LEÍRÓ STATISZTIKA GYAKORLAT Gazdaságstatisztika LEÍRÓ STATISZTIKA GYAKORLAT 2013. szeptember 19.

Példatár 2. feladat A 100 g-os Omnia kávé töltési folyamatának két különböző napon mért nettó tömegértékei az alábbiak (a mérések a gyártási folyamatot követve, sorrendben történtek, kb. 1/2 óra alatt, egy négymérleges Hesser gép 2.sz. mérlegének töltését figyelve): 1. nap 101,8 100,7 101,0 101,2 100,1 100,4 100,5 100,2 103,3 101,1 102,2 101,3 100,9 102,1 101,7 100,6 101,5 102,8 101,4 102,3 99,7 101,9 102,4 100,8 2. nap 100,4 99,3 100,5 100,2 100,7 99,6 100,3 99,4 101,2 100,1 98,6 101,3 99,1 99,5 98,5 99,8 99,7 100,0 100,8 98,7 98,1 101,6 99,9 101,4 99,0 99,2 102,2

Adatok osztályba sorolása 99,7 100,4 100,6 101,0 101,2 101,3 101,4 101,5 101,8 102,2 100,1 100,5 100,7 101,7 101,9 102,3 100,8 101,1 102,1 102,4 100,2 100,9 102,8 103,3 R=103,3-99,7=3,6g 98,1 99,1 99,6 99,8 100,1 100,2 100,3 100,4 100,7 101,2 98,5 99,2 101,3 98,6 99,3 100,5 100,8 101,4 98,7 99,4 99,7 99,9 101,6 99,0 99,5 100,0 102,2 R=102,2-98,1=4,1g

Gyakorisági táblázat -1.nap R=103,3-99,7=3,6g Osztályhatárok fi fi' gi gi' 99.5≤x<100.0 1 3 0.02 100.0≤x<100.5 5 6 0.10 0.12 100.5≤x<101.0 9 15 0.18 0.30 101.0≤x<101.5 20 35 0.40 0.70 101.5≤x<102.0 7 42 0.14 0.84 102.0≤x<102.5 48 0.96 102.5≤x<103.0 49 0.98 103.0≤x<103.5 50 1.00   100,00

Gyakorisági táblázat – 2.nap R=102,2-98,1=4,1g Osztályhatárok fi fi' gi gi' 98.0≤x<98.5 1 0.02 98.5≤x<99.0 3 4 0.06 0.08 99.0≤x<99.5 5 9 0.10 0.18 99.5≤x<100.0 10 19 0.20 0.38 100.0≤x<100.5 18 37 0.36 0.74 100.5≤x<101.0 7 44 0.14 0.88 101.0≤x<101.5 48 0.96 101.5≤x<102.0 49 0.98 102.0≤x<102.5 50 1.00   100,00

Ábrázolás Alsó határ Felső határ osztályközép fi fi' gi gi' 99,5 100 99,75 1 3 0,02 100,5 100,25 5 6 0,1 0,12 101 100,75 9 15 0,18 0,3 101,5 101,25 20 35 0,4 0,7 102 101,75 7 42 0,14 0,84 102,5 102,25 48 0,96 103 102,75 49 0,98 103,5 103,25 50  

Ábrázolás Alsó határ Felső határ Osztályközép fi fi' gi gi' 98 98,5 98,25 1 0,02 99 98,75 3 4 0,06 0,08 99,5 99,25 5 9 0,1 0,18 100 99,75 10 19 0,2 0,38 100,5 100,25 18 37 0,36 0,74 101 100,75 7 44 0,14 0,88 101,5 101,25 48 0,96 102 101,75 49 0,98 102,5 102,25 50  

1. nap – középérték mutatók 99,7 100,4 100,6 101,0 101,2 101,3 101,4 101,5 101,8 102,2 100,1 100,5 100,7 101,7 101,9 102,3 100,8 101,1 102,1 102,4 100,2 100,9 102,8 103,3 Medián: (101,3+101,3)/2=101,3 Módusz: =101,4

1. nap – középérték mutatók becsléssel Alsó határ Felső határ osztályközép fi fi' gi gi' 99,5 100 99,75 1 3 0,02 100,5 100,25 5 6 0,1 0,12 101 100,75 9 15 0,18 0,3 101,5 101,25 20 35 0,4 0,7 102 101,75 7 42 0,14 0,84 102,5 102,25 48 0,96 103 102,75 49 0,98 103,5 103,25 50  

