Gazdaságstatisztika 15. előadás

FELADATOK AZ ELMÉLETI ELOSZLÁSOK TÉMAKÖRÉBŐL Gazdaságstatisztika FELADATOK AZ ELMÉLETI ELOSZLÁSOK TÉMAKÖRÉBŐL

1. Feladat Egy gépgyárban készített tengelyekkel kapcsolatban az a tapasztalat, hogy 5%-uk nem felel meg a minőségi elvárásoknak. Mekkora a valószínűsége annak, hogy véletlenül kiválasztott 5 tengely közül a.) mindegyik megfelel a minőségi elvárásoknak? b.) egyik sem felel meg a minőségi elvárásoknak? c.) legalább 4 megfelel a minőségi elvárásoknak? Gazdaságstatisztika

1. Feladat - megoldás Jelentse a nem megfelelő termékek számát a kiválasztott 5 termékből. binomiális eloszlású. 5% nem felel meg => a.) mindegyik megfelel a minőségi elvárásoknak  0 db nem megfelelő van 0,7738 annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott 5 tengely közül mindegyik megfelel a minőségi elvárásoknak. b.) egyik sem felel meg a minőségi elvárásoknak  Közel 0 annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott 5 tengely közül egyik sem felel meg az elvárásoknak. c.) legalább 4 megfelel a minőségi elvárásoknak  legfeljebb 1 nem felel meg a minőségi elvárásoknak  0,9774 annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott 5 tengely közül legalább 4 megfelel a minőségi elvárásoknak. Gazdaságstatisztika

2. Feladat Egy mobilszolgáltatónál elvégzett vizsgálatok azt mutatták, hogy 200 nap alatt átlagosan 40 alkalommal történik váratlan kimaradás a szolgáltatásban. Mekkora a valószínűsége annak, hogy 10 nap alatt a.) 1 kimaradás történik a szolgáltatásban? b.) történik kimaradás a szolgáltatásban? c.) legfeljebb 1 kimaradás történik a szolgáltatásban? Gazdaságstatisztika

2. Feladat - megoldás Mivel 200 nap alatt átlagosan 40 alkalommal történik szolgáltatás-kimaradás ezért 10 nap alatt várhatóan 2 alkalommal történik szolgáltatás-kimaradás. (p=10/200 = 0,05 a szolgáltatás-kimaradás valószínűsége.) Ez alapján a 10 nap alatt bekövetkező szolgáltatás-kimaradások számáról feltételezhetjük, hogy Poisson-eloszlású valószínűségi változó várható értékkel. a.) 1 kimaradás történik a szolgáltatásban (10 nap alatt)? 0,2707 a valószínűsége annak, hogy 10 nap alatt 1 szolgáltatás-kimaradás történik. b.) történik kimaradás a szolgáltatásban (10 nap alatt)? 0,8647 a valószínűsége annak, hogy 10 nap alatt történik szolgáltatás-kimaradás. Gazdaságstatisztika

2. Feladat - megoldás c.) legfeljebb 1 kimaradás történik a szolgáltatásban (10 nap alatt)? 0,4060 a valószínűsége annak, hogy 10 nap alatt legfeljebb 1 szolgáltatás-kimaradás történik. Gazdaságstatisztika

3. Feladat Egy fodrászatban a vendégek által várakozással eltöltött időről kimutatták, hogy exponenciális eloszlású. További vizsgálatok azt mutatták, hogy az átlagos várakozási idő 20 perc. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy vendég a.) 10 percnél rövidebb ideig várakozik? b.) pontosan 5 percig várakozik? c.) 10 percnél hosszabb, de 20 percnél rövidebb ideig várakozik? Gazdaságstatisztika

3. Feladat - megoldás Legyen a valószínűségi változó a várakozással eltöltött idő. Az átlagos várakozási idő 20 perc, ezért perc. Tudjuk, hogy , így 1/perc. a.) 10-percnél rövidebb ideig várakozik? 0,3935 a valószínűsége annak, hogy egy vendég 10 percnél rövidebb ideig várakozik. b.) pontosan 5 percig várakozik? 0 a valószínűsége annak, hogy egy vendég pontosan 5 percig várakozik. c.) 10 percnél hosszabb, de 20 percnél rövidebb ideig várakozik? 0,2386 a valószínűsége annak, hogy egy vendég 10 percnél hosszabb, de 20 percnél rövidebb ideig várakozik Gazdaságstatisztika

4. Feladat Egy palackozóüzemben a palackozott sör töltési térfogatát vizsgálták. A vizsgálat során megállapították, hogy a töltési térfogat normális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető 510ml várható értékkel és 20ml szórással. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy palack töltési térfogata a.) 510ml-nél nagyobb? b.) pontosan 505ml? c.) 490ml és 500ml közé esik? Gazdaságstatisztika

