru- áljuk az utólagos eloszlásfüggvényt

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás37 Numerikus eszközök-A MAPLE Open c:\IpKat\MapleStat

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás38 Numerikus eszközök-B MATHEMATICA Open c:/IpKat/27Statistics.nb

Ipari katasztrófák nyomában 4. előadás39 Numerikus eszközök-C MATLAB