1. nap - ingadozásmutatók 99,7 100,4 100,6 101,0 101,2 101,3 101,4 101,5 101,8 102,2 100,1 100,5 100,7 101,7 101,9 102,3 100,8 101,1 102,1 102,4 100,2 100,9 102,8 103,3

1. nap – ingadozásmutatók becsléssel Alsó határ Felső határ osztályközép fi fi' gi gi' 99,5 100 99,75 1 3 0,02 100,5 100,25 5 6 0,1 0,12 101 100,75 9 15 0,18 0,3 101,5 101,25 20 35 0,4 0,7 102 101,75 7 42 0,14 0,84 102,5 102,25 48 0,96 103 102,75 49 0,98 103,5 103,25 50  

1. nap - kvantilisek 99,7 100,4 100,6 101,0 101,2 101,3 101,4 101,5 101,8 102,2 100,1 100,5 100,7 101,7 101,9 102,3 100,8 101,1 102,1 102,4 100,2 100,9 102,8 103,3

1. nap - alakmutatók Enyhe jobb oldali aszimmetria Csúcsosabb, mint a normális eloszlás átlag Me Mo

2. nap – középérték mutatók 98,1 99,1 99,6 99,8 100,1 100,2 100,3 100,4 100,7 101,2 98,5 99,2 101,3 98,6 99,3 100,5 100,8 101,4 98,7 99,4 99,7 99,9 101,6 99,0 99,5 100,0 102,2 Medián: (100,2+100,2)/2=100,2 Módusz: =100,2

2. nap – középérték mutatók becsléssel Alsó határ Felső határ Osztályközép fi fi' gi gi' 98 98,5 98,25 1 0,02 99 98,75 3 4 0,06 0,08 99,5 99,25 5 9 0,1 0,18 100 99,75 10 19 0,2 0,38 100,5 100,25 18 37 0,36 0,74 101 100,75 7 44 0,14 0,88 101,5 101,25 48 0,96 102 101,75 49 0,98 102,5 102,25 50  

2. nap - ingadozásmutatók 98,1 99,1 99,6 99,8 100,1 100,2 100,3 100,4 100,7 101,2 98,5 99,2 101,3 98,6 99,3 100,5 100,8 101,4 98,7 99,4 99,7 99,9 101,6 99,0 99,5 100,0 102,2

2. nap – ingadozásmutatók becsléssel Alsó határ Felső határ Osztályközép fi fi' gi gi' 98 98,5 98,25 1 0,02 99 98,75 3 4 0,06 0,08 99,5 99,25 5 9 0,1 0,18 100 99,75 10 19 0,2 0,38 100,5 100,25 18 37 0,36 0,74 101 100,75 7 44 0,14 0,88 101,5 101,25 48 0,96 102 101,75 49 0,98 102,5 102,25 50  

2. nap - kvantilisek 98,1 99,1 99,6 99,8 100,1 100,2 100,3 100,4 100,7 101,2 98,5 99,2 101,3 98,6 99,3 100,5 100,8 101,4 98,7 99,4 99,7 99,9 101,6 99,0 99,5 100,0 102,2

2. nap - alakmutatók Enyhe jobb oldali aszimmetria Csúcsosabb, mint a normális eloszlás átlag Me Mo

Reklamációk száma (reklamáció naponta) Példa Egy internetszolgáltató vállalkozásnál 280 napon keresztül vizsgálták az ügyfelek napi reklamációinak számát. A megfigyelések eredményiből az alábbi gyakorisági eloszlást készítették. Készítsen az adatokból gyakorisági táblázatot és értelmezze minden gyakorisági sorból az 5. osztályhoz tartozó értéket! Ábrázolja a gyakorisági sort és a kumulált relatív gyakoriságokat! Mekkora a napi reklamációk átlagos száma? Mekkora a napi reklamációk tipikus értéke? Mekkora a medián értéke? Mekkora az átlagtól vett eltérések négyzetes átlaga (szórás)? Mekkora a relatív szórás? Reklamációk száma (reklamáció naponta) Napok száma 31 1 45 2 65 3 77 4 32 5 21 6 9