4. Feladat - megoldás Jelölje a töltési térfogatot, mint valószínűségi változót. Tudjuk, hogy normális eloszlású ml várható értékkel és ml szórással. Az eloszlás paraméterei: és a.) Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy palack töltési térfogata 510ml-nél nagyobb? Tudjuk, hogy Ezért és 0,5 a valószínűsége annak, hogy a töltési térfogat 510ml-nél nagyobb. Gazdaságstatisztika

4. Feladat - megoldás b.) Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy palack töltési térfogata pontosan 505ml? Ennek a valószínűsége nulla, mert folytonos valószínűségi változó. c.) Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy palack töltési térfogata 490ml és 500ml közé esik? 0,1499 a valószínűsége annak, hogy a töltési térfogat 490ml és 500ml közé esik. Gazdaságstatisztika

5. Feladat Egy autógyárban a kiszállított gépkocsikkal kapcsolatos vevői reklamációkat vizsgálták. Azt találták, hogy 10000 gyártott gépkocsi esetén átlagosan 4 autó motorhibás. Mekkora a valószínűsége annak, hogy véletlenszerűen kiválasztott 10000 gépkocsi között a.) 1 motorhibás autó van? b.) van motorhibás autó? c.) legfeljebb 1 motorhibás autó van? Gazdaságstatisztika

5. Feladat - megoldás Mivel 10000 gépkocsi között átlagosan 4 motorhibás van, ezért a motor meghibásodása ritka eseménynek tekinthető. Ezért a 10000 gépkocsi között motorhibás gépkocsik számáról ( ) – mint valószínűségi változóról – feltételezhetjük, hogy Poisson-eloszlású. Poisson-eloszlású várható értékkel. a.) 1 motorhibás autó van? 0,0733 a valószínűsége annak, hogy 10000 autó között 1 motorhibás autó van. b.) van motorhibás autó? 0,9817 a valószínűsége annak, hogy 10000 autó között van motorhibás autó. Gazdaságstatisztika

5. Feladat - megoldás Megjegyzés c.) legfeljebb 1 motorhibás autó van? 0,0916 a valószínűsége annak, hogy 10000 autó között legfeljebb 1 motorhibás autó van. Megjegyzés A feladat a p=4/10000, n=10000 paraméterű binomiális eloszlás felhasználásával is megoldható. Az így adódó eredmények az első 4 tizedesjegyben azonosak a Poisson-eloszlás alkalmazásával adódó eredményekkel. Gazdaságstatisztika

FELADATOK A BECSLÉS TÉMAKÖRÉBŐL Gazdaságstatisztika FELADATOK A BECSLÉS TÉMAKÖRÉBŐL

1. Feladat Egy elektronikai gyártosoron egy alkatrész nyomtatott áramkörre történő beültetési pozíciójának x-irányú koordinátáját vizsgálták. Korábbi elemzésekből ismert, hogy az x-irányú beültetési pozíció normális eloszlású valószínűségi változó 0,03mm szórással. 10 mérést elvégezve az x-irányú beültetési koordináta 10,34mm-re adódott. a.) Adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értékére! b.) Legalább hány elemű mintát vegyünk, hogy az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értékét 95% valószínűséggel 0,01mm-nél kisebb eltéréssel tudjuk becsülni? Gazdaságstatisztika

1. Feladat - megoldás a.) Az x-irányú beültetési koordináta normális eloszlású ismeretlen várható értékkel és ismert mm elméleti szórással. Táblázatból: mm A várható értékre vonatkozó 95%-os megbízhatósági szintű konfidenciaintervallum: Gazdaságstatisztika

1. Feladat - megoldás b.) A összefüggésből Keressük azt az n értéket, amelyre a eltérés valószínűséggel kisebb az előre rögzített értéknél. Ha n értékét úgy választjuk meg, hogy teljesül, akkor is teljesül. Tehát a várható érték valószínűséggel -nál kisebb eltéréssel történő becsléséhez szükséges minta nagysága: Gazdaságstatisztika

1. Feladat - megoldás b.) Esetünkben mm Ahhoz tehát, hogy a várható értéket 95%-os valószínűséggel legfeljebb 0,01mm eltéréssel tudjuk becsülni legalább 35 elemű minta szükséges. Gazdaságstatisztika

2. Feladat Egy kávéautomata ellenőrzése során az automata által adagolt eszpresszó kávé térfogatát vizsgálták. Korábbi tapasztalatok alapján az adagolt kávé térfogata normális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető. A vizsgálat során 10 mérést végeztek, a mérési eredmények értékei ml-ben a következők voltak: 101; 97; 103; 99; 102; 98; 104; 101; 97; 100. Adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést az eszpresszó kávé adagolt térfogatára! Gazdaságstatisztika

2. Feladat - megoldás Az adagolt kávétérfogat normális eloszlású valószínűségi változó, melynek elméleti várható értékét és elméleti szórását nem ismerjük. A feladatunk az, hogy 95%-os megbízhatósági szintű konfidencia-intervallumot adjunk a várható értékre. Mivel az elméleti szórás imeretlen, így az következő összefüggsét használhatjuk: Az mintaátlag: Az korrigált tapasztalati szórás: Gazdaságstatisztika