Reklamációk száma (reklamáció naponta) Példa – megoldás (1) Készítsen az adatokból gyakorisági táblázatot és értelmezze minden gyakorisági sorból az 5. osztályhoz tartozó értéket! A megfigyelések során 32 napon volt a napi reklamációk száma 4. 250 napon volt a napi reklamációk száma 4, vagy annál kevesebb. Az esetek 11,4%-ban volt napi 4 reklamáció. Az esetek 89,3%-ban volt a napi reklamációk száma 4, vagy annál kevesebb. Reklamációk száma (reklamáció naponta) Napok száma   31 0.111 1 45 76 0.161 0.271 2 65 141 0.232 0.504 3 77 218 0.275 0.779 4 32 250 0.114 0.893 5 21 271 0.075 0.968 6 9 280 0.032

Reklamációk száma (reklamáció naponta) Példa – megoldás (2) Ábrázolja a gyakorisági sort és a kumulált relatív gyakoriságokat! Gyakoriság: Relatív gyakoriság: Kumulált relatív gyakoriság: Reklamációk száma (reklamáció naponta) Napok száma   31 0.111 1 45 76 0.161 0.271 2 65 141 0.232 0.504 3 77 218 0.275 0.779 4 32 250 0.114 0.893 5 21 271 0.075 0.968 6 9 280 0.032

Gyakorisági hisztogram Példa – megoldás (3) Ábrázolja a gyakorisági sort és a kumulált relatív gyakoriságokat! Gyakorisági hisztogram

Példa – megoldás (4) Ábrázolja a gyakorisági sort és a kumulált relatív gyakoriságokat! Kumulált relatív gyakoriság 1,000 0,968 0,893 0,779 0,504 0,271 0,111 1 2 3 4 5 6 Napi reklamációk száma

Példa – megoldás (5) Mekkora a napi reklamációk átlagos száma?

Reklamációk száma (reklamáció naponta) Példa – megoldás (6) Mekkora a napi reklamációk tipikus értéke? A napi reklamációk tipikus értéke a módusz. A módusz értéke 3. Azért tipikus, mert ez a leggyakoribb érték. Reklamációk száma (reklamáció naponta) Napok száma   31 0.111 1 45 76 0.161 0.271 2 65 141 0.232 0.504 3 77 218 0.275 0.779 4 32 250 0.114 0.893 5 21 271 0.075 0.968 6 9 280 0.032

Reklamációk száma (reklamáció naponta) Példa – megoldás (7) Mekkora a medián értéke? Páros számú adat esetén a sorbarendezett adatok között a két középső átlaga a medián. Esetünkben a 140. és a 141. adat a növekvő sorrendbe rendezett adatok között a két középső. E két adat értéke rendre a 2 és a 2. Ezért a medián értéke 2. Miért nem ezzel számoltunk? Reklamációk száma (reklamáció naponta) Napok száma   31 0.111 1 45 76 0.161 0.271 2 65 141 0.232 0.504 3 77 218 0.275 0.779 4 32 250 0.114 0.893 5 21 271 0.075 0.968 6 9 280 0.032

Reklamációk száma (reklamáció naponta) Példa – megoldás (8) Mekkora az átlagtól vett eltérések négyzetes átlaga (szórás)? Mekkora a relatív szórás? Reklamációk száma (reklamáció naponta) Napok száma   31 0.111 1 45 76 0.161 0.271 2 65 141 0.232 0.504 3 77 218 0.275 0.779 4 32 250 0.114 0.893 5 21 271 0.075 0.968 6 9 280 0.032

Áramkimaradás időtartama (perc) Áramkimaradások száma Példa Egy áramszolgáltatónál 650 megfigyelést végeztek a szolgáltatásban bekövetkező áramkimaradásokra vonatkozóan. A megfigyelések eredményeit az alábbi táblázatban rögzítették. Készítsen az adatokból gyakorisági táblázatot és értelmezze minden gyakorisági sorból a 4. osztályhoz tartozó értéket! Ábrázolja az áramkimaradások időtartam szerinti megoszlását és a tapasztalati eloszlásképet! Mekkora az áramkimaradások átlagos időtartama? Mekkora a tipikusnak tekinthető áramkimaradás időtartama? Becsülje meg és értelmezze a mediánt! Adjon becslést a szórásra! Mekkora a relatív szórás? Áramkimaradás időtartama (perc) Áramkimaradások száma [0;10) 40 [10;20) 190 [20;30) 350 [30;40) [40;50) 20 [50;60) 10

Példa – megoldás (1) Készítsen az adatokból gyakorisági táblázatot és értelmezze minden gyakorisági sorból a 4. osztályhoz tartotó értéket! A megfigyelések során 40 esetben volt az áramkimaradás időtartama 30 percnél hosszabb vagy azzal egyenlő és 40 percnél rövidebb. 620 esetben volt az áramkimaradás időtartama 40 percnél rövidebb. Az esetek 6,2%-ban volt az áramkimaradás időtartama 30 percnél hosszabb vagy azzal egyenlő és 40 percnél rövidebb. Az esetek 95,4%-ban volt az áramkimaradás időtartama 40 percnél rövidebb. Áramkimaradás időtartama (perc) Áramkimaradások száma   [0;10) 40 0.062 [10;20) 190 230 0.292 0.354 [20;30) 350 580 0.538 0.892 [30;40) 620 0.954 [40;50) 20 640 0.031 0.985 [50;60) 10 650 0.015 1

Példa – megoldás (2) Ábrázolja az áramkimaradások időtartam szerinti megoszlását és a tapasztalati eloszlásképet! Áramkimaradás időtartama (perc) Áramkimaradások száma   [0;10) 40 0.062 [10;20) 190 230 0.292 0.354 [20;30) 350 580 0.538 0.892 [30;40) 620 0.954 [40;50) 20 640 0.031 0.985 [50;60) 10 650 0.015 1 Időtartam szerinti megoszlás (relatív gyakorisági hisztogram ) 10 20 30 40 50 60 Áramkimaradások időtartama (perc)

Tapasztalati eloszláskép Áramkimaradások időtartama Példa – megoldás (3) Ábrázolja az áramkimaradások időtartam szerinti megoszlását és a tapasztalati eloszlásképet! Áramkimaradás időtartama (perc) Áramkimaradások száma   [0;10) 40 0.062 [10;20) 190 230 0.292 0.354 [20;30) 350 580 0.538 0.892 [30;40) 620 0.954 [40;50) 20 640 0.031 0.985 [50;60) 10 650 0.015 1 Tapasztalati eloszláskép 10 20 30 40 50 60 Áramkimaradások időtartama (perc)

Példa – megoldás (4) Mekkora az áramkimaradások átlagos időtartama? Az áramkimaradások átlagos értékének becsléséhez szükségünk van az osztályközepekre. Átlag becslése: Áramkimaradás időtartama (perc) Áramkimaradások száma   [0;10) 40 0.062 5 [10;20) 190 230 0.292 0.354 15 [20;30) 350 580 0.538 0.892 25 [30;40) 620 0.954 35 [40;50) 20 640 0.031 0.985 45 [50;60) 10 650 0.015 1 55

Példa – megoldás (5) Mekkora a tipikusnak tekinthető áramkimaradás időtartama? A leggyakrabban előforduló időtartamú áramkimaradást tekintjük tipikusnak, ez a módusz. Módusz: folytonos ismérv esetén a gyakorisága görbe maximum helye(i). Módusz becslése: tudjuk, hogy a 3. osztályközben van. Áramkimaradás időtartama (perc) Áramkimaradások száma   [0;10) 40 0.062 5 [10;20) 190 230 0.292 0.354 15 [20;30) 350 580 0.538 0.892 25 [30;40) 620 0.954 35 [40;50) 20 640 0.031 0.985 45 [50;60) 10 650 0.015 1 55 A móduszt tartalmazó osztály hossza A móduszt tartalmazó osztály bal végpontja

Példa – megoldás (6) a megfigyelések száma:650 Becsülje meg és értelmezze a mediánt! Áramkimaradás időtartama (perc) Áramkimaradások száma   [0;10) 40 0.062 5 [10;20) 190 230 0.292 0.354 15 [20;30) 350 580 0.538 0.892 25 [30;40) 620 0.954 35 [40;50) 20 640 0.031 0.985 45 [50;60) 10 650 0.015 1 55 A mediánt tartalmazó osztály hossza a megfigyelések száma:650 Az első olyan osztályköz sorszáma, amelyhez tartozó kumulált gyakoriság nagyobb vagy egyenlő, mint a megfigyelések számának fele. Most a 3. osztály. A mediánt tartalmazó osztály bal végpontja

Példa – megoldás (7) Adjon becslést a szórásra! Mekkora a relatív szórás? Áramkimaradás időtartama (perc) Áramkimaradások száma   [0;10) 40 0.062 5 [10;20) 190 230 0.292 0.354 15 [20;30) 350 580 0.538 0.892 25 [30;40) 620 0.954 35 [40;50) 20 640 0.031 0.985 45 [50;60) 10 650 0.015 1 55