2. Feladat - megoldás A szabadságfok n-1=9 A t-eloszlás táblázatából A 95%-os megbízhatósági szintű konfidencia-intervallum: Az eszpresszó kávé adagolt térfogata 95%-os valószínűséggel a intervallumba esik. Gazdaságstatisztika

3. Feladat Egy forgácsoló üzemben esztergált tengelyek átmérőjét vizsgálták. A vizsgálat során 30 darab tengely átmérőjét mérték meg. A tengelyek átmérőjének a mintából számított átlaga 55mm, korrigált tapasztalati szórása 0,2mm. A tengelyek átmérőjéről feltételezhető, hogy normális eloszlású valószínűségi változó. Adjunk 99%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést a.) a tengelyek várható átmérő méretére! b.) a tengelyek átmérőjének szórására! Gazdaságstatisztika

3. Feladat - megoldás 99%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslés a a.) a tengelyek várható átmérő méretére! A feladat az, hogy 99%-os megbízhatósági szintű konfidencia-intervallumot adjunk egy normális eloszlású valószínűségi változó várható értékére ismeretlen elméleti szórás esetén. A mintából számított átlag: mm A mintából számított korrigált tapasztalati szórás: mm , n-1=30-1=29 A t-eloszlás táblázatából: A keresett konfidencia-intervallum: Gazdaságstatisztika

3. Feladat - megoldás 99%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslés a b.) a tengelyek átmérőjének szórására! A feladat az, hogy 99%-os megbízhatósági szintű konfidencia-intervallumot adjunk egy normális eloszlású valószínűségi változó várható szórására. mm, , n-1=30-1=29 A khi-négyzet eloszlás táblázatából: A szórásnégyzetre vonatkozó konfidencia-intervallum: A szórásra vonatkozó konfidencia-intervallum: Gazdaságstatisztika

4. Feladat Megbízhatósági elemzések során a 60W-os izzók élettartamát vizsgálták. Összesen 60 darab izzó élettartamát figyelték meg, a megfigyelések eredményeit az alábbi gyakorisági táblázatban rögzítették. Az izzók élettartamáról feltételezhető, hogy normális eloszlást követ. Adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést az izzók várható élettartamára! Élettartam (hónap) Izzók száma (db) [0;6) 5 [6;12) 7 [12;18) 18 [18;24) 22 [24;30) [30;36) 1 Gazdaságstatisztika

4. Feladat - megoldás Az izzók élettartamáról tudjuk, hogy normális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető, ismeretlen várható értékkel és ismeretlen szórással. A feladatunk az, hogy a várható értékre adjunk 95%-os megbízhatósági szintű konfidencia-intervallumot. Mivel az elméleti szórás ismeretlen, így a következő összefüggést használhatjuk. Az átlagot a gyakorisági táblázatból a leíró statisztikából ismert módon számítjuk: Gazdaságstatisztika

4. Feladat - megoldás Az korrigált tapasztalati szórást a gyakorisági táblázatból a leíró statisztikából ismert módon számítjuk: , a szabadságfok n-1=59 A t-eloszlás táblázatából: A 95%-os megbízhatósági szintű konfidencia-intervallum: Az izzók várható élettartama 95%-os valószínűséggel a (15,4186 hónap; 18,9814 hónap) intervallumba esik. Gazdaságstatisztika

5. Feladat Megbízhatósági elemzések során a 60W-os izzók élettartamát vizsgálták. Összesen 60 darab izzó élettartamát figyelték meg, a megfigyelések eredményeit az alábbi gyakorisági táblázatban rögzítették. Az izzók élettartamáról feltételezhető, hogy normális eloszlást követ. Adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést a.) a legalább 18 hónap élettartamú izzók arányára! b.) a 12 hónapnál rövidebb élettartamú izzók arányára! Élettartam (hónap) Izzók száma (db) [0;6) 5 [6;12) 7 [12;18) 18 [18;24) 22 [24;30) [30;36) 1 Gazdaságstatisztika

5. Feladat - megoldás a.) A legalább 18 hónap élettartamú izzók aránya a gyakorisági táblázatból (a konkrét mintából): Konfidencia-intervallum a sokasági arányra: Táblázatból: A 95%-os konfidencia-intervallum: A legalább 18 hónap élettartamú izzók aránya 95%-os valószínűséggel a (0,3735; 0,6265) intervallumba esik. Gazdaságstatisztika

5. Feladat - megoldás b.) A 12 hónapnál rövidebb élettartamú izzók arányára a gyakorisági táblázatból (a konkrét mintából): Konfidencia-intervallum a sokasági arányra: Táblázatból: A 95%-os konfidencia-intervallum: A 12 hónapnál rövidebb élettartamú izzók aránya 95%-os valószínűséggel a (0,0988; 0,3012) intervallumba esik. Gazdaságstatisztika